Zanima me, kako naj z matematično indukcijo dokažem, da 120|n^5 - 5n^3 + 4n, ker meni se niti malo ne sanja, kako naj to rešim.
Hvala že vnaprej !
Matematična indukcija
-
suzanasmrekar
- Prispevkov: 2
- Pridružen: 15.11.2011 13:23
Matematična indukcija
LP
Zanima me, kako naj z matematično indukcijo dokažem, da 120|n^5 - 5n^3 + 4n, ker meni se niti malo ne sanja, kako naj to rešim.
Hvala že vnaprej !
Zanima me, kako naj z matematično indukcijo dokažem, da 120|n^5 - 5n^3 + 4n, ker meni se niti malo ne sanja, kako naj to rešim.
Hvala že vnaprej !
Re: Matematična indukcija
Postopek: Najprej dokažeš za n=1, nato predpostaviš za n=n. Če dokažeš, da velja za n=n+1 (ob predpostavki n=n), potem velja za vsak n.
Poskusi (nekaj primerov reševanja z indukcijo najdeš v drugih temah)!
Poskusi (nekaj primerov reševanja z indukcijo najdeš v drugih temah)!
Re: Matematična indukcija
Razstavi polinom.
-
suzanasmrekar
- Prispevkov: 2
- Pridružen: 15.11.2011 13:23
Re: Matematična indukcija
torej ko razstavim polinom, dobim (n+1)((n+1)^4 - 5(n+1)^2 + 4)... vem tudi, da je 120 deljivo s členoma 5(n+1)^2 in 4, kaj pa dva člena prej? jih morem še naprej razstavit ?
Re: Matematična indukcija
joj daj do konca razstavi no.
\(n^5+5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\)=produkt 5 zaporednih stevil, kar je avtomatsko deljivo s 120, to se vidi ze brez indukcije (5 zaporednih stevil vsebuje eno stevilo deljivo s 5, najmanj eno stevilo deljivo s 4 in 3 ter vsaj se eno deljivo z 2 poleg tistega ki je itak ze s 4).
Ce hoces z indukcijo, startaj od tukaj... za (n+1) bo imelo samo (n-2) clen nadomescen z (n+3).
\(n^5+5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\)=produkt 5 zaporednih stevil, kar je avtomatsko deljivo s 120, to se vidi ze brez indukcije (5 zaporednih stevil vsebuje eno stevilo deljivo s 5, najmanj eno stevilo deljivo s 4 in 3 ter vsaj se eno deljivo z 2 poleg tistega ki je itak ze s 4).
Ce hoces z indukcijo, startaj od tukaj... za (n+1) bo imelo samo (n-2) clen nadomescen z (n+3).
Re: Matematična indukcija
Prosim za pomoč pri naslednji nalogi.
Naj bodo \(x_{1} ,x_{2}, x_{3},..., x_{n} ,...\) pozitivna realna števila in naj bo \(s_{n}=\[
\sum_{k=1}^{n} x_k
\]\). Pokaži, da velja \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k}\) \(\geq \frac {n^{2}}{s_n}\).
Za n=1 dobim pravilno, potem pa se zatakne pri koraku n-->n+1 . Dobim: \(\frac{n^{2}}{s_n} + \frac{1}{x_{n+1}}\)\(\geq \frac {(n+1)^2}{s_{n+1}}\). Tega pa ne znam dokazati...
Naj bodo \(x_{1} ,x_{2}, x_{3},..., x_{n} ,...\) pozitivna realna števila in naj bo \(s_{n}=\[
\sum_{k=1}^{n} x_k
\]\). Pokaži, da velja \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k}\) \(\geq \frac {n^{2}}{s_n}\).
Za n=1 dobim pravilno, potem pa se zatakne pri koraku n-->n+1 . Dobim: \(\frac{n^{2}}{s_n} + \frac{1}{x_{n+1}}\)\(\geq \frac {(n+1)^2}{s_{n+1}}\). Tega pa ne znam dokazati...
Re: Matematična indukcija
Tole niti ni prav. Uporabil si neenakost, ki kaze v napacno smer, da bi smel to naredit. Vsoto si nadomestil z necim, kar je MANJSE kot tista vsota, kar pomeni da zdaj niti ni vec nujno, da je leva stran enacbe vecja od desne.
