Razvoj

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Razvoj

Post by gcn64 » 12.5.2012 19:07

Pozdravljeni!

Zanima me, kako bi naslednji izraz:

\(\sqrt{1+x+y}-\sqrt{1+x-y}\)

razvil za primer, ko je y mnogo manjši od x. Npr kako to narediti v mathematici?

Hvala!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 12.5.2012 19:10

Lahko rocno: ce je x normalno velik, potem kar izpostavi (1+x) iz korena, na ta nacin
\(\sqrt{1+x}\sqrt{1+\frac{y}{1+x}}\)
in imas razvoj tipa (1+majhno)^n, ki je znana stvar.

V mathematici imas
Series[funkcija,{y,okrog_cesa,kolko_clenov}]

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 13.5.2012 1:26

Aha, torej lahko zapišem zgornji izraz kot:

\(\frac{y}{\sqrt{1+x}}\)

?

Zanima me še, kje na internetu je kakšen seznam podobnih razvojev.
Gledal sem v Bronštejnu ampak tega nisem našel...

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 13.5.2012 1:44

Ja... do prvega nenicelnega clena seveda.

Za Taylorjevo vrsto je tako - poleg osnovne definicije (cleni so odvodi v tocki razvijanja) je dovolj, da ves na pamet razvoje eksponentne funkcije, sin/cos, (1+x)^n in po moznosti log(1+x). S tem vedno prides ziv skozi, razen ce je nekdo posebej zlobno sestavil funkcijo tako, da je treba kaj posebnega.

Sicer je na Wiki za vsako bolj pomembno funkcijo tudi razvoj zapisan, z Mathematico si pa tudi lahko vedno pomagas.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 13.5.2012 12:44

Mi lahko prosim napišeš še kako ročno pridem do tega rezultata?

Hvala še enkrat...

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 13.5.2012 14:24

\(\sqrt{(1+x)+y}=\sqrt{1+x}\sqrt{1+\frac{y}{1+x}}\approx\sqrt{1+x}(1+\frac{1}{2}\frac{y}{1+x})\)
\(\sqrt{(1+x)-y}=\sqrt{1+x}\sqrt{1-\frac{y}{1+x}}\approx\sqrt{1+x}(1-\frac{1}{2}\frac{y}{1+x})\)
Odstejes in dobis rezultat.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 14.5.2012 11:42

Aha, torej je

\((1+x)^n \approx 1+nx\)

torej razvito po taylorju pri \(x_0 = 0\) do prvega člena. Pri takšnih splošnih razvojih, ko nas zanima pač poenostavljen izraz, ali vedno razvijamo okoli ničle?

Imam še eno vprašanje pa bom kar tule vprašal. Imam izraz:

\(A=B*(\frac{x*a}{(x_0^2-x^2)-x^2x_0^2})\)

V mathematici bi pa rad narisal \(A(\frac{x}{x_0})\) ampak mi javlja napake...

Kaj je potrebno storiti?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 14.5.2012 15:38

V fiziki imas ponavadi izraze, kjer je ena kolicina manjsa od vseh ostalih in v tem primeru seveda razvijas okrog nicle. Drugace je pa itak isto, ce ne razvojas okrog nicle samo uvedes \(x=x_0+\epsilon\) in imas spet majhen odmik, po katerem razvijas.

Ja, razvoj \((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots\) je eden izmed 4 razvojev ki jih moras znat na pamet. To je itak posplositev binomskega izreka za cele pozitivne potence, kot recimo (1+x)^2=1+2x+x^2.

Za risanje: ce hoces narisat moras imeti vse razen x podano... x0, B in a si moras izbrat.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 18.6.2012 20:56

Zdravo!

Vrnil bi se k risanju. Tudi če izberem podatke, mi vrže ven samo osi grafa in nič druga. Nevem, možno je, da izbrane vrednosti niso vredu, ampak ali nebi vseeno moglo narisati nekakšen graf?
Za B sem izbral 10^7 , omega0= 7*10^-10 in pa a=6*10^10

Se ti da preverit tole v mathematici prosim?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 18.6.2012 21:36

Kaj pa x0? Pa izbrat moras obmocje, na katerem rises. Saj ne ves niti kaksnega velikostnega reda so stvari.

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 18.6.2012 21:48

Eh, zgoraj sem napačno napisal. omega0 je v bistvu x0. Poskušal sem tudi različne intervale, ampak vedno dobil prazen graf...

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 21.6.2012 20:52

Morda kakšen namig zakaj mi ne izriše grafa? Kaj bi lahko bilo narobe. V mathematici sem uporabil navaden plot...

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 21.6.2012 20:55

Ce imas problem s konkretnim plotanjem v Mathematici, ti tezko pomagamo ce ne prilozis kode kaj tocno sploh pocnes (in po moznosti kaksnih napak ki ti jih javlja).

gcn64
Posts: 120
Joined: 31.10.2009 17:10

Re: Razvoj

Post by gcn64 » 22.6.2012 11:34

Iz mathematice:

Image

Wolfram alpha pa mi recimo normalno splota. Sem tudi spreminjal in nastavljal do kot naj riše ampak vedno isto...

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Razvoj

Post by Aniviller » 22.6.2012 17:25

f nisi deklariral kot funkcijo spremenljivke ampak kar kot izraz (f=... namesto f[x_]=...). Potem pa klices f[x] v plotu. f[x] v tej obliki ne pomeni nic, ker f ne pricakuje nobenega argumenta. Ali pri plotu napisi samo f (pa tudi tukaj so lahko se tezave, mozno da moras dati Evaluate[] okrog ali kaj takega), ali pa funkcijo pravilno definiraj.

Wolfram alpha je bolj odpustljiv, ker ima vgrajen "cloveski" prepoznavalnik tega kaj uporabnik misli. Sama Mathematica je pa programski jezik in si ne more privoscit ugibanja.

Post Reply