Spet bi rabil pomoč... upam da ne težim preveč s temi dokazi
Pokaži da je množica Bil(U) vseh bilinearnih form na vektorskem prostoru U vektroski prostor za operacijo
(Q + P)(x,y) = Q(x,y) + P(x,y)
a ne sledi to že iz osnovne lastnosti bilinearnih preslikav:
Q(x+y,v) = Q(x,v) + Q(y,v)
pa še ena stvar me zanima (vendar se ne navezuje na to snov):
operator na unitarnem prostoru je normalen natanko tedaj, ko se da predstaviti v kaki ortonomirani bazi z diagonalno matriko
tu me zanima če je dovolj da to pokažeš za linearen operator ali bi moral do dookazovati z ivariantnimi prostori?
hvala že vnaprej za pomoč
bilinearne forme
Re: bilinearne forme
No ja itak je vse ocitno, samo zapisat moras. Iz sestevanja bilinearnih form moras preit na sestevanje vektorjev v bilinearni formi. Porabit moras dejstvo, da obstaja pri vsakem izbranem skalarnem produktu matricna reprezentacija bilinearne forme. Za matrike pa vemo da so vektorski prostor.
Za drugi dokaz je predvsem pomembno, da dokazes v obe smeri (iz normalnosti v diagonalizabilnost in obratno). Ce za vsak korak dokaza potrdis da velja v obe smeri potem zadostuje skupen dokaz.
Drugace je pa cisto odvisno od tega kako strog dokaz se pricakuje.
Za drugi dokaz je predvsem pomembno, da dokazes v obe smeri (iz normalnosti v diagonalizabilnost in obratno). Ce za vsak korak dokaza potrdis da velja v obe smeri potem zadostuje skupen dokaz.
Drugace je pa cisto odvisno od tega kako strog dokaz se pricakuje.
Re: bilinearne forme
prvo sem sedaj vedel dokazat z matrikami
hvala za to opozorilo
drugo pa še vedno ne vem (v nobeno smer )
hvala za to opozorilo
drugo pa še vedno ne vem (v nobeno smer )
Re: bilinearne forme
Za operator N*N se da hitro pokazat, da ima ortogonalne lastne vektorje. Ce sta x in y lastna vektorja tega operatorja, velja
\(\lambda_x^\ast\langle x,y\rangle= \langle N^\ast N x,y\rangle=\langle x, N^\ast N y\rangle = \lambda_y \langle x,y\rangle\)
Ce sta lastni vrednosti razlicni, potem mora biti <x,y> enak 0. Ce sta enaki, potem se pa itak da vedno poiskat ortonormirano bazo celega podprostora.
Zgornje je enako tudi temu
\(\langle Nx,Ny\rangle\)
kar pomeni da je Nx ortogonalen na Ny ce je x ortogonalen na y. Se pravi N slika iz ortonormirane baze v ortonormirano bazo. Zdaj je treba pokazat samo se, da je to bazo slika kar samo vase in je to torej lastna ortogonalna baza.
Sele zdaj rabimo sploh dejstvo, da je operator N normalen. Ce je normalen, potem velja tale zveza:
\(N^\ast N (Nx)=N(N^\ast N)x\)
ker je x lastni vektor operatorja N*N, je to enako temule:
\(N^\ast N (Nx)=\lambda_x (N x)\)
To pomeni, da je Nx lastni vektor operatorja N*N, in to z isto lastno vrednostjo kot x. Se pravi sta x in Nx vzporedna in s tem je dokazano, da je lastna baza N*N enaka lastni bazi N in je ortogonalna.
\(\lambda_x^\ast\langle x,y\rangle= \langle N^\ast N x,y\rangle=\langle x, N^\ast N y\rangle = \lambda_y \langle x,y\rangle\)
Ce sta lastni vrednosti razlicni, potem mora biti <x,y> enak 0. Ce sta enaki, potem se pa itak da vedno poiskat ortonormirano bazo celega podprostora.
Zgornje je enako tudi temu
\(\langle Nx,Ny\rangle\)
kar pomeni da je Nx ortogonalen na Ny ce je x ortogonalen na y. Se pravi N slika iz ortonormirane baze v ortonormirano bazo. Zdaj je treba pokazat samo se, da je to bazo slika kar samo vase in je to torej lastna ortogonalna baza.
Sele zdaj rabimo sploh dejstvo, da je operator N normalen. Ce je normalen, potem velja tale zveza:
\(N^\ast N (Nx)=N(N^\ast N)x\)
ker je x lastni vektor operatorja N*N, je to enako temule:
\(N^\ast N (Nx)=\lambda_x (N x)\)
To pomeni, da je Nx lastni vektor operatorja N*N, in to z isto lastno vrednostjo kot x. Se pravi sta x in Nx vzporedna in s tem je dokazano, da je lastna baza N*N enaka lastni bazi N in je ortogonalna.
Re: bilinearne forme
prvi in drugi odstavek sta mi jasna
tudi tretji mi je jasen, vendar ne vidim kako lahko potem sklepaš da če je baza ortogonalna da se potem da operator predstaviti v diagonalni matriki... a ne bi morala biti baza ortonomirana da to velja.... oz. ne vidim iz česa se sklepa da je ortogonalna baza tudi ortonomirana
tudi tretji mi je jasen, vendar ne vidim kako lahko potem sklepaš da če je baza ortogonalna da se potem da operator predstaviti v diagonalni matriki... a ne bi morala biti baza ortonomirana da to velja.... oz. ne vidim iz česa se sklepa da je ortogonalna baza tudi ortonomirana
Re: bilinearne forme
Norme lastnih vektorjev so stvar okusa, ce je ortogonalna jo vedno lahko se normiras in s tem ne spremenis nicesar (operator je linearen in se ne briga na skalarni predfaktor). Smisel dokaza je v lastnih vektorskih podprostorih, lastni vektor je samo neka reprezentacija tega podprostora.
Re: bilinearne forme
Zanima me, kaj točno je bilinearna preslikava?...linearna preslikava pomeni, da je aditivna in homogena, kaj pa pomeni bilinearna? Hvala in lp