Kvarkadabra forum

Morda povdarim še tole: rad bi dobil temperaturni profil od r = a do r = b.

Mislim da sem uspel najti rešitev za moj problem. Temperaturna odvisnost radija v votlem valju, od r=a do r=b, ter od časa t se glasi:

\(T(r,t)=T_n-T_n\pi\sum_{n=1}^\infty e^{-D\alpha_nt}\frac{J_1(b\alpha_n)^2(Y_0(r\alpha_n)J_0(a\alpha_n)-J_0(r\alpha_n)Y_0(a\alpha_n))}{J_0(a\alpha_n)^2-J_1(b\alpha_n)^2}\)

Sicer sem si bral o Besselovih funkcijah ampak še ne razumem teh zadev najbolje. Torej, da dobimo najbolj splošno rešitev, moramo sešteti čimveč rešitev tipa Besselove funkcije, ki so za sumacijo? Kaj pa če naprimer upoštevam samo n=1?
Zanima me še, kako je z \(\alpha_n\) - v literaturi piše, da se jih dobi kot pozitivne rešitve te enačbe:

\(Y_0(a\alpha)J_1(b\alpha)-Y_1(b\alpha)J_0(a\alpha)=0\)

Tukaj bi potreboval malce razlage. V bistvu bi rad fital gornjo rešitev diferencialne enačbe na meritve in me zanima, ali lahko \(\alpha_n\) nastopa kot prosti parameter zraven difuzivnosti D?

Hvala vnaprej!

Mi lahko vsaj pri tem delu nekdo prosim pomaga, kaj namigne?

Rešil bi rad podobno enačbo, kot sem jo omenil zgoraj:

\(\alpha*b*J_1(\alpha*b)-B*J_0(\alpha*b)=0\)

...pri čemer sta b in B znani konstanti, \(J_0\) in \(J_1\) pa besselovi funkciji. Kako bi najenostavneje rešil takšno transcendentno enačbo?

Sprašuješ po primerni numerični metodi?

V bistvu me je zanimalo, kako se ničle najenostavneje izračuna, neodvisno od postopka. Vidim da mi ničle takšne enačbe izračuna že WolframAlpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... %5B1,+x%5D

...so to pravilne rešitve? Graf je sicer popolnoma drugačen od \(J_0(x)\) ampak so pa ničle sumljivo podobne...
Tukaj je pa postopek v Mathematici:



...ki pa ne da enakih rešitev. Morda vidiš napako?
Hvala!

Ne vem, kaj bi lahko bil razlog. Poskusi s sintakso:
in preveri, če da enak rezultat.

Pri tem: Dobim tole: Kar pa še vedno ni prav...

Glede na to, da mi je Mathematica izrisala enak graf kot WolframAlpha, je verjetno graf pravilen. Wolfram pa izračuna pravilne ničle, če pogledam graf...

Imam še eno vprašanje, če boš mogoče imel kakšno idejo.
Narisati želim temperaturni profil po zadnji enačbi na sedmi strani tukaj:
http://www.ewp.rpi.edu/hartford/~ernest ... s/ch03.pdf

Če na kratko povzamem, neskončen valj z radijem b in začetno temperaturo Ti in zunanjo temperaturo 0. Analitična rešitev je takšna:

\(T(r,t)=\frac{2T_i}{b} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_0(\lambda_nr)}{\lambda_nJ_1(\lambda_nb)}e^{-\alpha\lambda_n^2t}\)

Če v Mathematici narišem rešitev z upoštevanimi prvimi 4 \(\lambda_n\) mi pri večjih časih riše ok, pri manjših pa nekako ponori.
\(\lambda\) sem izračunal iz rešitev v članku \(\lambda_nb\), tako da sem jih delil z b.

Primer za t = 100:


Primer za t = 20:


Pri t = 15 se že začne nakazovat neko čudo, potem pa pri t = 5:


Pri t = 0, ko bi morala biti konstantna funkcija pri T = 15 pa je še bolj valovito. Zgoraj se ne vidi, b=0,0117. Naj dodam še, da z Matlabom dobim enako - napačno pri manjših časih...

Še koda:
Kaj bi lahko bilo narobe?
Hvala ti!

lp

Glede ničel:

Najbrž ima funkcija FindRoot v Mathematici probleme z numerično stabilnostjo pri tem primeru. Poglej v Help, kako to odpraviti (žal nimam pri roki Mathematice, da bi poskusil). Sem pa preveril v Maple-u in njegova funkcija fsolve pravilno (glede na graf) določi ničle na izbranih intervalih:
Za drugi del mi ni jasno, kaj točno pomeni "napačno pri manjših časih": napačno glede na kaj?

EDIT: Pomotoma je bil pri prvotni rešitvi v drugem členu funkcije dodan \(x\). Dodajam rešitev za ničle pravilne funkcije (kot je razvidno, praktično ni razlike).