Pozdravljeni!
Težave imam pri naslednjih nalogah iz kompleksnih števil:
1.) Zapiši \(x^5 - 1\) kot produkt realnih polinomov stopnje največ dve.
2.) Dokaži, da je množica kompleksnih števil {\({z=3/(2+cos\alpha + isin\alpha)}; \alpha \in R\)} podmnožica krožnice s središčem \(a=2\) in polmerom 1.
3.) Z uporabo Moivrove formule izrazi \(cos5\alpha\) in \(sin5\alpha\) s pomočjo \(cos\alpha\) in \(sin\alpha\).
Hvala in lp.
kompleksna števila
Re: kompleksna števila
1) Poznas vse nicle (resitve enacbe x^5=1), torej lahko konjugirane pare nazaj zmnozis:
\(x=\{1,e^{\pm 2\pi i/5},e^{\pm 4\pi i/5}\}\)
\(x^5-1=(x-1)(x-e^{2\pi i/5})(x-e^{-2\pi i/5})(x-e^{4\pi i/5})(x-e^{-4\pi i/5})\)
=\((x-1)(x^2-2\cos(2\pi/5)x+1)(x^2-2\cos(4\pi/5)x+1)\)
2)
Ce lezi na tej kroznici, potem zadosti enacbi \(|z-a|^2=1\), kar lahko vstavis in preveris.
3) Direktna uporaba formule:
\(e^{5i\alpha}=\cos 5\alpha+i\sin 5\alpha=(\cos \alpha+i\sin\alpha)^5\).
To zadnje enostavno potenciras in si na koncu.
\(x=\{1,e^{\pm 2\pi i/5},e^{\pm 4\pi i/5}\}\)
\(x^5-1=(x-1)(x-e^{2\pi i/5})(x-e^{-2\pi i/5})(x-e^{4\pi i/5})(x-e^{-4\pi i/5})\)
=\((x-1)(x^2-2\cos(2\pi/5)x+1)(x^2-2\cos(4\pi/5)x+1)\)
2)
Ce lezi na tej kroznici, potem zadosti enacbi \(|z-a|^2=1\), kar lahko vstavis in preveris.
3) Direktna uporaba formule:
\(e^{5i\alpha}=\cos 5\alpha+i\sin 5\alpha=(\cos \alpha+i\sin\alpha)^5\).
To zadnje enostavno potenciras in si na koncu.
Re: kompleksna števila
Najlepša hvala!
Je pa še nekaj nalog, ki mi niso jasne in če bi mi lahko napisali tako kot za prejšnje naloge, bi mi bilo res v pomoč, ker ne vem niti, kako naj jih začnem reševati.
1) Naj bo \(a=1/2+i \sqrt(3) / 2\). Poišči vse rešitve enačbe \(x^7+z^5a+z^3a^2+za^3=0\) v polarni obliki.
2) Poišči vsa kompleksna števila z, ki izpolnjujejo enačbi \(\mid(z)\mid^2 + (2+i)z + (2-i)\bar{z} + 4 = 0, (1-i)z+(1+i)\bar{z} + 4 = 0\).
3) Naj bo \(z=cos(2\pi/5)+isin(2\pi/5)\). Označimo \(a=z+z^4\) in \(b=z^2+z^3\). Dokaži:
a)
Je pa še nekaj nalog, ki mi niso jasne in če bi mi lahko napisali tako kot za prejšnje naloge, bi mi bilo res v pomoč, ker ne vem niti, kako naj jih začnem reševati.
1) Naj bo \(a=1/2+i \sqrt(3) / 2\). Poišči vse rešitve enačbe \(x^7+z^5a+z^3a^2+za^3=0\) v polarni obliki.
2) Poišči vsa kompleksna števila z, ki izpolnjujejo enačbi \(\mid(z)\mid^2 + (2+i)z + (2-i)\bar{z} + 4 = 0, (1-i)z+(1+i)\bar{z} + 4 = 0\).
3) Naj bo \(z=cos(2\pi/5)+isin(2\pi/5)\). Označimo \(a=z+z^4\) in \(b=z^2+z^3\). Dokaži:
a)
Re: kompleksna števila
1) Ko izpostavis z, ostane
\(z^6+az^4+a^2z^2+a^3=0\)
kar izgleda sumljivo podobno necemu, kar ostane pri razvoju razlike lihih potenc:
\((z^2-a)^4=(z^2-a)(z^6+az^4+a^2z^2+a^3)\)
Torej, ce najdes resitve leve strani in ignoriras odvecni resitvi \(z=\pm\sqrt{a}\), je naloga resena.
