Univerzitetna fizika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 3.8.2012 1:13

1. Ja, hladilnik potrebuje delo da crpa iz hladnega na topel del. Ampak hkrati ti toplotni stroj, ki proizvaja delo za hladilnik, toploto spravlja nazaj na hladen del. Zunanjega dela torej ni. Ce je s termodinamiko vse v redu, bo koncna bilanca taka, da bo vec teklo iz toplega na hladno kot nazaj. Ce napacno predpostavis, da je stroj boljsi od Carnotovega, pa dobis protislovje, da ti toplota tece iz hladnega na toplo ne da bi kdorkoli delal.
2. Seveda.
3. Ja, itak je ta situacija enaka kot posoda cudne oblike: ce ni kje zaprto, da bi tlak narasel, je gladina povsod enaka. Ce polnis iz odprtega dela, je odvisno, ce je ze kaj vode notri... v splosnem polnjenje iz obeh strani poveca tlak ujetega zraka in je celo odvisno potem od tega koliko je tega zraka.

Malo si zmesal stvari. Navor je pravokoten na rocico in silo teze, torej kaze v vodoravni smeri. Navpicna je samo os, okrog katere precedira vrtilna kolicina.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 4.8.2012 1:06

Aha pri 1 - 3 vse jasno...

Precesija:

Vem kam kaže navor. Ampak te povezave mi niso jasne z vrtilno količino. V Strnadu je zelo čudno tole narisano. Imaš morda knjigo kje pri roki? Tisti kot fi pri spremembi vrtilne količine in samo vrtilno količino mi ni jasen. Zakaj je tisto tako kot je :)

Pa prosil bi še za pomoč pri tisti diferencialni enačbi ki sem jo zapisal :)

lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 4.8.2012 1:18

gcn64 wrote: b) Ter še en primer diferencialne enačbe:

\((dx/dy)^2=(C-y)/y\)

Tole se da rešiti s pomočjo ločitve spremenljivk. Ampak ne dobim pravilnega rezultata. V parametrični obliki bi rešitev naj izgledala:

\(x=c/2(t-sin(t))\)

\(x=c/2(1-cos(t))\)

Hvala za trud!

lp
No parametrizacij je neskoncno, ni tako nujno da dobis isto :) Povej kaksen postopek si ti uporabil?

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 6.8.2012 2:26

...ločil sem spremenljivke. Po korenjenju in premetavanju dobimo tole:

\(\sqrt{\frac{C-y}{y}}dy=dx\)

Tale integral sem poskušal rešiti s pomočjo priročnika ampak dobim neke klobase ven. Enako z Mathematico recimo...

Glede precesije, me zanima če si prav predstavljam:
Imamo vrtavko ki se vrti in precesivno giba. Sila teže torej povzroča navor. Zaradi vektorskega produkta vemo, da navor kaže v vodoravni smeri (v krožni ravnini precesivnega gibanja). Ker velja:

\(M=\frac{dL}{dt}\)

kjer je M navor ter L vrtilna količina, kaže sprememba vrtilne količine v isti smeri kot navor. dL torej v bistvu kaže tangentno na rob plašča stožca, katerega opiše precesivno gibanje. Velja tudi:

\(dL=L_0\theta\)

kjer je \(\theta\) kot, ki ga opisuje precesija. In končno je:

\(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)

in je \(\omega\) kotna frekvenca precesije. Si prav predstavljam?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 6.8.2012 9:42

Precesijo si zelo dobro opisal, edino pri \({\rm d}L=L_0{\rm d}\theta\) moras pazit, ker \(L_0\) ni cela vrtilna kolicina ampak samo komponenta v ravnini precesije (ce pogledas od vrtilno kolicino, vidis da opisuje krog v tlorisu s polmerom L_0).

V vektorski obliki lahko zgornje napises kot
\(\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\omega} \times \vec{L}\)
kjer je \(\vec{\omega}\) kotna hitrost precesije, ki kaze v vertikalni smeri (smer okrog katere krozi vrtilna kolicina). Vektorski produkt zdaj poskrbi, da je kotna hitrost obcutljiva na kot nagiba vrtilne kolicine, saj je velikost desne strani \(\omega L \sin\Psi\), kjer je \(\Psi\) nagib osi vrtavke glede na navpicnico.

