Taylorjeva vrsta

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Post Reply
Matej22
Posts: 5
Joined: 12.11.2011 18:42

Taylorjeva vrsta

Post by Matej22 » 12.11.2011 18:49

Pozdravljeni,

A mi lahko kdo prosim pomaga glede naslednje naloge.

Z uporabo Taylorjeve vrste izračunaj sin((pi/4)+1/8)). Izračunati je potrebno na 4 decimalne

hvala

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Aniviller » 12.11.2011 21:51

Ja razvij okrog pi/4. Po definiciji dobis
\(\sin(x+h)=\sin(x)+\cos(x)h-\frac{1}{2!}\sin(x)h^2-\frac{1}{3!}\cos(x)h^3+\cdots\)
in ko vstavis x=pi/4 in h=1/8, samo se sestejes toliko clenov, da naslednji clen ne spreminja vec prvih 4 decimalk.

Matej22
Posts: 5
Joined: 12.11.2011 18:42

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Matej22 » 13.11.2011 14:55

Razumem. Hvala!!

Samo še to. Kaj pa v primeru da je Sin(pi/4) + 1/8

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Aniviller » 13.11.2011 15:04

Ja to je pa navadno sestevanje. Okrog katere tocke bi pa to rad razvil?

Matej22
Posts: 5
Joined: 12.11.2011 18:42

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Matej22 » 13.11.2011 16:20

recimo okrog 0

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Aniviller » 13.11.2011 16:33

No sinus znas razvit... preostali clen je pa konstanta in se samo doda nictemu clenu razvoja.

Matej22
Posts: 5
Joined: 12.11.2011 18:42

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Matej22 » 13.11.2011 16:52

Sin(x) znam razvit. malo me pa zmede ko je namesto x Pi.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Aniviller » 13.11.2011 17:03

Ja no saj tako sem te razumel, da razvijas \(\sin x+1/8\) in vstavljas pi/4 (ceprav je brez veze ker je sin(pi/4) znan). Zato sem te tudi vprasal kako hoces razvit. Ker sin(pi/4)+1/8 je pac stevilski izraz, ne funkcija. Ce imas za izracunat izraz, kjer bi ti pomagalo da ga posplosis na neko funkcijo, potem seveda lahko to vrsto razvijes in nazaj vstavis. Samo to prav pride samo ce razvijas okrog vrednosti kjer funkcijsko vrednost poznas, tvoja vrednost je pa malo stran od tam in ne rabis veliko clenov. sin(pi/4+1/8) je bilo pametno gledat kot sin(pi/4+x) izracunan v x=1/8 in ga razvit ker je 1/8 majhen, pri pi/4 pa je vrednost kotnih funkcij analiticno znana. Za sin(pi/4)+1/8 pa ni kaj komplicirat, sin(pi/4) poznas, 1/8 pa tudi. Ce pises pa kot sin(pi/4)+x, je pa to ze potencna funkcija in ne pridobis nic novega.

Matej22
Posts: 5
Joined: 12.11.2011 18:42

Re: Taylorjeva vrsta

Post by Matej22 » 13.11.2011 17:10

Resnično hvala za pomoč.

Lep pozdrav.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Taylorjeva vrsta

Post by sanej » 22.8.2012 11:26

Bom kar tu vprašal.

Imam funkcijo \(\[f(z)=\frac{1}{z-3} \]\) razviti jo moram v Laurentovo vrsto ki bo konvergentna za A) |z|<3 in B) |z|> 3

Vem da moram poiskati imenovalec oblike 1 - (nekaj) da bom lahko zapisal vrsto kot \(\[ \sum_{n=1}^{n} (nekaj)^n\)

Ampak zakaj pri A izpostavim v imenovalcu -3 pri B pa izpostavim v imenovalcu z ? Oziroma kako to povežem s konvergenco pri A v krogu z radijem 3 in pri B na kolobarju od 3 do neskončno ??

delta
Posts: 420
Joined: 19.8.2009 14:16

Re: Taylorjeva vrsta

Post by delta » 22.8.2012 16:03

Pri A torej dobiš:
\(\frac{1}{-3}\frac{1}{1+\frac{z}{-3}}=\frac{1}{-3}\sum_{n=0}^\infty(\frac{z}{3})^n\), ker veš, da velja formula \(\frac{1}{1-k}=\sum_{n=0}^\infty k^n\), ki velja le za \(|k|<1\), ravno zato v B izpostaviš v imen. z. Spet si lahko pomagaš z geometično vrsto in dobiš:
\(f(z)=\frac{1}{z(1-\frac{3}{z})}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty(\frac{3}{z})^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{z^{n+1}}\)

Post Reply