Dokaz je lazji in ni treba it cez indukcijo. Samo krizno pomnozi:
\((\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i})\geq n^2\)
Na levi imas zelo lepo stvar. Produkt ima n^2 clenov. Diagonalni cleni so kar 1. Mesani cleni so pa v parih
\(\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}=p+p^{-1}\)
kjer je p kvocient nastopajocih stevil (sploh ni vazno koliko je). Vsota stevila z njegovo reciprocno vrednostjo je namrec vedno vecja od 2, kvecjemu enaka, ce je p=1. Produkt torej vedno pride vec kot stevilo clenov v produktu.
Dokaz je lazji in ni treba it cez indukcijo. Samo krizno pomnozi:
\((\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i})\geq n^2\)
Na levi imas zelo lepo stvar. Produkt ima n^2 clenov. Diagonalni cleni so kar 1. Mesani cleni so pa v parih
\(\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}=p+p^{-1}\)
kjer je p kvocient nastopajocih stevil (sploh ni vazno koliko je). Vsota stevila z njegovo reciprocno vrednostjo je namrec vedno vecja od 2, kvecjemu enaka, ce je p=1. Produkt torej vedno pride vec kot stevilo clenov v produktu.
Re: Matematična indukcija
a mi lahko nekdo pomaga z tole nalogo:
dokažite, da velja za vsako naravno št. n(z indukcijo)
1+1/2^2+1/3^3+...+1/n^n≤3/2-1/2^n
hvala na čimprejšnjem odgovoru...
dokažite, da velja za vsako naravno št. n(z indukcijo)
1+1/2^2+1/3^3+...+1/n^n≤3/2-1/2^n
hvala na čimprejšnjem odgovoru...
Re: Matematična indukcija
Poskusi desno stran spremenit v vsoto. Potem ce bo po sreci lahko po clenih primerjas.
Ideja je geometrijska vrsta:
\(1+1/2+1/4+\cdots + 1/2^n=\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-2^{-1}}=2-2^{-n}\)
Tvojo neenakost lahko torej zapises kot
\(1+1/2^2+1/3^3+\cdots + 1/n^n\leq \frac{1}{2}+(1+1/2+1/2^2+\cdots + 1/2^n)\)
Pri n=0 imas \(0\leq 1/2\), kar je itak res. Potem pa vsak dodaten clen samo se poveca razliko, ker velja
\(\frac{1}{n^n}\leq \frac{1}{2^n}\)
Ko imas enkrat desno stran zapisano z vsoto, lahko nadaljujes z indukcijo.
Ideja je geometrijska vrsta:
\(1+1/2+1/4+\cdots + 1/2^n=\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-2^{-1}}=2-2^{-n}\)
Tvojo neenakost lahko torej zapises kot
\(1+1/2^2+1/3^3+\cdots + 1/n^n\leq \frac{1}{2}+(1+1/2+1/2^2+\cdots + 1/2^n)\)
Pri n=0 imas \(0\leq 1/2\), kar je itak res. Potem pa vsak dodaten clen samo se poveca razliko, ker velja
\(\frac{1}{n^n}\leq \frac{1}{2^n}\)
Ko imas enkrat desno stran zapisano z vsoto, lahko nadaljujes z indukcijo.
Re: Matematična indukcija
Pozdravljeni,
zanima me kako je definirana matematična indukcija. Razmišljal sem ali se da z njo dokazati, kaj kar ni povsem pravilno, oz. zdrži le za spremenljivko 1 (bazo indukcije), potem pa v predpostavki predpostavimo nekaj kar v splošnem ne drži, v koraku pa uporabimo predpostavko da se znebimo dela izraza, drugi del pa potem slučajno tudi zdrži, ali lahko tako dokažemo nekaj kar sploh ne drži.
Npr. imamo ulomek (21n+4)/(14n+3) ni celo št. za noben naraven n, za n=1 očitno ne drži, kaj pa če drži za nek drug n, ali se tak primer lahko dokaže z matematično indukcijo.
zanima me kako je definirana matematična indukcija. Razmišljal sem ali se da z njo dokazati, kaj kar ni povsem pravilno, oz. zdrži le za spremenljivko 1 (bazo indukcije), potem pa v predpostavki predpostavimo nekaj kar v splošnem ne drži, v koraku pa uporabimo predpostavko da se znebimo dela izraza, drugi del pa potem slučajno tudi zdrži, ali lahko tako dokažemo nekaj kar sploh ne drži.
Npr. imamo ulomek (21n+4)/(14n+3) ni celo št. za noben naraven n, za n=1 očitno ne drži, kaj pa če drži za nek drug n, ali se tak primer lahko dokaže z matematično indukcijo.