Zgornje je le uporaba splosnega dejstva, da lahko casovni odvod katerega koli vektorja pri vrtenju zapises z vektorskim produktom s kotno hitrostjo.

Glede diferencialne enacbe: ja, tole kar ti opisujes je eksplicitna izrazava - postopek je v redu, samo integral pac ni lep. Parametricno obliko dobis, ce ti uspe integral razcepit na kak drug nacin. Idej je veliko, niso pa vse enako ucinkovite. Za tole recimo lahko das p=y'. Dobis
\(y=\frac{C}{1+1/p^2}\)
S tem je y ze izrazen s p, karkoli ze je ta p. Za x pa malo razpisujes.
\(dx=dy/p=\frac{1}{p}\frac{C}{(1+1/p^2)^2}(2\frac{1}{p^3})dp\)
Vmes smo odvajali zgornji izraz za y.
\(\int dx=\int \frac{C}{(1+p^2)^2}dp\)
To lahko integriras, s cimer imas tako y kot x izrazen s p. Na p-ju seveda lahko delas skoraj poljubne substitucije, tako da lahko potem pogledas, ce se da kaj poenostavit. Ce izberes parameter na drugacen nacin, bo pa tudi resitev drugace izrazena.

Recimo ce das p=dx/dy, dobis
\(y=\frac{C}{1+p^2}\)
in
\(dx=p\,dy=p\frac{-2Cp}{(1+p^2)^2}dp\)
kar se tudi da integrirat.

Ce das tan(fi)=dx/dy, je recimo
\(y=\frac{C}{1+\tan^2 \phi}=C\cos^2\phi\)
\(dx=\tan\phi \,dy=-2C\tan\phi \cos\phi\sin\phi\,d\phi=-2C\sin^2\phi\,d\phi\)
integral pa da
\(x=C(\sin\phi\cos\phi-\phi)+D\)
Ce tukaj pretvoris na dvojne kote, dobis nekaj takega, kot si navedel prej.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 6.8.2012 21:27

Tisto je tiskarski škrat. Bi bilo malo čudno če nebi bilo diferenciala pred \(\theta\) :)

Tale diferencialna je bila na kolokviju že pred nekaj časa. Torej se sklepa, da na kolokviju poskušaš vpeljevat različne parametre, da prideš do tiste rešitve ki jo zahteva?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 7.8.2012 8:43

gcn64 wrote:Tisto je tiskarski škrat. Bi bilo malo čudno če nebi bilo diferenciala pred \(\theta\) :)
Ja to sem predpostavljal in niti nisem komentiral, samo za L0 sem hotel povedat kaj je :)
gcn64 wrote:Tale diferencialna je bila na kolokviju že pred nekaj časa. Torej se sklepa, da na kolokviju poskušaš vpeljevat različne parametre, da prideš do tiste rešitve ki jo zahteva?
Eden je dovolj. Parametrizacij vsake krivulje je neskoncno in nobena nima kaksne posebne prednosti (razen mogoce naravne parametrizacije, ce opisujes krivuljo v prostoru, pa se pri teh imas dve prostostni stopnji). Dovolj je torej, da vpeljes katerikoli parameter, ki te lahko pripelje do uporabne resitve. Pri resevanju diferencialnih enacb je bolj pomembno, katero kolicino razglasis za parameter. Zelo pogosto je to odvod spremenljivke, kar se verjetno tudi obravnava na predavanjih. V kaksni obliki uvedes parameter pa pravzaprav samo menja spremenljivko v integralu. Jaz sem ti samo dal 3 moznosti, da vidis nekaj tipicnih nacinov. Seveda lahko prvo resitev spremenis v drugo, ce zamenjas p v 1/p, pri zadnji pa p=tan(fi).

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 28.8.2012 17:32

Oj!

