Stran 1 od 2

potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 13.9.2011 21:52
Napisal/-a basketas
Pozdravljeni!

Zapletlo se mi je pri eni dokaj enostavni nalogi in upam, da mi boste lahko pomagali.

Naloga gre takole:
Imamo 3 enake strune, povezane tako, da med seboj oklepajo kot 120°in vse so napete z enako silo. Po prvi pošljemo sinusni val. Zanima nas amplituda valovanja na drugi in tretji struni. Koordinatni sistem obrnemo tako, da je izhodišče v stičišču strun, 1. struna leži na negativnem delu x osi, y os pa obrjena tako, da gre 2. struna navzdol v -y, 3. pa navzgor v +y.

Začnem z nastavki:

valovanje na 1. struni: \(u_1=Ae^{i(kx-\omega t)} +Re^{i(-kx-\omega t)}\)
valovanje na 2. in 3. struni: \(u_{2,3}=Te^{i(\vec k \vec r - \omega t)}\)

Ker sta 2. in 3. struna popolnoma enaki, pričakujemo tudi enako amplitudo valovanja.

Od tukaj dalje pa imam 3 možnosti reševanja, in nevem katera je pravilna.

1)
Na 2. in 3. struni vzamem \(\vec k_2 = k(cos60, sin 60) = k(\frac {1}{2},\frac {\sqrt 3}{2})\) in \(\vec k_3 = k(cos 60, -sin 60)=k(\frac {1}{2},-\frac {\sqrt 3}{2})\), in pa podobno za \(\vec r\)

Tako dobim \(u_{2,3} = Te^{i(kr(\frac {1}{4}\mp \frac{3}{4})-\omega t)}\)

Sedaj upoštevam zveznost odmika in zveznost odvoda odmika(odvajam po r) v točki stičišča (0,0) in dobim:

\(\\*A+R=2T \\* A-R=-\frac{1}{2}T+T\)

kar da rezultat \(T=\frac{4}{5}A\)

2)
Na 2. in 3. struni vzamem za \(\vec k\) enake izraze in za \(\vec r =(x,y)\)

Iz tega sledi \(u_{2,3}=Te^{i(\frac{1}{2}kx\mp\frac{\sqrt 3}{2}ky-\omega t)}\)

Spet upoštevajoč zveznost in zveznost odvodov(po x in po y, vendar po y ne dobimo nič uporabnega) v izhodišču dobim:

\(\\*A+R=2T\\*A-R=\frac{1}{2}T+\frac{1}{2}T\)

kar da drugačen rezultat kot prej, in sicer \(T=\frac{2}{3}A\)

3)
Na takšen način je računal asistent na vajah, vendar se meni zdi še najmanj prava. Vzel je le odvisnost od x, y ni nikjer upošteval, torej \(u_{2,3}=Te^{i(kx-\omega t)}\)

Iz pogojev za zveznost sledita enačbi
\(\\*A+R=2T\\*A-R=2T\)

in pa rezultat \(T=A\)


Zanima me, katera metoda je pravilna in zakaj sta drugi dve napačni. Čeprav po moji logiki metoda 3) sploh ne pride v poštev :)

Hvala!!!

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 13.9.2011 22:47
Napisal/-a NIKKI

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 13.9.2011 23:01
Napisal/-a Aniviller
Mislim da so vse tri napacne.

Ce si v dvomih, zacni z osnovnimi fizikalnimi zakoni. Sklepam da je valovanje transverzalno (v z-smeri). V tem primeru so valovi za namene xy ravnine "skalarji".

Za 2. in 3. struno lahko namesto \(\vec{k}\vec{r}\) pises kar \(kx\) s tem da x meris po tisti struni naprej (kar seveda ni ista smer kot po prvi struni). Sile napenjanja so enake (ker so koti enaki), s cimer je xy ravnovesje sil zagotovljeno. k-ji so torej tudi enaki (ker so hitrosti valovanj enake).


Zveznost seveda velja, od koder
\(u_1(0,t)=u_{2,3}(0,t)\)
\(A+R=T\)
tukaj je ze problem ker imas s tem napako pri vseh treh nacinih, ce prav razumem tvoj nastavek.