2) Srednji cleni so oblike \(a\overline{z}+\overline{a}z\). To sta mesana clena izraza \((a+z)(\overline{a}+\overline{z})=|a+z|^2\). Pises lahko torej
\(a\overline{z}+\overline{a}z=|a+z|^2-|z|^2-|a|^2\)
kjer je \(a=2-i\) za prvi primer, za drugega pa podobno. S tem imas enacbo prepisano v same absolutne vrednosti, kar ne bo tezko resit.
3) ?
\(z^6+az^4+a^2z^2+a^3=0\)
kar izgleda sumljivo podobno necemu, kar ostane pri razvoju razlike lihih potenc:
\((z^2-a)^4=(z^2-a)(z^6+az^4+a^2z^2+a^3)\)
Torej, ce najdes resitve leve strani in ignoriras odvecni resitvi \(z=\pm\sqrt{a}\), je naloga resena.
2) Srednji cleni so oblike \(a\overline{z}+\overline{a}z\). To sta mesana clena izraza \((a+z)(\overline{a}+\overline{z})=|a+z|^2\). Pises lahko torej
\(a\overline{z}+\overline{a}z=|a+z|^2-|z|^2-|a|^2\)
kjer je \(a=2-i\) za prvi primer, za drugega pa podobno. S tem imas enacbo prepisano v same absolutne vrednosti, kar ne bo tezko resit.
3) ?
Re: kompleksna števila
Še drugi del (mi dela slabo internet):
3) Naj bo \(z=cos(2\pi/5)+isin(2\pi/5)\). Označimo \(a=z+z^4\) in \(b=z^2+z^3\). Dokaži:
a) \(a+b = -1\) in \(ab=-1\).
b) z je rešitev enačbe \(w^(16)+w^9+w^4+w+1=\sqrt(5)\).
4) Poišči vsa kompleksna števila z in w, ki zadoščajo enačbam \(z+w=3+4i, \mid(z)\mid=2, \mid(w)\mid=3\).
5) Naj bo \(n\in N, n>=2\). Dokaži, da je \((1 + cos (\pi/n) + isin(\pi/n))^n\) imaginarno število.
6.) Poišči vsa kompleksna števila z, za katera je \(((z-i-1)/(iz+1)^2\) realno število.
7.) Naj bosta z, w kompleksni števili. Dokaži:
a) Če je \(\mid(z)\mid=1\) in \(z\ne w\), potem je \(\mid((z-w)/(1-z\bar{w})\mid = 1\).
b) Velja paralelogramska enakost: \(\mid(x+w)\mid^2 + \mid(z-w)\mid^2=2(\mid(z)\mid^2+\mid(w)\mid^2)\).
c) \(\mid1-\bar{z}w\mid^2-\mid(z-w)\mid^2=(1-\mid(z)\mid^2)(1-\mid(w)\mid^2\).
d) Če velja Re(z), Re(w) > 0, potem je \(\mid((z-w)/(\bar{z}+w)\mid < 1\).
Hvala.
3) Naj bo \(z=cos(2\pi/5)+isin(2\pi/5)\). Označimo \(a=z+z^4\) in \(b=z^2+z^3\). Dokaži:
a) \(a+b = -1\) in \(ab=-1\).
b) z je rešitev enačbe \(w^(16)+w^9+w^4+w+1=\sqrt(5)\).
4) Poišči vsa kompleksna števila z in w, ki zadoščajo enačbam \(z+w=3+4i, \mid(z)\mid=2, \mid(w)\mid=3\).
5) Naj bo \(n\in N, n>=2\). Dokaži, da je \((1 + cos (\pi/n) + isin(\pi/n))^n\) imaginarno število.
6.) Poišči vsa kompleksna števila z, za katera je \(((z-i-1)/(iz+1)^2\) realno število.
7.) Naj bosta z, w kompleksni števili. Dokaži:
a) Če je \(\mid(z)\mid=1\) in \(z\ne w\), potem je \(\mid((z-w)/(1-z\bar{w})\mid = 1\).
b) Velja paralelogramska enakost: \(\mid(x+w)\mid^2 + \mid(z-w)\mid^2=2(\mid(z)\mid^2+\mid(w)\mid^2)\).
c) \(\mid1-\bar{z}w\mid^2-\mid(z-w)\mid^2=(1-\mid(z)\mid^2)(1-\mid(w)\mid^2\).
d) Če velja Re(z), Re(w) > 0, potem je \(\mid((z-w)/(\bar{z}+w)\mid < 1\).