Imam nekaj vprasanj... :)

1.
Skiciranje funkcij. V knjigi matematika v fiziki in tehniki je poglavje o skiciranju funkcij. Avtorja prikažeta enostaven primer, tj. racionalna funkcija. Takšne in podobne funkcije ni problem skicirat. Malo drugače je pa s funkcijami v funkcijah. Je kakšen poseben pristop? Primer so recimo ln(sinx), sin(x^2), e^(-1/x) itd...

2.
Funkcija e^(-1/x) ima limito ko gre x proti 0 iz leve in desne različno. Vendar če vstavim 0 v funkcijo vedno pride neskončno. Kako pri takšnih funkcijah vemo, da gre za dve limiti?

3.
Potek reševanja majhnih nihanj: po razvoju potencialne energije okoli ravnovesja do prvega neničelnega člena imamo:

\(Wp/mg=1/2*Wp''x^2\)

\(Wp''=k\)

Sedaj lahko npr. enostavno poiščemo nihajni čas elipsastega nihala. Zanima pa me, kako postopati če si zamislimo nihalo, ki se giblje po krivulji y=x^3 s temenom v ravnovesni legi. Tudi podobno kot v primeru elipse (saj je situacija v bistvu podobna navpično postavljeni elipsi, sploh ker smo pri majhnih nihanjih)?

4.
Bega me sam koncept konvolucije oz. ''cross correlation'' (križna korelacija?). Najprej: kakšna je bistvena razlika med njima? In kakšno vlogo ima npr. konvolucija v fiziki...

Najlepša hvala za ogd. že vnaprej :)

lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 28.8.2012 18:50

1. Hehe. Ja malo tezje je ampak se da. Malo izkusenj res pomaga. Recimo \(x\to \frac{1}{x}\) preslika vse dogajanje okrog x=0 v neskoncnost in obratno, okrog x=1 je pa zrcaljenje. Tako da za \(e^{-1/x}\) pogledas \(e^{-x}\(. Tvoja funkcija bo torej imela intenzivno priblizevanje nicli pri x=0, pri x=1 bo e^-1, pri x=neskoncno bo slo pa proti 1 (asimptota). Pri sin(x^2) premaknes nicle: sin(x) ima nicle pri 0,pi,2pi,..., torej jih ima sin(x^2) pri 0, sqrt(pi), sqrt(2pi),.... Nasploh ti v teh primerih zelo pomaga, ce notranjo funkcijo gledas kot preslikavo x osi (to se da direktno, ce je monotona). V tem primeru je notranja funkcija x^2, inverz je pa sqrt(x), ki ti povena katera mesta se vse skupaj prestavi. V specialni tocki x=0 pa razvijes sinus in vidis, da mora it priblizno kot sin(x^2)=x^2.

Pri ln(sin(x)) je obratno: notranja funkcija je grda (nemonotona), je pa zunanja lepa, kar pomeni, da lahko enostavno narises sin(x) in uporabis logaritem na y vrednostih. Torej, pri \(g(f(x))\) ima g efekt na y os, inverz funkcije f pa efekt na x os. S tem vecinoma vedno prides skozi, ce pa naletis na se bolj grdo stvar pa pac vrzes pusko v koruzo in skiciras po tockah in ekstremih (ali pa z racunalnikom).

2. Ravno iz preslikave iz x v 1/x. Zacnes z e^-x, in preslikas levo neskoncnost v levo nic, desno neskoncnost pa v desno nic. Ker ima e^-x razlicni limiti pri +neskoncno in -neskoncno, potem isto velja za +0 in -0 tvoje spremenjene funkcije.

