Operacija: množenje na polinomu

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Post Reply
Zenga
Posts: 126
Joined: 16.5.2012 20:22

Operacija: množenje na polinomu

Post by Zenga » 26.7.2012 19:00

Pozdravljeni, zanima me ali lahko za vsak polinom, čigar koeficienti so v realnih številih.
pri operaciji množenje lahko trdimo, da ima inverz? (pri tem števila "se delamo", da koeficienti oz. x ne morejo zavzeti vrednosti 0)?

Upam, da sem bil dovolj jasen. Zanima me namreč, ali gre pri takšnemu polinomu še za kaj več kot pa za komutativen kolobar z enoto (da gre za obseg).

User avatar
Marsovec
Posts: 74
Joined: 7.6.2006 15:13

Re: Operacija: množenje na polinomu

Post by Marsovec » 27.7.2012 14:30

Seveda ne. Le neničelni konstantni polinomi imajo obrat v množici polinomov; obrat od x+1 pa je denimo racionalna funkcija 1/(x+1), torej ni polinom.

Iz kolobarja polinomov pa lahko načeloma narediš obseg tako, da narediš kvocient po kakem idealu, generiranim z nerazcepnim polinomom.
Na primer, kvocient kolobarja K=Z_2[x] polinomov s koeficienti v Z_2 po idealu J, generiranem z nerazcepnim polinomom x²+x+1 je obseg, ki ima 2²=4 elementov. To so elementi J, 1+J, x+J, 1+x+J. Tu velja recimo (1+x+J)^{-1}=x+J, saj je (x+J)(1+x+J)=x+x²+J=(1+x+x²)+1+J=1+J (ker je 1+x+x² element ideala J).

Na podoben način lahko konstruiraš končno polje (finite field) moči p^k za poljubno potenco praštevila p^k, glej recimo
http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field

ninagracej
Posts: 31
Joined: 26.10.2011 20:25

Re: Operacija: množenje na polinomu

Post by ninagracej » 21.10.2016 21:08

Pozdravljeni, potrebovala bi pomoč pri naslednjih nalogah :)

1. Naj bo P(X) potenčna množica neprazne množice X. Dokaži, da je P(X) skupaj
z operacijama seštevanja in množenja definiranima kot
A + B := (A \ B) ∪ (B \ A) in A · B := A ∩ B za vse A, B ∈ P(X),
komutativen kolobar.

2. Naj bo K kolobar, v katerem za vsak x ∈ K velja x^3 = x. Dokaži, da je kolobar K komutativen.

Hvala za pomoč :D

Post Reply