Hvala.
Re: kompleksna števila
3)
Najprej prepises v polarno obliko.
a) Za prvi del naredis isto kot pri tisti prejsnji: a+b postane vsota zaporednih potenc, kar lahko pretvoris na razliko lihih potenc. Za produkt ti bo pa koristil podatek, da je z^5=1 in torej \(z^{n+5k}=z^n\) (poljuben veckratnik stevila 5 lahko pristejes/odstejes od potence). Ko to uporabis, prides na isti izraz kot pri prvem delu.
b) samo vstavis. Tukaj bo spet prisel prav zgornji trik.
4)
Lahko nastavis z in w v polarni obliki in dobis 2 enacbi za 2 kota. Lahko pa jo razumes kot geometrijsko nalogo:
z=(3+4i)-w
se pravi presecisce tocke na kroznici s polmerom 2 okrog sredisca in kroznice s polmerom 3 okrog tocke 3+4i.
5)
Imaginarno je, ce je nasprotno enako svoji konjugirani vrednosti. Ce ti ne uspe direktno pretvorit eno na drugo, potem zacni z izrazom
\((1 + \cos (\pi/n) + i\sin(\pi/n))^n=-(1 + \cos (\pi/n) - i\sin(\pi/n))^n\)
Seveda je edino pametno delat v polarnem.
6)
Poskusi predelat na geometrijsko nalogo ali pa zacni podobno kot pri 5): s pogojem za realnost.
7)
a)V polarnem je ocitno. Ce je |z|=1, velja \(\overline{z}=z^{-1}\).
\(\frac{z-w}{1-z\overline{w}}=\frac{z-w}{z(1/z-\overline{w})}=\)
\(\displaystyle\frac{1}{z}\frac{z-w}{(\overline{z-w})}\)
Oba ulomka imata absolutno vrednost 1 (za drugega je ocitno v polarnem ker se dolzina pokrajsa).
b) No to je samo po sebi umevno, ce na levi skvadriras si ze tam.
c) Podobni triki kot a) in b).
d) Ta je tudi razsiritev naloge a) in je v polarnem ocitna.
Najprej prepises v polarno obliko.
a) Za prvi del naredis isto kot pri tisti prejsnji: a+b postane vsota zaporednih potenc, kar lahko pretvoris na razliko lihih potenc. Za produkt ti bo pa koristil podatek, da je z^5=1 in torej \(z^{n+5k}=z^n\) (poljuben veckratnik stevila 5 lahko pristejes/odstejes od potence). Ko to uporabis, prides na isti izraz kot pri prvem delu.
b) samo vstavis. Tukaj bo spet prisel prav zgornji trik.
4)
Lahko nastavis z in w v polarni obliki in dobis 2 enacbi za 2 kota. Lahko pa jo razumes kot geometrijsko nalogo:
z=(3+4i)-w
se pravi presecisce tocke na kroznici s polmerom 2 okrog sredisca in kroznice s polmerom 3 okrog tocke 3+4i.
5)
Imaginarno je, ce je nasprotno enako svoji konjugirani vrednosti. Ce ti ne uspe direktno pretvorit eno na drugo, potem zacni z izrazom
\((1 + \cos (\pi/n) + i\sin(\pi/n))^n=-(1 + \cos (\pi/n) - i\sin(\pi/n))^n\)
Seveda je edino pametno delat v polarnem.
6)
Poskusi predelat na geometrijsko nalogo ali pa zacni podobno kot pri 5): s pogojem za realnost.
7)
a)V polarnem je ocitno. Ce je |z|=1, velja \(\overline{z}=z^{-1}\).
\(\frac{z-w}{1-z\overline{w}}=\frac{z-w}{z(1/z-\overline{w})}=\)
\(\displaystyle\frac{1}{z}\frac{z-w}{(\overline{z-w})}\)
Oba ulomka imata absolutno vrednost 1 (za drugega je ocitno v polarnem ker se dolzina pokrajsa).
b) No to je samo po sebi umevno, ce na levi skvadriras si ze tam.
c) Podobni triki kot a) in b).
d) Ta je tudi razsiritev naloge a) in je v polarnem ocitna.