3. No, ce mislis y=x^3 potem je to itak sedlo, ne ekstrem, in se ti nihalo skotali po klancu v minus neskoncnost :) Vem pa kaj mislis. Ce imas karkoli drugega kot kvadratni razvoj okrog ravnovesja, potem nihanje ni harmonicno (ni sin/cos in nima frekvence neodvisne od amplitude). Primere takih cudnih nihal najdes tudi v naravi: "nihanje" v trikotnem zlebu (potencial Wp=k|x|) ima na vsaki strani zleba parabolicno obliko in za to ves (kot pri prostem padu), da visje skace, dlje rabi. Podobno velja za precno nihanje zrahljane (nenapete) strune. Ce je napeta, je potencial oblike nekaj+kx^2+qx^4+..., in se v razvoju za majhna nihanja vedno pozna le x^2 clen. Ce pa ni v naprej napeta, pa je k=0. Ne glede na to kako majhna so nihanja, vedno je x^4 prvi nenicelni clen. Tako nihalo ima ravno obraten efekt kot trikoten zleb: za majhne oblike zelo zelo pocasi niha, ker je pac zrahljana. Ce povecas amplitudo, pa zaniha hitreje, ker ze poseze v strm klanec funkcije x^4.

Harmonicna nihanja so zato tako pogosta, ker se obicajne analiticne funkcije povsod, razen v zelo specialnih tockah, dajo razvij po Taylorju (s tem odpadejo vse absolutne vrednosti in necele potence). Potem moras imeti res smolo, da je drugi odvod tudi 0.

4. Ce gres preko Fourierove transformacije ali integralske definicije, potem je razlika v predznaku :) Fizikalno je pa to cisto nekaj drugega.

Korelacija je v splosnem mera podobnosti dveh funkcij. Gre za isto foro kot pri skalarnem produktu, samo da imas namesto komponent vrednosti pri razlicnih x, tako da je namesto \(\sum_i f_i g_i\) pac \(\int f(x)g(x)\,{\rm d}x\). Ce sta funkciji hkrati pozitivni in hkrati negativni, bo korelacija visoka (funkciji sta podobni). Nasploh, bolj sta podobni, visja je korelacija. Ce stvar normiras (korelacijo delis s korenom produkta korelacij funkcij samih s seboj), potem dobis v vektorskem smislu "kosinus kota med vektorjema" (za vektorje je to tisto, kar meri, koliko kazeta v isto smer). Korelacija 1 je mozna samo, ce sta funkciji enaki, korelacija 0 pa, ce sta ortogonalni (kot sta recimo sinus in kosinus na celem stevilu period).

Konvolucija je pa razmazanje po nekem vzorcu. Recimo ce hoces zgladit funkcijo, recimo naredis konvolucijo z Gaussom ali cem podobnim: to v principu vsako tocko na funckiji, ki zacne kot oster stolpec, razmaze v obliki funkcije s katero delas konvolucijo. Konvolucija s pravokotno funkcijo (recimo od y=1 za x=-0.5 do 0.5) vsako vrednost funkcije nadomesti s povprecjem po okolici sirine 1. Konvolucija s funkcijo z dvema spicama sesteje dve zamaknjeni verziji funkcije. In podobno. Konvolucija se naravno zgodi pri vecini linearnih procesov. Zelo pogosto dobis konvolucijo s funkcijo y=e^-x za x>0, y=0 za negativne. To pomeni, da si recimo senzor ali nek fizikalni sistem od prej zapomni kaksno stanje je imel in pocasi "pusca" (pozablja). Recimo, ce veliko cisterno vode grejes z grelcem, katerega temperatura je f(t), potem bo najbrz temperatura vode \(f(t)\ast g(t)\), kjer je \(g(t)=\lambda e^{-\lambda t}\) (t>0).

Dobra razlaga je to, da g(t) opisuje odziv na tockast signal (delta funkcija). Potem smatras vhodni signal kot zaporedje kratkih impulzov z razlicnimi intenzitetami, na izhodu pa se vsaka nadomesti z g(t) ustrezne jakostji (in sesteje seveda). To je tocno integral, ki definira konvolucijo.
Ta razlaga razlozi tudi konvolucijo v optiki: ce gledas prizor skozi objektiv, ki vsak piksel razmaze v nek krogec, je slika konvolucija krogca s sliko. To ti pomaga take zadeve odpravit, saj v primeru, da je sum dovolj majhen in prenosna funkcija g dovolj pohlevna, lahko naredis dekonvolucijo in dobis relativno dobro rekonstrukcijo originalnega signala. Seveda pa moras vedet tocno kaj kamera naredi z vsakim pikslom (google: point spread function).

