Funkcijska odvisnost

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 25.11.2011 14:42

Živjo, rabim pomoč pri naslednjem problemu.

Z numeričnim reševanjem dobim rešitev neke diferencial enačbe drugega reda -t.j. razvoj v času, ki je tudi odvisen od dveh parametrov, recimo jima A in B.
Iščem konstanti C in D. Konstanta C je časovno povprečje kvadrata hitrosti skozi čas \(<v^2(t)>=C\) in konstanta D je naklon/odvod časovne odvisnosti časovnega povprečja kvadrata razdalje \(<r^2(t)>=D\ t\).

Sedaj pa moram ugotoviti odvisnosti konstant C in D od parametrov A in B. Iščem torej C(A,B) in D(A,B).
Spreminjal sem A in B in tako dobil vrednosti C in D; za nek A sem spreminjal B in fittal dobljeno krivuljo in za nek B sem spreminjal A in fittal dobljeno krivuljo.
Problem je, ker ne vem, ali sta A in B neodvisni druga od druge. Torej ali je C=f(A)g(B) in D=h(A)i(B).

Kako lahko to preverim in kako lahko dobim funkcijsko odvinosti C(A,B) in D(A,B).


Hvala

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 25.11.2011 19:43

A to je integracija na fiksnem intervalu. Kaksna je diferencialna enacba? Linearna? Nelinearna? Ce je nelinearna sta A in B skorajda neizogibno sklopljena, ne glede na to kaksne vrste parametra sta to. Ce je linearna, potem je itak razsitev razcepna, pa za povprecne kvadrate tudi potem veljajo kaksne lepe stvari. Odvisno je od diferencialne enacbe, delno bi se verjetno dalo poracunat analiticno. Vprasanje je tudi, ali imas kaksen model za funkciji f(A) in g(B) ali fitas neke splosne odvisnosti?

Ce si nafital pri fiksnem A in pri fiksnem B, potem kar zapisi C kot produkt in poglej razliko tega do dejanskega stanja. Torej,
C-f(A)g(B)
na tockah pri razlicnih parih A in B. Ce to ocitno ni nic, lahko na preostanek ze kar fitas kaksno drugo funkcijo in dobis naslednji boljsi priblizek.

Ce nimas modela in fitas neke potencne funkcije, potem bi bilo itak najboljse fitat zadevo v obliki
C=a1+a2*A+a3*B+a4*AB+a5*A^2+a6*B^2+...
in pogledat kateri parametri so smiselni da jih obdrzis. S tako potencno vrsto v bistvu popises tudi sklopitvene (produktne) clene in lahko popises kakrsnokoli splosno odvisnost.

Skoraj ne verjemem da bi bilo lahko razcepno na produkt.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 25.11.2011 20:04

V bistvu gledam Langevin-ovo enačbo: \(\frac{dv}{dt}=-Bv+A\ \eta(t)\) v 3D. Drugi del predstavlja Brownovo gibanje - tu sem vzel naključna števila.
Nekaj sem že iskal na netu pa nisem našel podatkov; kakšne so stvari v realnosti bi mi zelo pomagalo.

Na oko mi izgleda, da funkciji A in B nista odvisna. Za fitanje tudi nimam nekega konkretnega modela. Vendar se - vsaj pri funkcijski odvinosti od A - zelo lepo (popolnoma) prilega kvadratna enačba. Za odvisnosti od B pa stvar zgleda nekako kot da eksponetno pada. Fit je lep, ampak nevem če je prav.

Koeficient D (torej naklon časovnega povprečja kvadrata razdalje) naj bi bil povezan s funkcijo n(r,t), ki opisuje verjetnostno gostoto. In za velike časa naj bi ta funkcija izgledala kot difuzijska enačba. Ali je funkcija n(r,t) funkcija časa in razdalje ali funkcija časa in položaja. Torej je r razdalja - neodvisna od smeri? Gibanje je popolnoma naključno (povprečje razdalje je nič), zato me stvar malo bega.