Transverzalno silo na sticisce povzroca naklon strune (ni vazno v kateri xy smeri ker je ne glede na xy smer strune sila v z-smeri), v obliki \(F_z=F_0\frac{\partial u}{\partial x}\) (pazi: odvod v smeri stran od sticisca, predznaki so pomembni in niso enaki za vse tri strune, razen ce si izbral x za vsako struno tako da tece od 0 v sticiscu v neskoncnost).
\(F_1=-(Ak-Rk)\) (pozitiven odvod pomeni narascanje z-ja proti sticiscu in torej silo navzdol).
\(F_2=F_3=Tk\) (pozitiven odvod pomeni narascanje z-ja stran od sticisca in silo navzgor)

Ker sticisce nima mase, je vsota sil nujno nic:
\(F_1+F_2+F_3=-A+R+T+T=0\).

Skupaj dobis, da je
\(T=\frac{2}{3}A\).
\(R=\frac{1}{3}A\)

Ce nisem kaj zasral. Energija se izide... prihaja energijski tok, sorazmeren z A^2. Odhajajo pa \(R^2+T^2+T^2=\frac{1}{9}A^2+\frac{4}{9}A^2+\frac{4}{9}A^2=A^2\).

Pri prvem nacinu: u2,3 ima kar lepo kr v eksponentu (ni plusminus, tam kjer je k z minusom je tudi r z minusom: zato lahko direktno uvedes koordinato ki tece kar po struni).

Pri drugi izgleda kot da je prav samo mislim da ni ok ker imas pogoj zveznosti narobe (ce jemljes resno definicijo amplitude T, potem je A+R=T=T), pa zveznost odvodov gledas v vsaki koordinati posebej, kar sploh ni nujen pogoj (lahko je zlomljeno, samo sile se morajo pokrajsat).

3) to izgleda prav nastavljeno ampak narobe upostevano (tista dvojka pri zveznosti ne ustreza in rezultat je povsem nesmiseln). x moras razumet da tece po struni ker vektorskih smeri res ni treba uvajat. Ce ti bolj ustreza, bi bilo verjetno se najboljse pisat
\(u_1=Ae^{i(kx_1-\omega t)}+Re^{i(-kx_1-\omega t)}\)
\(u_2=Te^{i(kx_2-\omega t)}\)
\(u_3=Te^{i(kx_3-\omega t)}\)

da te ne zmede koordinata x. Odvodi so potem po struni (predznake moras se vedno pazit, ker s takim nastavkom usmeris u1 noter, ostala dva pa ven in temu primerno pozitiven odvod pri u1 pomeni vlecenje navzdol, pri u2 in u3 pa navzgor).

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 13.9.2011 23:18
Napisal/-a Aniviller
Se nacin ko meris vse tri koordinate od sticisca navzven (podobna finta kot pri vezjih, da za vozlisce vse tokove stejes navzven). V tem primeru ima prihajajoci val negativen k vsi odhajajoci pa pozitivnega:

\(u_1=A e^{i(-kx_1-\omega t)}+Re^{i(kx_1-\omega t)}\)
\(u_2=T e^{i(kx_2-\omega t)}\)
\(u_3=T e^{i(kx_3-\omega t)}\)

Posledicno je stvar zelo enostavna. Zveznost je enaka kot prej:
\(u_1(0,t)=u_2(0,t)=u_3(0,t)=0\)
\(A+R=T=T\)

Vertikalna sila je pa natezna_sila*naklon (ce ima sila najnizjo tocko v izhodiscu in se potem dviguje ko gres stran, bo vleklo navzgor):
\(F_z=F_0(\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+\frac{\partial u_3}{\partial x_3})\big |_{x=0}=0\)
\(F_0 i(-k A+kR+kT+kT)=0\)
\(A-R=2T\)

Prides seveda na isto, samo koordinate so bolj simetricno postavljene da ni treba toliko mislit pri usmeritvi sil in odvodov.

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 14.9.2011 10:52
Napisal/-a basketas
Pri 1. načinu sem se res zmotil s plusminus, tako da je ta način ekvivalenten 3, pri 3. pa sem tisti x vzel preveč resno, ne kot koordinato strune.

Še vedno pa me bega pogoj... Na nek način mi je logično A+R=T=T :) po drugi strani bi pa to prineslo VEDNO enake amplitude prepuščenih valovanj, tudi če ne bi imeli enake strune in enake napetosti, A+R=T2=T3. Kolikor se meni zdi, to ni ravno realno...