Re: kompleksna števila
Bla bi zelo hvaležna če bi mi negdo lahko pomagal pri naslednjih nalogah:
1. Določite vsa kompleksna števila z, ki zadoščajo enačbi: z²= |z|² + 2z, (zadnji z je z črto gor).
2. Določite vsa kompleksna števila z, ki zadoščajo pogojema: RЄ z + i/1-z = 0, |z + i| = 1
1. Določite vsa kompleksna števila z, ki zadoščajo enačbi: z²= |z|² + 2z, (zadnji z je z črto gor).
2. Določite vsa kompleksna števila z, ki zadoščajo pogojema: RЄ z + i/1-z = 0, |z + i| = 1
Re: kompleksna števila
1) Ce ne drugega gres lahko z nastavkom z=x+yi noter in dobis neke enacbe.
2) A tukaj manjkajo oklepaji? Druga mnozica je kroznica centrirana okrog -i s polmerom 1 tako da prva ti potem samo se omeji katere tocke na kroznici so koncna resitev.
2) A tukaj manjkajo oklepaji? Druga mnozica je kroznica centrirana okrog -i s polmerom 1 tako da prva ti potem samo se omeji katere tocke na kroznici so koncna resitev.
Re: kompleksna števila
1. A bi tole blo dobro:
z²= |z|² + 2z
z = x + yi
z = x - yi
|z| = sqrt (x² + y²)
(x + yi)² = [sqrt (x² + y²)]² + 2(x –yi)
x² + 2xyi - y² = x² + y² + 2x – 2yi
2xyi - y² = y² + 2x – 2yi
2 xyi = -2yi / yi
2x = -2 /2
x = -1
-y² = y² + 2x
-y² = y² -2
-y²-y² = -2
-2y² = -2 / -2
y²= 1
y = 1
z = -1+ i
2. Nič ne manjka. Zadatak je pač takšen kot sam napisala.
z²= |z|² + 2z
z = x + yi
z = x - yi
|z| = sqrt (x² + y²)
(x + yi)² = [sqrt (x² + y²)]² + 2(x –yi)
x² + 2xyi - y² = x² + y² + 2x – 2yi
2xyi - y² = y² + 2x – 2yi
2 xyi = -2yi / yi
2x = -2 /2
x = -1
-y² = y² + 2x
-y² = y² -2
-y²-y² = -2
-2y² = -2 / -2
y²= 1
y = 1
z = -1+ i
2. Nič ne manjka. Zadatak je pač takšen kot sam napisala.
Re: kompleksna števila
1. Nepopolno. Prva napaka: y^2=1 ima dve resitvi: y=1 in y=-1. Druga napaka: pri 2xyi=-2yi delis z yi... s tem predpostavis da je y razlicen od 0. y=0 tudi resi to enacbo in izkaze se da s tem spustis se eno (zelo ocitno) resitev x=y=0.
2. Ce pises ulomke v tekstu v eni vrstici, moras grupirat stevec in imenovalec. Tole si lahko razlagam na 4 nacine:
\(\frac{z+i}{1}-z\)
\(z+\frac{i}{1-z}\)
\(z+\frac{i}{1}-z\)
\(\frac{z+i}{1-z}\)
Prvi in tretji sta malo neumna, a se vedno ostaneta dve varianti.
2. Ce pises ulomke v tekstu v eni vrstici, moras grupirat stevec in imenovalec. Tole si lahko razlagam na 4 nacine:
\(\frac{z+i}{1}-z\)
\(z+\frac{i}{1-z}\)
\(z+\frac{i}{1}-z\)
\(\frac{z+i}{1-z}\)
Prvi in tretji sta malo neumna, a se vedno ostaneta dve varianti.
Re: kompleksna števila
Kera je potem enečba iz katere dobim x= 0. Sorry na neumem vprašanje, ampak matematika mi res ne gre. 
Hvala!!
Prav imaš! Sorry! My mistake!
Zadnja varianta je.
Hvala!!
Prav imaš! Sorry! My mistake!
Zadnja varianta je.Re: kompleksna števila
y=0 resi enacbo
2xyi=-2yi
y=0 potem neses v drugo enacbo,
-y^2=y^2+2x
kar je tocno isto kar imas ze pri prejsnji resitvi. Dobis
0=2x
in torej x=0.
Poskusi vodit evidenco katere enacbe imas za resit.
Aha... a prav vidim da gledas realni del tega izraza?
Ok.. racionaliziras imenovalec.
\(\frac{z+i}{1-z}=\frac{(z+i)(1-\bar{z})}{|1-z|^2}\)
Zdaj je imenovalec realen in lahko gledas samo stevec (deljenje/mnozenje z realnim stevilom ne bo spremenilo dejstva da je realni del enak 0).