Hvala

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 25.11.2011 20:26

Aja to je pa bistveno lazje kot sem mislil. To sva ze enkrat obdelala, vkljucno s spektralno resitvijo enacbe. Prispevka A in B sta res neodvisna. V bistvu imas itak samo en parameter, A lahko vedno izpostavis ker je vse sorazmerno z njim. Iz tega direktno sledi, da je \(\langle v^2 \rangle = g(B)A^2\). g(B) se da dobit analiticno iz spektralne oblike. D je pa itak difuzijska konstanta.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 25.11.2011 20:46

To kar delam, moram opraviti numerično. Torej rešiti enačbo (numerično) za dovolj velike čase in potem poiskati določene lastnosti iz podatkov, ki sem jih dobil. Dobiti moram D v odvisnoti od A in B.
Kako se da dobiti g(B) iz spektralne oblike?

Ali je verjetnostna gostota, ki sledi difuzijski enačbi funkcija razdalje in časa ali kraja in časa?

Hvala

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 25.11.2011 22:10

Hm... kraja in casa, ce misliva na isto stvar, ceprav je itak isto. To je porazdelitev po polozaju ob casu t. Zacnes pri delta funkciji v 0 (polozaj v izhodiscu), potem se pa razleze narazen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Power_spectral_density
http://mathworld.wolfram.com/Wiener-Khi ... eorem.html
http://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html

V osnovi: povprecje kvadrata signala je sorazmerno z integralom mocnostnega spektra. Torej, ce imamo
\(v(\omega)=\frac{(B+i\omega)}{B^2+\omega^2} A\eta(\omega)\)
velja tudi
\(\langle v^2(t)\rangle\propto \int |v(\omega)|^2{\,\rm d}\omega\propto \frac{A^2}{B}\)
ce predpostavis da je spektralna gostota suma konstantna (beli sum). Pisem samo sorazmerja zato ker formalno ne smes uporabit Fourierove transformacije kot take ampak moras delat z avtokorelacijsko funkcijo in mocnostnim spektrom (energija signala v neskoncnem casu je namrec neskoncna in \(v(\omega)\) ne obstaja). Za samo odvisnost od parametrov je pa v redu.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 25.11.2011 22:53

Mislim, da je funkcija kraja \(n ( r ,t)=n(x,y,z,t)\) in ne razdalje \(n(r,t)=n(\sqrt{x^2+y^2+z^2},t)\).

Da je isto? Zato ker je itak random in gre v bistvu v povprečju enako v x,y in z-smer enako. Torej je funkcija sferično simetrična?

Kako je lahko integral sorazmeren z 1/B? \(A^2\) vidim od kje pride, kako je pa z 1/B? Ali pride iz integracije šuma?

Hvala za pomoč

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 25.11.2011 23:16

Aja 3d mislis. Ok ja... sfericno simetricno bo, edini razlog da ne bi bilo je da bi bil sum anizotropen.

Tam spredaj imas
\(\frac{B+i\omega}{B^2+\omega^2}\)
Rabis pa absolutno vrednost tega na kvadrat:
\(|\frac{B+i\omega}{B^2+\omega^2}|^2=\frac{1}{B^2+\omega^2}\)
Integral tega od minus neskoncno do neskoncno pride konstanta * 1/B.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 25.11.2011 23:32

Ne, šum je enakomeren, uporabil sem gaussovo porazdelitev.

A je funkcija zagotovo sferična? Po razmisleku se mi zdi, da je oblika funkcije res neodvisna od smeri, ampak velikost pa ne. A ni oblike kocke, torej take oblike, kot da bi sfero preoblikovali/raztegnili v kocko, s tem da točke (x,0,0), (0,y,0) in (0,0,z) ostanejo pri miru? Je kaj na tem or am I overthinking it?

Glede integrala pa ja, imaš prav. Površnost pri kvadriranju, imenovalca nisem kvadriral.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 26.11.2011 0:04

Uf... ja ce generiras enakomerno porazdelitev (med 0 in 1 ali mogoce med -1 in 1) potem res ni izotropno. Ce imas pa gauusovo porazdelitev, je pa produktna porazdelitev izotropna. Pac odvisno tocno kaksen sum imas. In ce imas sum karkoli kar ni bel sum (bel sum v bistvu v naravi ne obstaja), moras to upostevat pri integraciji. Najprej pa poskusi pofitat s tistim kar sva zgoraj dobila, ce je res prav.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 26.11.2011 0:33

Fit 1/B se res lepo ujema, bo kar pravi.

