Naj bosta \(y_1\) in \(y_2\) rešitvi Cauchyjeve naloge \(y'=f(x,y), y(x_0)=y_0\) na intervalu \([\alpha, \beta]\), kjer je \(f \in C^1([\alpha, \beta] \times \mathb{R})\).
Dokaži: \(y_1=y_2\)
Dokazujemo torej globalno edinost.
Nalogo smo se lotili takole:
Def. \(A=\{x \in [\alpha, \beta], y_1(x)=y_2(x)\}\).
Pokazali bomo, da je A odprta, zaprta, neprazna(hm, zakaj to potrebujemo pri dokazu?)
A odprta:
Naj bo \(x_1 \in A=>\) okolica\(x_1 \subset A\) zaradi Picardovega Lokalnega eksist. izreka(zakaj to sledi?)
A zaprta: zaradi zveznosti \(y_1, y_2\), da sta \(y_1, y_2\) je očitno saj \(y'=f(x,y)\), zakaj to implicira zaprtost? \(A \neq \emptyset,\) saj \(x_0 \in A\)
Odtod sledi: \(A=[\alpha, \beta]\), ker je \([\alpha, \beta]\) povezan.
Hm, ni ravno jasno, kako smo to dokazali. Lepo prosim za pomoč.
Najprej ideja: iz topologije veš naslednje: topološki prostor \(X\) je povezan natanko tedaj, ko za vsako \(A\subseteq X\), k je odprta, zaprta in neprazna, velja \(X=A\) (ta trditev ne drži, če izpustimo trivialen primer, ko je \(A=\emptyset\)). Ti potrebuješ samo implikacijo v desno: interval je povezan; če pokažeš, da ima \(A\) tiste tri lastnosti, je kar enaka celotnemu intervalu.
Odprtost: naj bo \(x_1 \in A\); torej \(y_1(x_1)=y_2(x_1)\). Lokalni (Picardov) izrek ti pove, da je rešitev enolična na neki majhni okolici \(U\) točke \(x_1\); to pa pomeni, da je za vsak \(x\in U\) tudi \(y_1(x)=y_2(x)\). Zato je \(x_1\in U\subseteq A\), ker pa to velja za vsako njeno točko, je odprta.
Zaprtost: naj bo \(\{x_i \}\) zaporedje v \(A\); ker je \(A\) omejena, ima stekališče \(w\). Brez škode za splošnost lahko rečemo, da je \(w\) kar limita tega zaporedja (sicer pa delamo z ustreznim podzaporedjem, ki konvergira k tej točki). Ker je \(y_1(x_i)=y_2(x_i)\) za vsak indeks \(i\), zaradi zveznosti sledi \(y_1(w)=y_1(\lim x_i)=\lim y_1(x_i)=\lim y_2(x_i)=y_2(\lim x_i)=y_2(w)\), torej je \(w \in A\). Zato \(A\) vsebuje vsa svoja stekališča in je zaprta.
Po trditvi velja, da ima družina krivulj G ogrinjačo, ki jo določa sistem enačb \(G(x,y,c)=0, G_{c}(x,y,c)=0\). Dokaz: Po izreku o implicitni fji ima ta sistem enačb rešitev: \(c-> (x(c),y(c))\) v okolici točke \(c_{0}\). Zakaj? Če potem želimo pokazati, da je to ogrinjača moramo pokazati, da je regularna parametrizacija(to pomeni, da je tangentni vektor neničelni Zakaj?) kaj je reg. parametrizacija? tangenta je v vsaki točki različna od 0, kar nekako pomeni, da se ves čas giblje, vendar zakaj je to pogoj, da je ogrinjača? Hvala že vnaprej
1. Picadov izrek-lokalni eksistenčni izrek:
Naj bo f zvezna na pravokotniku \([x_0-a,x_0+a]\times [y_0-b,y_0+b]\) Denimo, da je f Lipschitzova na y, t.j. obstaja N>0, za katerega velja: \(|f(x,y)-f(x,z)|<=N|y-z|\) za vse \((x,y),(x,z)\in P\).
Izberimo poljuben \(\alpha \in(0,1)\), def. \(M=max_P |f(x,y)|\), \(c=min\{a,\frac{b}{M},\frac{\alpha}{N}\}\). Tedaj na intervalu \([x_0-c,x_0+c]\) obstaja ntk. ena zvezno odvedljiva rešitev y, ki reši Cauchy-jevo nalogo:\(y'=f(x,y),
y(x_0)=y_0\).
Npr. da imamo neko dif. enačbo: \(y'=y+x\) ali \(y'+y \tan x= \frac{1}{\cos x}\)
Kaj predstavljata \(y, z\), \(y\) je iskana rešitev, zakaj potrebujemo \(z\)? Ali je to nek drug kandidat za rešitev? Zakaj potrebujemo pravokotnik? Kako bi to uporabili na primeru?
2. Lokalni eksistenčni izrek za sisteme. Kako si razlagamo \(M=max_{j}max_{(x, \vec{y})\in P}|f_{j}(x,\vec{y})|\), vzamemo max po komponentah? In nasploh cel izrek?
