Vektorji

[kim]

Prosim za pomoč pri naslednjih nalogah:

1. V paralelogramu ABCD naj točka E deli stranico AB v razmerju |AE|:|EB| = 3:2 in naj točka F deli stranico BC v razmerju |BF|:|FC| = 3:1. Točka M naj bo presečišče daljic AF in DE. Izračunajte razmerje |AM|:|MF|.

2. Dane so točke v prostoru: A(-2,0,3), B(-1,2,1) in C(0,6,0).
Zapišite vektorja vec{a}=vec{AB} in vec{b}=vec{AC} v koordinatah, izračunajte njuni dolžini in kot med njima

3. Naj bodo A, B in C točke iz 2. naloge. Določite takšno točko D, ki bo določala paralelogram ABCD. Nato izračunajte tudi kot med diagonalama paralelograma.

[Aniviller]

1. Zapisi vse tocke kot linearne kombinacije vektorjev a=AB, b=AD.
\(AE=\frac{3}{5}a\)
\(BF=\frac{3}{4}b\)
AM je na neznanem delezu AF, EM pa na neznanem delezu ED:
\(AM=tAF=t(AB+BF)=t(a+\frac{3}{4}b)\)
\(EM=uED=u(EA+AD)=u(-\frac{3}{5}a+b)\)
Zdaj samo zapises
\(AM=AE+EM\)
das komponente a skupaj in komponente b skupaj in dobis enacbe za u in t.

2.
\(\vec{a}=B-A=(-1,2,1)-(-2,0,3)=(1,2,-2)\)
\(\vec{b}=C-A=(0,6,0)-(-2,0,3)=(2,6,-3)\)

3.
D=A+AB+AC

[Aniviller]

Aja, pri tretji sem narobe oznacil oglisca paralelograma, za paralelogram ABCD je AD=BC, se pravi je D=A+AD=A+BC=A+C-B.

[fmf]

Vektorji a,b in c so paroma pravokotni in zanje velja
|a|=|b|=1, |c|=2.
Izračunaj volumen paraelepipeda z robovi a+2b, c-a in 2b-c.
Enačba za volumen paralelepipeda se glasi: |axb|*|c|*cos(gama).
Na kakšen način dobim kot gama.....lepo bi prosil nekoga, ki obvlada te vrste nalog za pomoč.
Hvala...

[Aniviller]

Uporabi raje vektorski zapis, tisti kosinus pride iz skalarnega produkta, ki ga lahko kar notri pustis, kotnih funkcij sploh ne rabis. Pravokotnost pomeni, da je skalarni produkt enak 0. Ker imas vse stranice zapisane kot linearne kombinacije baznih vektorjev, za katere ves da tvorijo ortogonalno bazo, lahko razbijes izraz na vec clenov, ki jih poznas.

Volumen za stranice u=a+2b, v=c-a, w=2b-c:
\(V=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|=|(\vec{u},\vec{v},\vec{w})|\)
oziroma katerakoli druga permutacija (na koncu sem zapisal kot mesani produkt).
Zdaj samo razbijes:
\(=|((\vec{a}+2\vec{b})\times(\vec{c}-\vec{a}))\cdot\vec{w}|\) (zadnjega se ne bom razbijal da ne bo prevec pisanja),
\(=|((\vec{a}\times\vec{c})-(\vec{a}\times\vec{a})+2(\vec{b}\times\vec{c})-2(\vec{b}\times\vec{a}))\cdot\vec{w}|\)
Drugi clen je 0 po definiciji.
\(=|((\vec{a}\times\vec{c})+2(\vec{b}\times\vec{c})-2(\vec{b}\times\vec{a}))\cdot(2\vec{b}-\vec{c})|\)
\(=|2(\vec{a},\vec{c},\vec{b})+4(\vec{b},\vec{c},\vec{b})-2(\vec{b},\vec{a},\vec{b})-(\vec{a},\vec{c},\vec{c})-2(\vec{b},\vec{c},\vec{c})+2(\vec{b},\vec{a},\vec{c})|\)
Spet sem skrajsal notacijo tako, da sem pisal mesani produkt: \((\vec{a},\vec{c},\vec{b})=(\vec{a}\times\vec{c})\cdot\vec{b}\)
Zdaj samo pogledas in vidis da je kup clenov, kjer se dva vektorja ponovita. Ti cleni so avtomatsko 0 (ena razlaga: vektorski produkt tistih dveh vektorjev je 0. Druga razlaga: vsak clen je spet volumen paralelepipeda in ce ima dva robova enaka je volumen enak 0).
\(=|2(\vec{a},\vec{c},\vec{b})+2(\vec{b},\vec{a},\vec{c})|\)
Tukaj moras pazit. Ce ciklicno zavrtis clene v mesanem produktu, ostane rezultat isti: (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b). Ce bi pa dva samo zamenjal, pa dobis minus spredaj. V nasem primeru ni minusa, ker je le ciklicna permutacija. Ker so a,b,c pravokotni, je mesani produkt volumen kvadra:
\(=|4(\vec{a},\vec{c},\vec{b})|=4|a||b||c|=8\)

[fmf]

Pozdravljen,
hvala za tako obsežen odgovor. Zamenjal sem 2 vektorja in nisem upošteaval minusa. Cenim vaš trud in znanje. Lp

[fmf]

na hitr eno, če lahko prosm:
izračunajte višino iz oglišča A v trikotniku z oglišči: A(-1,4,2), B(4,4,4), C.(-3,-1,0). A' sem označil kot (a,a,a) in zapisal AA'=(a+1,a-4,a-2), potem sem izračunal enačbo BC*AA'=0...je to pravilno?

[Aniviller]

Hm.... v splosnem ne vem ravno, zakaj bi bilo ravno (a,a,a), to nekje predpostavis, da A' lezi na diagonali v zunanjem koordinatnem sistemu, kar ni nujno res. Jaz bi sel tako, da je nozisce visine A' nekje vmes med B in C, in torej lahko napises recimo
A'=B+BC*t
in potem res resis enacbo BC*AA'=0 (neznanka t).

[fmf]

hvala....še eno bi meu, lepo prosm
dani so vektorji a=(-5,6,-4), b=(-6,3,-3) in c=(-1,-6,-3)...šel sm po formuli V=|(axb)*c| poračunu sm najprej vektorski produkt, pol pa to skalarno množil z c...zakaj to ni prav?

[Aniviller]

A isces volumen paralelopipeda s temi stranicami? V tem primeru bi moral dobiti prav, ce je to res tisto, kar isces. Vektorski produkt pride (-6,9,21), skalarni pa potem -111.

Lahko pa kar tisto 3x3 determinanto zapises.

[fmf]

Živjo, kaj pomeni, da sta vektorja vzajemno pravokotna? Hvala

[Aniviller]

No to je samo fancy nacin za povedat, da sta pravokotna. Pri dveh vektorjih je komutativno - je prvi pravokoten na drugega velja tudi obratno. Taka navedba ima vec smisla, ce imas vec kot 2. Potem bi rekel da so vzajemno pravokotni, ce so vsi pari pravokotni.