Za šum imam normalno/gaussovo porazdelitev.
Pri integraciji sem to upošteval tako, da sem pri vsakem koraku pomnožil šum s korenom časovnega koraka. Torej: \(v(i+1)=v(i)-B\ v(i) \Delta t + A\ \eta \sqrt{\Delta t}\).

Resda uporabljam gaussovo porazdelitev, ampak položaj delca je še vedno vektorska vsota treh dimenzij (x,y in z). In razdalja od središča do neke točke \(x_0\) v 1D je vedno manjša od razdalje v trodimenzionalnem prostoru do točke \(r_0=(x_0,y_0,z_0)\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 26.11.2011 0:54

No sam koren iz casa sicer vpliva na normalizacijo... kako pa generiras stevila \(\eta\)?

Ja v vec dimenzijah je res vazno ali gledas velikost razdalje ali eno samo koordinato.
\(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-x^2/2\sigma^2}\)
\(\rho(\vec{r})=\rho(x)\rho(y)\rho(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}^3}e^{-(x^2+y^2+z^2)/2\sigma^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}^3}e^{-r^2/2\sigma^2}\)
To je verjetnostna gostota po volumnu. Sama porazdelitev po radiju (ce te kotni del ne zanima) je pa res drugacna, zaradi Jakobijana preslikave - oddaljenih tock je pac vec. Dobis
\(\rho(r)=\frac{4\pi }{\sqrt{2\pi\sigma^2}^3} r^2 e^{-r^2/2\sigma^2}\)

Pri difuziji gre \(\sigma^2 =Dt\)

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 26.11.2011 1:16

Čakaj, občutek imam, da se nisva dobro razumela.
Moja števila \(\eta\) so random števila po gaussovi porazdelitvi. Kako jih generiram? Uporabljam Matlab in v njem ukaz randn.
A bi morala imeti verjetnostna gostota obliko gaussove krivulje? A to zato ker imamo opravka z naključnimi pojavi?
Nisem še prišel do tam, še delam na tem, da dobim funkcijo verjetnostne gostote skozi čas.

Ali v difuzijski enačbi \(\partial_t n=D\nabla^2n\) nastopa porazdelitev po radiju ali kraju?
Oziroma ali lahko uporabim oboje? Samo, da če uporabim porazdelitev po radiju, moram upoštevati še faktor\(4\pi r^2\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 26.11.2011 11:04

V difuzijski enacbi imas Laplaceov operator \(\nabla^2\), ki je prostorski odvod, ki vkljucuje vse smeri v prostoru. Ta enacba govori o prostorski porazdelitvi. Ce hoces, lahko \(\nabla^2\) zapises v sfericnih koordinatah in direktno predpostavis, da ni kotne odvisnosti. S tem dobis enacbo za porazdelitev po razdalji:
\(\partial_t n=D\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial n}{\partial r})\)

Podobno velja v 2D. Tam uporabis cilindricne koordinate, v katerih se Laplace napise nekoliko drugace (namesto r^2 ti nastopa r).


Mislim da sama porazdelitev po kateri generiras \(\eta\) ne igra take vloge, glavno je da so njegove vrednosti neodvisne ena od druge. To je potem bel sum. Ce gledas "od dalec" - vec drobnih casovnih korakov vzames skupaj, potem je porazdelitev teh vedno bolj Gaussova, zaradi centralnega limitnega izreka. Recimo 6x manjsi korak pri katerem generiras stevila po enakomerni porazdelitvi ti da prakticno isti efekt kot da uporabis vecji casovni korak in Gaussovo porazdelitev. Je pa res matematicno lepse da takoj uporabis Gaussovo porazdelitev.

Rokerda
Prispevkov: 799
Pridružen: 11.11.2006 16:18

Re: Funkcijska odvisnost

Odgovor Napisal/-a Rokerda » 26.11.2011 12:30

Seveda lahko Laplacea zapišem v sferičnih koordinatah, ampak ali lahko predpostavim, da ni kotne odvisnosti?
Namreč mislim, da funkcija ni sferno simetričma, ima obliko kocke in ne sfere; če veš kaj mislim.

Kako lahko numerično preverim, če se dobljena porazdelitev ujema z difuzijsko enačbo? Crank-Nicolson je super metoda, vendar nimam mej.

Hvala

Odgovori