Teorija števil

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14582
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Teorija števil

Odgovor Napisal/-a shrink »

Rock napisal/-a:
shrink napisal/-a:V zvezi s tvojim razumevanjem osnov matematike (npr. logičnih relacij, kot je ekvivalenca), ne vidim nikakršnega blišča, niti prebliskov ne; kaj torej ostane, nedeljski pravnik Rock?
Če je vprašanje pretežko, se lahko dodatno konsultiraš. :lol:
Imbecilni kvazinaravoslovec:

na to, da ne vidiš, nimam pripombe.
Seveda ne vidim omenjenega (tako kot vsi ostali ne), vidim le... ...kaj torej ostane, nedeljski pravnik?

Če je pretežko, ne odlašaj s konsultacijami. :lol:

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Teorija števil

Odgovor Napisal/-a delta »

Vemo, da velja:
\(1+3=4\),
\(1+3+5=9\),
\(1+3+5+7=16\),
\(1+3+5+7+9=25,...\), z besedami, če seštevamo zaporedna liha števila dobimo kvadrate. Tole zapišem s formulo: \(1+\sum_{k=1}^{n}(1+k2)=(n+1)^2\), kako naj to dokažem? Mogoče je enostavno, ali zapleteno? Ima kdo idejo, kako se bi tega lotila? :)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14582
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Teorija števil

Odgovor Napisal/-a shrink »

Ena možnost je popolna indukcija, druga pa enostavno po vsoti prvih n členov aritmetičnega zaporedja:

\(s_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\).

V tvojem primeru je \(a_1=1\) in \(a_n=2n-1\), tako da:

\(s_n=\frac{n}{2}(1+2n-1)=n^2\).

Uporabniški avatar
bargo
Prispevkov: 8022
Pridružen: 3.11.2004 22:41

Re: Teorija števil

Odgovor Napisal/-a bargo »

Mogoče tako s sklepanjem. Kreiraš pare in sicer prvi in zadnji, drugi in predzadnji itd. Vsota teh elementov v paru je zmeraj število 2n+1 + 1 = 2n+2 = 2(n+1)

Če je n sodo število je takih parov: n/2, in sredinski člen n+1, ki nima para. Torej velja 2(n+1)*(n/2) + n+1 = (n+1)n + (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2

Če je n liho število je takih parov (n+1)/2. Torej 2(n+1)*(n+1)/2 = (n+1)^2

Torej zmeraj (n+1)^2. :D
01!

Shrink je naredil po receptu, kjer tvojo ugotovitev \(1+\sum_{k=1}^{n}(1+k2)=(n+1)^2\) zapišeš kot
\(\sum_{k=0}^{n-1}(1+k2)=(n)^2\), kar je malce grdo, ker 0 ni naravno število. :wink:

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14582
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Teorija števil

Odgovor Napisal/-a shrink »

bargo napisal/-a:Mogoče tako s sklepanjem. Kreiraš pare in sicer prvi in zadnji, drugi in predzadnji itd. Vsota teh elementov v paru je zmeraj število 2n+1 + 1 = 2n+2 = 2(n+1)

Če je n sodo število je takih parov: n/2, in sredinski člen n+1, ki nima para. Torej velja 2(n+1)*(n/2) + n+1 = (n+1)n + (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2

Če je n liho število je takih parov (n+1)/2. Torej 2(n+1)*(n+1)/2 = (n+1)^2

Torej zmeraj (n+1)^2. :D
01!
To "sklepanje" ni nič drugega kot izpeljava formule za vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja, ki sem jo zapisal.
Shrink je naredil po receptu, kjer tvojo ugotovitev \(1+\sum_{k=1}^{n}(1+k2)=(n+1)^2\) zapišeš kot
\(\sum_{k=0}^{n-1}(1+k2)=(n)^2\), kar je malce grdo, ker 0 ni naravno število. :wink:
Če se liha števila zapiše z \(2k-1\), je stvar povsem "lepa".

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Teorija števil

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala obema :), sicer mi je mogoče malo bolj všeč prva ideja, da greš z aritmetičnim zaporedjem in narediš potem delne vsote, super. Hvala :)

Odgovori