Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Zenga
Prispevkov: 126
Pridružen: 16.5.2012 20:22

Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Zenga »

Pozdravljeni, našel sem super učbenik na netu, ki obravnava linearne preslikave:
http://www.fmf.uni-lj.si/~kosir/pouceva ... likave.pdf

Zanima me, kaj "delajo" t.i. matrike za A? Kakšna je njihova funkcija?
prehod_novi_bazi.jpg
No, če ima kdo čas, pa bi se priporočal za razlago naloge na strani 126:
podani sta podani normali na premico in smerni koeficient premice v \(\mathbb{R}^3\).
Cilj naloge je poiskati matriko za A v standardni bazi S. Sam ne razumem, kaj lahko počnemo z dobljeno matriko \(A_2\)?

Že vnaprej se vam zahvaljujem za pomoč!

Zenga
Prispevkov: 126
Pridružen: 16.5.2012 20:22

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Zenga »

Dopolnilo: zgornja skica kaže, da je matrika A nekakšen "most" med dvema različnima bazama iz dveh različnih prostorov, medtem ko pri nalogi na strani 126 matrika za A nima te funkcije kot jo kaže zgornja skica.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Locit moras med preslikavo in matriko. Preslikava slika iz enega prostora v drug prostor (lahko slika tudi prostor samega vase, ali pa celo med prostoroma razlicnih dimenzij). Za preslikavo ves kaj hoces da naredi (recimo projecira na neko ravnino, zavrti okrog neke osi,...). Ce hoces pa preslikavo zapisat v obliki matrike, moras pa izbrati bazo (koordinatni sistem) za oba prostora -- U in V v tem primeru. Ce slikas iz prostora samega vase (recimo navadna rotacija) sta pogosto obe bazi enaki, ni pa nujno.

Menjava baze v enem prostoru je tudi matrika. Kot preslikava ima pomen enote: ti v bistvu ne naredis nic - pustis prostor kakrsen je, samo zato, ker zacetna in koncna baza nista enaki, prehodna matrika vseeno ni enotska matrika ampak nekaj, kar pri mnozenju s starimi baznimi vektorji da nove bazne vektorje. Nic pa ni narobe, ce si prehodne matrike predstavljas pac kot nek predpis za menjavo baze in se ne poglabljas v njihov pomen kot preslikave.

Torej, ce hoces izrazit ISTO preslikavo v novih bazah, moras naredit naslednje:
Matrika A1 bo dala pravi rezultat, ce so vektorji, na kateri jo uporabis, izrazeni po komponentah v C1 bazi. Ce imas vektor v bazi C2, ga moras najprej izrazit s komponentami v C1, kar dosezes z mnozenjem s P^-1. Sele zdaj smes uporabit A1. Rezultat A1 je v bazi B1, kar pomeni, da moras tudi rezultat potem pretvorit v bazo B2. To je ravno
\(A_2=QA_1P^{-1}\)
Z drugimi besedami: A1 je recept za preslikavo, ki zna delat s tocno dolocenimi bazami. Ce imas izrazeno v drugih bazah, moras naredit ovinek: slikat v staro bazo, transformirat tam, in slikat rezultat nazaj.

Ce slika preslikava prostor sam vase in sta zacetna in koncna baza enaki (B1=C1), potem dobis
\(A_2=PA_1P^{-1}\)

Primer:
Recimo, da imas bazo B1 definirano na klancu pod nekim kotom alfa, bazo B2 pa imas poravnano na vodoravnico in navpicnico. Preslikava A recimo raztegne vse vektorje v smeri pravokotnice na klanec za nek faktor k. Opazis lahko, da smo definirali preslikavo zaenkrat v abstraktnem smislu, brez matrike. Vidimo pa, da je v bazi B1 ta preslikava enostavna:
\(A_1=\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}\)
Po drugi strani je menjava baze iz B1 v B2 kar rotacija:
\(P=\begin{bmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}\)
Ta rotacija ti hitro pove, da je vektor s komponentami (1,0) v bazi B1 (enotski vektor vzdolz klanca), izrazen v bazi B2 kot (cos,sin).