Drugače pa hvala za komentarje o metoda, mi je zelo pomagalo!

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 14.9.2011 11:02
Napisal/-a Aniviller
Ja, T2=T3 bo kar v redu. Ti lahko prvo struno smatras kot roko, ki vodi ostali dve gor in dol (drzi obe naenkrat). Zato bo amplituda ista. Seveda sta lahko k-ja razlicna, kar pomeni da gresta valovanji po obeh izhodnih strunah lahko z razlicno hitrostjo in nosita razlicno energijo. To je podobno kot pri elektricnih vezjih kjer imata v vzporedni vezavi obe veji isto napetost, kljub temu da sta upora razlicna (tokova pa seveda nista enaka). Pogoj zveznosti je zelo hud in narekuje celo mehaniko prenosa valovanja.

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 14.9.2011 14:46
Napisal/-a basketas
Super, to mi je zdaj jasno!

Zanima me oz. rad bi se prepričal pa še to:

če imam podobno 3 strune, vsaka napeta z drugačno napetostjo, koordinate tečejo od izhodišča ven, potem so pogoji:
\(\\*A+R=T_2\\*A+R=T_3\\*F_1k_1(-A+R)+F_2k_2T_2+F_3k_3T_3=0\)

To drži?

In pa še, če imam na 1. struni obešeno še maso m, na razdalji L od izhodišča, potem razdelim val na levega in desnega od mase \(u_{L,D}=A_{L,D}e^{i(-kx-\omega t)}+R_{L,D}e^{i(kx-\omega t)}\) (\(R_D\) predstavlja odbiti del od stičišča vseh strun od prej). Ali potem v točki L veljata pogoja:
\(u_L(L)=u_D(L)\)
\(ikF_1(u_L(L)+u_D(L))-mg=-m\omega ^2u_L(L)=-m\omega ^2u_D(L)\)

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 14.9.2011 17:20
Napisal/-a basketas
zadnjo enačbo sem narobe napisal. morala bi biti:
\(F_1(\frac{du_L}{dx}(L)+\frac{du_D}{dx}(L))-mg=m\frac{d^2u_L}{dt^2}(L)\)

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 14.9.2011 17:38
Napisal/-a Aniviller
Tako ja, pravilno si nastavil.

Ce imas se dodatno maso nekje na struni, je valov malo vec in s tem tudi vec enacb & neznank. Pa malo zoprno je s parametrizacijo. Zdaj imas dve sticisci: eno ima 2 struni in maso, drugo ima 3 strune. Kot prvo, ce na 3strunskem vozliscu nastavis vse parametre ven (ali noter) z niclo v sticiscu, potem na drugem sticiscu nimas vec lepega problema: eno izmed krajisc bo pridelalo clen \(e^{ikL}\(. S tem dobis kompleksne koeficiente v enacbah in periodicno odvisnost transmisivnosti od L. Med maso in stisciscem 3 strun se ti ustvari malo stojecega valovanja, katerega ojacanje je odvisno od ujemanja L z valovno dolzino - resonator imas. No, to vse pade iz teh enacb, samo malo grdo je za racunat ker je kar naenkrat vse kompleksno, kar pomeni kup nekih faznih zamikov in dvakrat vec komponent.
Malo lepse je ce das maso kar v sticisce treh strun :)

Tvoj nastavek za sile pri utezi je ok (do predznakov, ki so itak odvisni od postavitve parametrizacije). Edino gravitacijo moras izpustit ker drugace ravni valovi niso vec edina resitev enacbe: (trikotno povesena struna + ravni val) resi ta sistem in ce poves ignoriras si nazaj na ravnih valovih in brez gravitacijskega clena.

Isti princip deluje tudi za pripenjanje sticisca na vzmet ali amortizer (namesto \(m \frac{d^2 u}{dt^2}\) potem tam stoji \(K u\) ali \(\beta \frac{d u}{dt}\).\)
\)

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 15.9.2011 18:09
Napisal/-a basketas
bi mi lahko pomagal še pri tejle nalogi:

V sredo zelo dolge strune, napete s silo F, je vpeta utež z maso m. Utež je pripeta tudi na konec prožne vzmeti s koeficientom K, ki je z drugim koncem vpeta v zid in potega pravokotno na struno. Utež hitro sunemo v smeri stran od vzmeti, tako da ji podelimo hitrost v. S kolikšno frekvenco zaniha utež povprek na struno in kolikšen je maksimalni odmik od mirovne lege, ki jo doseže. Dana je še linearna gostota strune.

