Teorija števil
Objavljeno: 25.7.2012 23:45
Lepo prosim, za pomoč pri nalogah. Nimam ideje, kako bi začela.
1.) Naj bo \(f:\mathbb{N}->\mathbb{N}\) definirana s formulo \(f(n)=\sum_{d|n}d^2\), \(f\) je multiplikativna. Izračunaj \(\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\). \(\mu\) je Mobiusova fja.
Dobim: \(\sum_{d|n}d^2 \mu{(\frac{n}{d})}\) kako naprej?
2.) Določi zadnji dve cifri števila \({11^{12}}^{13}\).
Gledamo po modulu 100. Vemo, da \(\phi(100)=40\), poskusim uporabiti Eulerjev izrek. Poskusim najti manjši a od 40, da bi veljalo \(11^{a}=1\) (mod 100), a je delitelj števila 40. Ne dobim nič uporabnega.
3.) Pokažite, da obstaja neskončno mnogo pitagorejskih trojk \((x,y,z)\) takšnih, da sta x in y zaporedni števili.
4.) Določite vsa naravna števila n, za katera je \(5^n+n^5\) deljivo s 13.
Kako se lotimo takšne enačbe, če je neznanka kot osnova in še v eksponentu?
Prosim, če ima kdo idejo, kako bi se lotila katere izmed nalog. lp
1.) Naj bo \(f:\mathbb{N}->\mathbb{N}\) definirana s formulo \(f(n)=\sum_{d|n}d^2\), \(f\) je multiplikativna. Izračunaj \(\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\). \(\mu\) je Mobiusova fja.
Dobim: \(\sum_{d|n}d^2 \mu{(\frac{n}{d})}\) kako naprej?
2.) Določi zadnji dve cifri števila \({11^{12}}^{13}\).
Gledamo po modulu 100. Vemo, da \(\phi(100)=40\), poskusim uporabiti Eulerjev izrek. Poskusim najti manjši a od 40, da bi veljalo \(11^{a}=1\) (mod 100), a je delitelj števila 40. Ne dobim nič uporabnega.
3.) Pokažite, da obstaja neskončno mnogo pitagorejskih trojk \((x,y,z)\) takšnih, da sta x in y zaporedni števili.
4.) Določite vsa naravna števila n, za katera je \(5^n+n^5\) deljivo s 13.
Kako se lotimo takšne enačbe, če je neznanka kot osnova in še v eksponentu?
Prosim, če ima kdo idejo, kako bi se lotila katere izmed nalog. lp