x=0 mod 5Kaj pa primer 2x+5y+100z=200
y=0 mod 2
x=5u
y=2v
100z=200-10u-10v
10z=20-u-v
u+v=0 mod 10
u=10w-v
in končno
x=50w-5v
y=2v
z=2-w
x=0 mod 5Kaj pa primer 2x+5y+100z=200
Aniviller napisal/-a:Hm no z je treba še izrazit do konca da se preveri, jaz grem pa raje od začetka ker je težko na sredi "ujet" postopek Načeloma bosta 2 prosta parametra ja (očitno iz štetja prostostnih stopenj), prideta kot periodi kongruenc. Se pa da lahkotnejše module probat namesto 7. Po modulu 2 res dobišjuve napisal/-a: 1.) reši diof.enačbo \(15x-24y+14z=5\) ... preuredila sem na kongruenco modula 14 in razcepila modul na 2 in 7.... na koncu dobim da je \(x=2y+5+14t\) in pač tudi nekaj za z (ki je ravno tako odvisen od y in t), pri čemer sem y postavila za polj. parameter, t pa je pač celo število. Je to ok, ali moram dobit prav določena števila ven?
Kaj pa primer 2x+5y+100z=200??
x=1 mod 2
Po modulu 3 je tudi odlično, saj spet dve spremenljivki izgineta:
z=1 mod 3
Iz tega že dobiš
x=1,3,5 mod 6
z=1,4 mod 6
Če bi bila samo x in z, bi bila ta oblika (vse na isti modul) že ugodna, ampak imaš še en korak, tako da kar pustiva pri miru
Zdaj imaš x=1+2u in z=1+3v in y se mora pa dat izrazit s tema dvema. Vstaviš
24y=15+30u + 14 + 42v - 5
24y=24+30u + 42v
To je zdaj sicer spet nesrečna nepraštevilska kongruenca (še dodatne pogoje na u in v ti lahko da - če bi pred y stal prafaktor, bi bilo enostavno, tako pa ni preveč lepo).
12y=12+15u + 21v
V glavnem to na desni mora biti z 12 deljivo, da se da y izrazit:
15u+21v=3u+9v=0 mod 12
u+3v=0 mod 4
u=v mod 4
Torej, u in v sta sinhronizirana po modulu 4. Pišeš lahko torej v=u+4w in izraziš s parametroma (u,w) vse. Polna rešitev:
x=1+2u
y=1+3u+7w
z=1+3u+12w
Zanimivo je tudi že takoj na začetku ugotovit
y=z mod 5
kar je potem iz končne rešitve seveda očitno. Ni pa treba tega. Vedno je dovolj toliko kongruenc kolikor bo prostih parametrov (idealno je, če imaš po modulu čim manj spremenljivk, tukaj se je dalo vedno dveh znebit), potem pa zadnja, da poda še dokončno zvezo med parametri, da se da zadnji parameter izrazit.
Izbira parametrov je sicer do neke mere poljubna (podobno kot realnih linearnih enačbah).
joooj, šele zdaj vidim da je deljivo s 4... al si rada kompliciram življenje =) drugače sem sklepala iz transformacij ki so tukaj http://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation ampak sem šele zdaj ugotovila da sta možni 2, mogoče bi se z drugo razšlo ali pa je v celoti to pač napačen postopek =)Aniviller napisal/-a:
3) Pa saj štirko lahko izpostaviš in pokrajšaš. Od kod točno to dobiš?
No recimo da greš takoj na pitagorejske trojice in zapišeš
n=2pq
2n+1=p^2-q^2
tretja (koren desne strani) je potem p^2+q^2
(obratno ne gre, ker 2pq je sodo). Takoj lahko skombiniraš
4pq+1=p^2-q^2
1=p^2-q^2-4pq
Po modulu 4 ugotoviš, da mora bit q sodo, p pa liho. n torej deljivo s 4. No mogoče bo ta zgornja Diofantka ratala
zakaj npr. ne gledamo \(B^{C+1}\)? in kako smo zgoraj dobili drugo in tretjo neenakost?Aniviller napisal/-a:potem je naslednji kandidat za število na isto potenco
(B+1)^C>A+CB^(C-1)+1>A+2 za vsak C>1.
Zanima me, zakaj taka formulacija (nisem matematik):delta napisal/-a:Neskončni verižni ulomek je periodičen če in samo če je število kvadratično iracionalno število