Tole so zanimiva vprasanja, ce je se kaj nejasno ali te kaj dodatnega zanima, kar vprasaj.\)
\)

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 4.9.2012 22:33

Mislim, da bom imel pri konvoluciji še kar nekaj vprašanj :) Najprej pa:

2. A ni limita ko gre x v plus oz.minus neskončno enaka tj. 1? Ali vedno, ko imamo različne limite v neskončnosti, imamo tudi različne pri 0 iz leve in desne?

3. Tega pa ne razumem najbolje. V mislih sem imel nihalo, katerega vrh se giblje po obliki krivulje y=x^3. Dolžina nihala se neprestano spreminja. Kako je v tem primeru z razvojem?

4. Če greva najprej na korelacijo. Tole se torej uporablja, kadar želimo primerjavo dveh funkcij. Korelacija ima obliko (wiki):

\(f*g(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f^*(\tau)g(t+\tau)d\tau\)

Kaj je sploh ta \(\tau\)? Zakaj kompleksno konjugiran f?

Prosil bi te še za pomoč pri naslednjih nalogah ki sem jih slučajno našel na netu:

5.
Image

Zanima me tista hitrost. Pospešek se namreč spreminja, saj znotraj lupine na delec delujejo le sile od treh kroglic in ne lupina sama kar pa se spremeni ko delec pride izven. Pa še sile se spreminjajo zaradi spreminjajoče se razdalje. Kako se lotiti tega?

6.
Image

Pri drugi me zanima kako upoštevati tisto vzmet. S torzijskim nihanjem:

\(t_0=2\pi\sqrt{\frac{J}{G}}\)

ne pride prav...

7.
Zgornja slika, naloga 3:

ali ne velja:

\(I=I_R+I_C=I_L+I_R\) ?

Ker tokova ne dobim enaka...

8.

Želimo opraviti fourierovo transformacijo funkcije:

\(f(t)=cos(\omega_0t)e^{-\beta t}\)

Pridem do:

\(A(\omega)=1/2 \Big[ \frac{1}{-i(\omega+\omega_0)+\beta}+ \frac{1}{-i(\omega-\omega_0)+\beta} \Big]\)

Za spekter je tole potrebno kvadrirat. Zanima me pa sledeče. Po kvadriranju dobimo 3 člene. Sredinskega ne upoštevamo ker je imaginaren, zakaj pa ne upoštevamo prvega (z \(\omega+\omega_0\)), zadnjega (z \(\omega-\omega_0\)) pa? Vsaj na faksu smo delali tako...

Vnaprej se zahvaljujem za ves trud. Si mi že neštetokrat pomagal s svojimi odličnimi odgovori. Res vsaka ti čast ;)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 4.9.2012 23:01

2. Nisva se razumela. \(e^{-1/x}\) ima razlicni limiti pri +0 in -0, ker ima \(e^{-x}\) razlicni limiti pri \(\pm \infty\). Samo preslikavo s funkcijo 1/x sva naredila, ki je x-os obrnila samo vase (+0 v +neskoncnost in obratno, -0 v -neskoncnost in obratno). Ce si narises funkcijo 1/x vidis kaj naredi.

3. Uf to pa ne vem tocno kaj mislis. Kaksne vrste nihalo? Kaj ga zene?

4. kompleksna konjugacija je zato, ker gre za skalarni produkt in mora biti \(f\ast f(0)\) realen. \(\tau\) je integracijska spremenljivka, ki tece po celem obmocju. Ti moras namrec za vsak zamik funkcij t pointegrirat po celem obmocju, ker ne primerjas dveh tock funkcij ampak funkcije kot celote.

5. Kadar imas konservativne sile (posledice potenciala), gres z energijskim zakonom in se izognes pospeskom in Newtonovem zakonu.

6. Ne mores kar rinit z nekimi v naprej izpeljanimi formulami za posebne primere. Zapisi Newtonov zakon za rotacijo, ga prepisi v standardno obliko in preberi krozno frekvenco. V tem primeru imas skupno delovanje magnetne sile in sile vzmeti.