Torej, ce hocemo matriko, ki bo izvajala naso preslikavo A v vektorjih, izrazenih v vodoravni in navpicni komponenti, jo dobimo takole:
\(A_2=PA_1P^{-1}=\begin{bmatrix}\cos^2\alpha+k\sin^2\alpha & \sin\alpha\cos\alpha(1-k)\\\sin\alpha\cos\alpha(1-k)& k\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\end{bmatrix}\)

Povzetek: preslikavo lahko zapises v matricni obliki sele, ko izberes bazi obeh prostorov med katerima preslikuje. Isto velja za vektorje: komponente vektorja so odvisne od tega, v kateri bazi je zapisan. Ti lahko pises v splosnem, recimo \(\vec{y}=A\vec{x}\) za vektorja x in y in preslikavo A. Ampak ce nimas A izrazen v isti desni bazi kot x in v tisti levi bazi, ki jo zelimo za y, bos moral vmes vtaknit se prehodne matrike, preden gres vstavljat stevilke.

Mimogrede, na diagramu preslikav je napaka, A2 bi morala slikat v bazo \(\mathcal{C}_2\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Zenga napisal/-a:No, če ima kdo čas, pa bi se priporočal za razlago naloge na strani 126:
podani sta podani normali na premico in smerni koeficient premice v \(\mathbb{R}^3\).
Cilj naloge je poiskati matriko za A v standardni bazi S. Sam ne razumem, kaj lahko počnemo z dobljeno matriko \(A_2\)
A2 je matrika, ki izvede projekcijo na dano premico v standardni bazi. Ce podas vektor v standardni bazi, bo ta matrika vrnila nov vektor v standardni bazi, ki bo kazal v smeri premice in bo imel ustrezno dolzino.

Zenga
Prispevkov: 126
Pridružen: 16.5.2012 20:22

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Zenga »

Najlepša hvala - če uporabim matriko A2 za projekcijo potem dobim vektor (0,1,1). Super.

Sedaj pa bi imel eno dodatno vprašanje v zvezi z lastnimi vektorji. Glede na to, da se šele spoznavam z algebro, bi koga prosil, če mi lahko pojasni logiko naslednje trditve:
lastne_vrednosti.jpg
Vemo: \((A - \alpha I)v = 0\). Kako je \(ker(A - \alpha I\)) povezan z obrnljivostjo matrike \((A - \alpha \cdot I)\) ?

A hoče prof. Košir s tem povedati, da mora biti vektor v neničelen?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No lastni vektorji morajo itak biti nenicelni, drugace ne morejo definirat celega podprostora, to ni bistvo teh izjav. Lastni podprostor so vsi vektorji, ki pri mnozenju z matriko dajo en isti vektor, pomnozen s konstanto (lastno vrednostjo). Vsi ti vektorji lezijo na premici (vazna je le smer vektorja, dolzina ne vpliva na to ali je lastni ali ne). Ta predpis:
\(Ax=\alpha x\)
lahko zapises kot
\((A-\alpha I)x=0\)
kar pomeni, da za lastni vektor x velja, da mora tale oklepaj nenicelni vektor poslat v nic, kar je ravno definicija jedra preslikave. Preslikava, ki ima neprazno jedro, ne more bit obrnljiva! Obrnljivost namrec zahteva, da bi lahko "x" nazaj dobil ven iz rezultata. Tukaj to ni mogoce, ker je informacija unicena. Ne obstaja matrika, s katero bi pomnozil niclo in dobil nazaj ven x :)

Poglej si osnovni izrek linearne algebre. Samo matrika, katere rang je enak njeni dimenziji, je lahko obrnljiva in ker velja
dim(ker(A))+rank(A)=n (velikost matrike)
potem je lahko rang poln samo, ce je jedro prazno. Cim imas vektorje, ki jih matrika unici, se matrike ne da obrnit.

Mimogrede, ni nujno, da ima lastni podprostor za neko lastno vrednost dimenzijo 1 (premica). Ce je lastna vrednost veckratna, je ta prostor lahko vecji.

Zenga
Prispevkov: 126
Pridružen: 16.5.2012 20:22

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Zenga »

Najlepša hvala za pojasnila.