\({\rm Re}(z+i)(1-\bar{z})=0\)
\({\rm Re}(z+i-|z|^2-i\bar{z})=0\)
\({\rm Re}(x+yi+i-(x^2+y^2)-i(x-iy))=0\)
Zdaj lahko poberemo ven samo realni del:
\(x-x^2-y^2-y=0\)
To je enacba kroznice. Lahko skupaj pospravis:
\((x-1/2)^2-1/4+(y+1/2)^2-1/4=0\)
\((x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2\)
To je kroznica s srediscem (1/2,-1/2) in polmerom \(\sqrt{1/2}\). Presecisce te kroznice in tiste ki sva jo ze nasla, je tvoja resitev (najbrz 2 tocki).
2xyi=-2yi
y=0 potem neses v drugo enacbo,
-y^2=y^2+2x
kar je tocno isto kar imas ze pri prejsnji resitvi. Dobis
0=2x
in torej x=0.
Poskusi vodit evidenco katere enacbe imas za resit.
Aha... a prav vidim da gledas realni del tega izraza?
Ok.. racionaliziras imenovalec.
\(\frac{z+i}{1-z}=\frac{(z+i)(1-\bar{z})}{|1-z|^2}\)
Zdaj je imenovalec realen in lahko gledas samo stevec (deljenje/mnozenje z realnim stevilom ne bo spremenilo dejstva da je realni del enak 0).
\({\rm Re}(z+i)(1-\bar{z})=0\)
\({\rm Re}(z+i-|z|^2-i\bar{z})=0\)
\({\rm Re}(x+yi+i-(x^2+y^2)-i(x-iy))=0\)
Zdaj lahko poberemo ven samo realni del:
\(x-x^2-y^2-y=0\)
To je enacba kroznice. Lahko skupaj pospravis:
\((x-1/2)^2-1/4+(y+1/2)^2-1/4=0\)
\((x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2\)
To je kroznica s srediscem (1/2,-1/2) in polmerom \(\sqrt{1/2}\). Presecisce te kroznice in tiste ki sva jo ze nasla, je tvoja resitev (najbrz 2 tocki).
Re: kompleksna števila
Ja, gleda se realni del izraza.
Hvala! Hvala!
Hvala! Hvala!
Re: kompleksna števila
Samo še nekaj, a je treba v 1. nalogi ko se določajo vsa kompleksna števila z ki zadoščajo enačbi kombinirat rešitve, se pravi:
z= yi
z= -yi
z= -x
z = -x+yi
z= -x-yi
Otkod v drugi nalogi (x-1/2)^2-1/4+(y+1/2)^2-1/4=0, zanima se otkod številka 1/2?
z= yi
z= -yi
z= -x
z = -x+yi
z= -x-yi
Otkod v drugi nalogi (x-1/2)^2-1/4+(y+1/2)^2-1/4=0, zanima se otkod številka 1/2?
Re: kompleksna števila
Resitev je celoten z, se pravi x in y ki hkrati zadostita vsem enacbam. Recimo, ko enkrat izpolnis prvo enacbo z x=-1 in to vstavis v drugo enacbo da dobis mozne y, tisti y pripadajo resitvi z x=-1. Resitve so 3:
\(z=-1+i\) (x=-1, y=1)
\(z=-1-i\) (x=-1, y=-1)
\(z=0\) (x=0, y=0)
Pri drugi uporabis znan trik da dopolnis do popolnih kvadratov. Vemo da se izraz (x+a)^2 razpise x^2+2ax+a^2. Mi imamo x^2-x, in to hocemo zapisat kot kvadrat necesa. x^2 imamo, 2ax bo enak -x, ce bomo postavili a=-1/2, tisti odvecni (-1/2)^2 pa nazaj odstejemo. Torej,
\(x^2-x=(x-1/2)^2-(-1/2)^2\)
in ce to skvadriras vidis da je isto.
Kadar imas poleg kvadratnih clenov linearne clene, lahko vedno naredis to.
\(z=-1+i\) (x=-1, y=1)
\(z=-1-i\) (x=-1, y=-1)
\(z=0\) (x=0, y=0)
Pri drugi uporabis znan trik da dopolnis do popolnih kvadratov. Vemo da se izraz (x+a)^2 razpise x^2+2ax+a^2. Mi imamo x^2-x, in to hocemo zapisat kot kvadrat necesa. x^2 imamo, 2ax bo enak -x, ce bomo postavili a=-1/2, tisti odvecni (-1/2)^2 pa nazaj odstejemo. Torej,
\(x^2-x=(x-1/2)^2-(-1/2)^2\)
in ce to skvadriras vidis da je isto.
Kadar imas poleg kvadratnih clenov linearne clene, lahko vedno naredis to.