7. Upam da ne predpostavljas, da sta tokova skozi levi in desni uporabnik enaka... ker nista. Lahko gres kar z nadomestno impedanco vezja:
\(Z=\frac{1}{1/R+i\omega C}+\frac{1}{1/{i\omega L}+1/R}\)
\(U_{eff}=ZI_{eff}\)

8. Spekter je kvadrat absolutne vrednosti (oziroma \(A(\omega)A^\ast(\omega)\)). Ce dobis kaksne imaginarne zadeve delas narobe.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 6.9.2012 0:50

3.
Moja napaka. Seveda tako nihalo ne more obstajati, kot si že ugotovil. Mislil sem absolutno vrednost tega oz. ni niti tako važno, lahko je tudi x^4 ali kaj podobnega. O parabolični obliki si že pisal, zanima pa me, kako se lotiti obravnave. Kadar se nihalo giblje po krožnici postopamo z razvojem okoli ravnovesne lege. Tukaj pa enako, ampak da sedaj drugače zapišemo potencialno energijo?

4.
Torej je v tem primeru f funkcija s katero ''gladimo'' g pa naša prvotna funkcija? Npr. da je t čas, \(\tau\) pa nek drug čas. Funkcijo f imamo torej pri nekem času, funkcijo g pa translacijsko premaknjeno. Kako si razlagati odvisnost \((t+\tau)\)?

5.
Prišlo prav. Tukaj me nekaj zanima oz. mi ni logično. Če imamo poz. in neg. naboj, bi dobili neg. el. pot. energijo. Potrebujemo torej absolutne vrednosti kar pa pomeni, da je enaka potencialna energija če imamo silo med dvema enako nabitima delcema in dvema nasproti nabitima?

6.
Nisem kar rinil. 2. newtonov zakon za vrtenje za ta primer:

\(F_1x-F_2x-D\varphi=-J\omega^2\varphi\)

Navora palic ki sta vzporedni osi vrtenja sta nasprotno enaka, torej dobimo:

\((t_0)^2D=J\omega^2\)

in dobimo enačbo ki sem jo zapisal...

7.
Če obravnavam obe vzporedni sekciji posebaj dobim impedanci:

\(Z^{RL}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\omega L}+\frac{1}{R}}}\)

\(Z^{RC}=\frac{1}{\sqrt{1+C^2 \omega^2 R^2}}\)

Potem seštejem zaradi zaporedne vezave impedanc ampak ne dobim prav. Kako si prišel do tistih i-jev v tvojem izrazu?

8.
Sem pomnožil s kompleksno konjugiranim (tudi z mathematico) ampak ne pride niti približno to kaj smo na faksu dobili.

\(A(\omega)=\Big[ \frac{1}{-i(\omega_0 +\omega)+\beta}+\frac{1}{-i(\omega_0 -\omega)+\beta} \Big]\)

in nato:

\(|A(\omega)|^2 \propto \frac{1}{-i(\omega_0 -\omega)+\beta}\)

Se mi zdi da je profesor zanemaril neke stvari...

Hvala!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 6.9.2012 9:48

3.
Ja tocno to sem ti ze razlozil. Ce imas potencial \(V=k|x|^n\), potem je sila \(F=-\frac{\partial V}{\partial x}=-n k x|x|^{n-2}\). Diferencialna enacba gibanja je torej
\(ma=m\ddot {x}=-n k x|x|^{n-2}\)
Za n=2 je to diferencialna enacba za harmonicno nihanje. Za vse ostale so pa precej zoprne funkcije (naceloma moras resevat numericno, razen v zelo specialnih primerih). Se vedno je periodicno, je pa frekvenca odvisna od amplitude in oblika nihanja ni sinus ampak nekaj rahlo drugacnega.

primer za n=1:

Code: Select all

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3D-x%2Fabs%28x%29
Vsake pol periode je ena parabola, spodaj, kjer ti narise za razlicne zacetne pogoje, vidis da frekvenca ni konstantna.
primer za n=2:

Code: Select all

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3D-x
Tukaj je frekvenca neodvisna od zacetnih pogojev (od amplitude).
Primer za n=4:

Code: Select all

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3D-x^3
Tukaj je spet odvisno od zacetnih pogojev, je pa trend v odvisnosti od amplitude ravno obraten kot pri n=1 (frekvenca je visja pri vecji amplitudi).