Sedaj me zanima še nekaj pri poglavju iz diagonalizacije. Avtor pravi, da so lastni vektorji linearno neodvisni in to trditev dokazuje z indukcijo:
diagonalizacija.jpg
Ni mi pa jasno, kako pride do izraza v rdečem okvirju? Na podlagi česa je avtor lastni vrednosti \(\alpha\) spremenil indeks iz j v k? To namreč predstavlja naprej podlago da VIII.2 odšteje od VIII.1.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ni kar spremenil indeksa, tisto ni naslednja vrstica postopka ampak vsota iz teksta (Naj bo...), pomnozena z \(\alpha_k\).

m_h
Prispevkov: 53
Pridružen: 12.1.2006 16:38
Kraj: Nova Gorica
Kontakt:

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a m_h »

Pozdravljeni!

Potrebovala bi pomoč pri dveh nalogah iz linearne algebre.

1) Pokaži, da je linearna preslikava, ki ima v standardni bazi prostora R3 matriko \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}\), projekcija. Poišči bazo, v kateri ima ta projekcija matriko \(\begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\).
2) Naj bosta a in b linearno neodvisna vektorja iz R^n in matrika C = ab(transponirano) + ba(transponirano). Pokaži, da je Lin{a,b} (ortogonalni komplement) lastni podprostor matrike C za lastno vrednost 0. Določi še ostale lastne vrednosti in lastne vektorje.

Hvala.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

1) Lastnost projekcij je, da ko enkrat projeciras, ponovno projeciranje nic ne spremeni. Torej, A=A^2=A^3=.... zato moras samo pokazat, da je A^2=A.

Za bazo lahko razlicno pristopis. Ena varianta je, da resis enacbo Ax=0, s cimer najdes vektor, pravokoten na ravnino projekcije. Potem samo poisces dva neodvisna pravokotna vektorja in imas bazo. Nasprotno lahko resujes Ax=x (vektor, ki je ze na projekcijski ravnini, ostane pri miru).

2) Naj bo \(\vec{x}\in {\rm Lin\,}(\vec{a},\vec{b})^\perp\). To po definiciji pomeni \(\langle \vec{x},\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\rangle=0\). Potem samo pogledas Cx in vidis da pride 0.

Poleg teh nicelnih lastnih vrednosti je se en 2-D podprostor (ki lezi v linearni ogrinjaci a in b). Nastavis
\(\vec{x}=\alpha \vec{a}+\beta\vec{b}\)
\(C\vec{x}=\vec{a}(\alpha\langle \vec{a},\vec{b}\rangle+\beta\langle\vec{b},\vec{b}\rangle)+\vec{b}(\alpha\langle \vec{a},\vec{a}\rangle+\beta\langle\vec{a},\vec{b}\rangle)=\lambda(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\)
\(\lambda\alpha=\alpha\langle \vec{a},\vec{b}\rangle+\beta\langle\vec{b},\vec{b}\rangle\)
\(\lambda\beta=\alpha\langle \vec{a},\vec{a}\rangle+\beta\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)
Gre torej za problem lastnih vrednosti matrike
\(\begin{bmatrix}\langle \vec{a},\vec{b}\rangle&\langle\vec{b},\vec{b}\rangle\\
\langle \vec{a},\vec{a}\rangle&\langle\vec{a},\vec{b}\rangle
\end{bmatrix}\)

kar lahko resis simbolicno.

m_h
Prispevkov: 53
Pridružen: 12.1.2006 16:38
Kraj: Nova Gorica
Kontakt:

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a m_h »

Hvala za pomoč, sem rešila. Zanima me pa še, kako pri prvi nalogi vemo, da bo imela projekcija v dobljeni bazi zahtevano matriko.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Vprasanje pri prvi je itak razcep na lastne vrednosti in lastne vektorje - \(A=PDP^{-1}\), kjer je D=diag(1,1,0).

m_h
Prispevkov: 53
Pridružen: 12.1.2006 16:38
Kraj: Nova Gorica
Kontakt:

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a m_h »

Še vedno ne razumem povezave med \(A = PDP^-^1\) in \(Ax=0\)...

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja poisces lahko lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti 0, torej
\((A-0I)\vec{x}=0\)

m_h
Prispevkov: 53
Pridružen: 12.1.2006 16:38
Kraj: Nova Gorica
Kontakt:

Re: Prehod na novi bazi - Linearna Algebra

Odgovor Napisal/-a m_h »

Aha, sedaj pa mi je jasen celoten postopek. Še enkrat hvala. :)

Odgovori