Ker je priblem simetričen, sem struno razdelil na levi in desni del od uteži, \(u_{L,D}=Ae^{\mp kx-\omega t}\)

Zapišem Newtonov zakon v izhodišču:
\(F(-(-ikA)+ikA)-KA=-m\omega ^2A\)

kar mi da zvezo \(k=\frac{K-m\omega ^2}{2iF}\)

imam še tudi začetni pogoj: \(\frac{du}{dt}=v\), iz česar sledi \(-i\omega A=v\)

Tukaj pa se mi zatakne, nevem kako naprej. Poskusil sem vstaviti \(k=\frac{\omega}{c}\) in izraziti frekvenco, vendar dobim kompleksne vrednosti in nevem kaj s tem...

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 15.9.2011 18:59
Napisal/-a Aniviller
Delitev na simetricne dele in robni pogoj je ok, problem je v tem da ravni val ne resi vec enacbe. Zacetni pogoj je prazna struna, na kateri vzbudis neko valovanje, ki pa potem odide v neskoncnost (nihanje ni enakomerno v casu). Za zacetek pusti v robnem pogoju "u" namesto vstavljanja ravnega vala. Seveda valovna enacba se vedno velja (le njen robni pogoj je malo cuden), se pravi bo struna sigurno imela gor valovanje ki bo z znano hitrostjo potovalo stran od sredine (pa tocno ves kaksnega profila je: na struni je tocno casovni zapis nihanja sredinske utezi). Lahko da je misljeno, da uporabis kaksen priblizek povprecnega odnasanja energije ali kaj podobnega. Malo razmisli, jaz bom pa tudi.

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 16.9.2011 17:54
Napisal/-a Aniviller
imas tole:
\(F\frac{\partial u}{\partial x}=K u+ m\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\)

Recimo da niha utez kot
\(f(t)=Ae^{-\beta t}e^{i\omega t}\)
in je oblika vala na struni
\(u(x,t)=f(t-x/c)\)
kar avtomatsko zadosti valovni enacbi in robnemu pogoju.

Ce to vstavis v robni pogoj, dobis
\(-F/c f'(t)=K f(t)+m f''(t)\)
kjer smo zaenkrat upostevali le to, da odvod f(t-x/c) po x odvaja f in da ven -1/c.

To je enacba dusenega nihanja za katero vemo da jo bo nas nastavek za f(t) resil ce sta beta in omega prava. Ko imas oba parametra znana in uporabis se zacetni pogoj v casu (neka hitrost in nicelni odmik), je stvar resena. Sreco imamo, da struna na zacetku miruje, drugace bi motila gibanje in poenostavitev ne bi bila mogoca.

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 16.9.2011 19:44
Napisal/-a NIKKI
Morda bo pomagala tale stran:
http://cnx.org/content/m15876/latest/ .

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 25.11.2011 23:14
Napisal/-a anjaD
Pozdravljeni!

Potrebujem pomoč pri fizikalni nalogi in sicer:

Skiciraj osnovno in prvi dve visji stojni valovanji za primer, ko sta na
koncu strun namesto vozlov hrbta! Koliko vozlov imajo valovanja? Koliksne
so frekvence valovanj, ce je dolzina strune l in je hitrost valovanja c? Dodatno
vprasanje: koliksna je frekvenca stojnega valovanja s hrbtoma na obeh koncih
in z n vozli?

Vem kako naj bi zgledala skica vpete strune, ko sta na koncu vozla, vendar ne ko sta hrbta, zato mi dela ta naloga težave.

Hvala.

Re: potujoče valovanje na strunah

Objavljeno: 25.11.2011 23:22
Napisal/-a Aniviller
Narisi si eno dolgo sinusno funkcijo (vec valov) in si izrezi del, ki ga rabis, bo takoj jasno kako narisat. Prvo bo od hriba do prve naslednje doline, drugo je od hriba do hriba in tako naprej.