4. Tole ni konvolucija ampak korelacija. Produkt f(t)*f(t+tau) je ravno produkt funkcije s kopijo same sebe, premaknjene za tau v levo. Potem to pointegriras. Ce je funkcija podobna sama sebi pri premiku za tau, bo ta integral velik. Tako da s tem gledas podobnost funkcije sami sebi, pri nekem premiku. Avtokorelacijska funkcija ima vrhove pri casih, na katere je funkcija vsaj priblizno periodicna.

5. Nobene absolutne vrednosti ni. Razlika v potencialni energiji se spremeni v kineticno. Ce bi dobil negativno pomeni, da se kineticna energija zmanjsa (zaviras ker gres v nasprotno smer kot sila) in ce zacnes na nic, tja sploh ne mores.

7. Ne, to nista impedanci ampak absolutni vrednosti impedanc, kar ti jasno da napacen rezultat. Impedanca je posplositev upora na kompleksna stevila: ker lahko nihanje pises kot \(e^{i\omega t}\) (in na koncu vzames realno komponento), ti kompleksna impedanca uposteva tako amplitudo kot fazni zamik. Res si poglej impedance, tole izgleda kot da te je nekdo narobe naucil. Impedanca upora je Z=R, impedanca kondenzatorja je \(Z=\frac1{i\omega C}\) in impedanca tuljave je \(Z=i\omega L\). Absolutno vrednost lahko racunas kvecjemu na koncu, ce te fazni zamik med napetostjo in tokom ne zanima.

8. Spet je narobe: absolutna vrednost ne sme imet i-ja notri, narobe si racunal. Po moje si ze konjugacijo narobe naredil. Daj raje na skupni imenovalec kar rocno: potem lahko absolutno vrednost za imenovalec in stevec dobis s pitagorovim izrekom.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Univerzitetna fizika

Post by gcn64 » 10.9.2012 1:42

Pri 3 in 4 sedaj vse jasno...

5.
Energijo na koncu imamo sestavljeno iz kinetične energije delca ter potencialne električne energije 4 delcev. To je gibajoč delec in trije mirujoči naboji in pa gibajoč delec in krogelna lupina (ki pa se itak računa kot še en mirujoč delec na mestu tistega sredinskega izmed treh). In če ne vzamemo absolutne vrednosti nabojev, potem se sredinski mirujoč naboj in pa lupina ''izničita'', saj sta nasprotno enako nabita. Ampak glede na rešitve se računa vse kot pozitivno...

7.
V bistvu se izmenično napetost učim sam in mi še marsikaj ni jasno. Ker npr. tudi v Žitnikovih vajah se podoben primer (le da je samo ena vzporedno vezana zanka in ne dve kot v tem primeru) rešuje z absolutnima vrednostma impedanc. Nikjer ne vključuje i-jev. Mi lahko razložiš kako postopati dalje od tiste enačbe ki si mi jo napisal za impedanco?

8.
Se opravičujem, sem zgleda prepozno pisal in sem se zmotil pri zapisu. Na faksu smo dobili:

\(|A(\omega)|^2 \propto \frac{1}{(\omega-\omega_0)^2+\beta^2}\)

z mathematico pa dobim mnogo večji ulomek...

Postopek pri 6 imam prav? (zgoraj je namesto tiste omege seveda \(4\pi^2\))

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Univerzitetna fizika

Post by Aniviller » 10.9.2012 15:39

5. Pazi... potencialna energija tockastega naboja glede na krogelno lupino je zunaj \(\frac{e_1 e_2}{4\pi \epsilon_0 r}\), znotraj je pa konstantna (polja ni) - enaka potencialni energiji na robu. Centralni naboj in lupina se pokrajsata le zunaj krogle.

Potencialna energija za naboj na razdalji x od sredisca je torej
\(\frac{q Q_-}{4\pi\epsilon_0 x}+2\frac{qQ_-}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+(R/2)^2}}+\frac{qQ_+}{4\pi\epsilon_0 x}\)
ce si zunaj in
\(\frac{q Q_-}{4\pi\epsilon_0 x}+2\frac{qQ_-}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+(R/2)^2}}+\frac{qQ_+}{4\pi\epsilon_0 R}\)
ce si notri.
Pri tem sem uposteval, da so vsi ustrezni predznaki zabelezeni ze v nabojih, tako da je sam izraz s plusom. Zadnji clen pride negativen, ostali pa pozitivni.

Isces seveda razliko koncne in zacetne potencialne energije.

7. Lahko vzames absolutno vrednost nadomestne impedance, ce je to vse kar isces. Recimo nadomestna impedanca zaporedno vezanega upora in tuljave je
\(Z=R+i\omega L\)
iz cesar ves, da je kompleksna amplituda toka skozi vezje (s faznim zamikom vred):
\(I_0=\frac{U_0}{Z}=U_0\frac{R-i\omega L}{R^2+\omega^2 L^2}\)
Ce te pa zanima samo amplituda, zamik med napetostjo in tokom pa ni pomemben, isces pa le absolutno vrednost:
\(|I_0|=\frac{|U_0|}{|Z|}=\frac{|U_0|}{\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}}\)
V nobenem primeru pa ne smes naredit \(|R|+|i\omega L|=R+\omega L\). To je povsem narobe.

Smisel impedance je, da racunas popolnoma enako kot za obicajni upor, le da imas opravka s kompleksnimi stevili. Kompleksno amplitudo (toka ali napetosti) zapises lahko v polarnem zapisu, kot \(U_0=|U_0|e^{i\delta}\), kjer je \(\delta\) fazni zamik glede na izhodiscno nihanje, glede na katerega meris vse ostalo (ponavadi vzames, da je gonilna napetost brez zamika in vse ostalo meris glede na to). Za elemente, katerih impedanca je komleksna, to pac pomeni, da nihanje napetosti in toka nista socasna.

8. Mathematica najbrz ne ve, da ti hoces, da so omege in bete realna stevila.
Sicer je pa mozno, da kaj narobe vnasas (da nimas slucajno ze A(omega) narobe), ali pa da je "uradni" rezultat napacen. No, pa poglejva. Racunas FT za
\(\cos\omega_0 t\, e^{-\beta t}\)
seveda za t>0, sicer nima smisla.
Ko das tvojo vsoto ulomkov (mislim da imas tudi en minus narobe v imenovalcu) na skupni imenovalec:
\(A(\omega)=\frac{1}{2}\frac{\beta-i(\omega_0-\omega)+\beta+i(\omega_0+\omega)}{(\beta-i(\omega_0-\omega))(\beta+i(\omega_0+\omega))}\)
\(=\frac{\beta+i\omega}{\beta^2+(\omega_0^2-\omega^2)-i\beta(\omega_0-\omega-\omega_0-\omega)}\)
\(=\frac{\beta+i\omega}{\beta^2+\omega_0^2-\omega^2+2i\beta\omega}\)
Absolutna vrednost tega je pa
\(\frac{\sqrt{\beta^2+\omega^2}}{\sqrt{(\beta^2+\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\)

6.
Brez polžaste vzmeti imas tezno nihalo:
\(M=J\alpha\)
\(-m'g b/2\sin\phi+mg b/2\sin\phi=J\alpha\)
majhni koti:
\(J\alpha=-(m'-m)gb/2\phi\)
od koder preberes
\(\omega_0^2=\frac{(m'-m)gb}{2J}\)
Ce dodas polzasto vzmet, imas v enacbi samo dodaten navor:
\(J\alpha=-(m'-m)gb/2\phi-D\phi\)
in
\(\omega^2=\frac{(m'-m)gb}{2J}+D\)
Pri tem je skozi \(\alpha\) kotni pospesek - drugi odvod kota po casu.

Post Reply