V neenakosti ki si jo zapisal y ne nastopa kot funkcija (resitev D. enacbe) ampak zgolj kot neodvisna spremenljivka v f(x,y). Spomni se na pogoj za enakomerno zveznost (v primerjavi z pogojem za zveznost). Zahtevas, da za vsak izbran x velja, da ce vozis dve tocki po vertikali (y in z sta pac dve izbiri drugega argumenta funkcije f), nimas nobenih nezveznosti - bolj blizu skupaj izberes tocki, manjsa je razlika v f.
To naredis lokalno, za neko malo okolico, ocenis maksimalni mozen odvod (M) in trdis, da v neposredni okolici zaradi tega lahko dobis samo eno integralsko krivuljo skozi tocko x0. Dokaz je lokalen - na obmocjih, kjer pogoji popustijo lahko dobis kaksne hecne resitve (recimo tocke, skozi katere gre tako obicajna resitev kot ogrinjaca cele druzine resitev).
Hvala, mi je bolj jasno, vendar še ne vse. Kaj bi bil z v primeru? ali to pač y nadomestimo z z: \(z'=z+x\), kaj so točke iz \(P\) v diferencialni enačbi. Če prav razumem, bi morala biti rešitev y, ki jo iščemo na drugi komponenti, t.j. interval \([y_0-b,y_0+b]\), ampak izrek pravi, da obstaja zvezno odv. rešitev na \([x_0-c,x_0+c]\). Kaj nam pove M za sisteme, npr.\(f_j(x,\vec y)\), j predstavlja j-to dif. enačbo, zakaj je potem še y vektor:\(\vec y\)? Ali niso dif. enačbe odvisne le od x in y, kot pri navadnem eksist. izreku? Potem bi imeli \(f_j(x,y)\).?
y in z sta samo dve izbiri za y. Lahko ju klices y1 in y2. Pri tebi je \(f(x,y)=x+y\)
in trditev je \(f(x,y_1)-f(x,y_2)=y_1-y_2 \leq N(y_1-y_2)\)
kar je ocitno res. Na tem koraku se na to, da je y'=f sploh ne oziras ampak samo preverjas enakomerno zveznost desne strani diferencialne enacbe. Najprej moras zagotovit, da je smerno polje enakomerno zvezno - potem lahko zacnes vlect integralske krivulje skozi to polje. Nekako mesas y(x) kot resitev enacbe in f(x,y) kot funkcijo, ki je definirana povsod v koordinatni ravnini (x in y sta tukaj se neodvisna, preden gres iskat resitev). Imas torej pravokotnik P, ki je okolica tocke x0,y0 in trdis, da obstaja znotraj tega pravokotnika samo ena funkcija, ki gre skozi x0,y0 in resi diferencialno enacbo. Ampak da to drzi, se mora f(x,y) lepo obnasat na celem obmocju, ne samo na krivulji neke resitve - saj vendar dokazujes obstoj enolicne resitve in ne smes predpostavit, da sploh poznas kaksno resitev.
Drugi del samo posplosi izrek na vec dimenzij, nic posebnega. Vsaka komponenta enacbe (vsak j) je se vedno odvisen od vseh spremenljivk - enacbe so v splosnem sklopljene. Ce niso, potem jih itak lahko resis vsako posebej. Tipicen primer bi bil ze
dy1/dx=y2
dy2/dx=-y1
vidis da lahko komponente y nastopajo krizno (konkretno ta sistem enacb ima za resitve kroznice v y1,y2 ravnini).
Imamo nalogo:
a) \(y'=3y^{2/3}\), \(y(0)=0\), (pokazali smo, da fja nima enolične rešitve, saj ni Lipsch.)dobimo fje z lepljenjem, kako?
b) Imamo Cauchy-jevo nalogo: \(y'=y^2\) \(y(0)=A\)
Izračunamo rešitev: \(y(x)= \frac{A}{1-Ax}\), če je A=1 je rešitev def. na \((-\infty,1)\), zakaj ne tudi na \((1,\infty)\)?
1)
No, skozi to nenavadno tocko lahko potegnes vec resitev: ena je y=0 (ocitno). Druga je: \(\frac{dy}{dx}=3y^{2/3}\) \(\int_0^y\frac{dy}{y^{2/3}}=3\int_0^x dx\) \(3y^{1/3}=3x\) \(y=x^3\)
Obe gresta skozi tocko (0,0), s tem da ena "zavije" stran od te tocke, druga pa ostane tam. To je zato ker se desna stran enacbe ne obnasa po predpostavkah eksistencnega izreka.
2)
Ker si podal zacetni pogoj v tocki levo od pola pri x=1. Resitev je definirana do koder lahko potegnes resitev iz podane referencne tocke. Na desni strani ti nic ne pove koliko je A, ker se tisti del resitve ne drzi resitve na levi strani.
Potrebovala bi še malo pomoči pri eksist. izrekih. Kaj nam pove \(M=max_{P}=|f(x,y)|\), ali je to max samo po y? V dokazu lok. eksist. izreka: definiramo \(d(y,z)=max_{x \in[x_0-c,x_0+c] }|y(x)-y(z)|\), N je Lipsch. konst. nato pridemo do: \(max_{x} N \int_{x_0}^{x}max_{t}|y(t)-z(t)|dt <=N d(y,z)c\)
Kako smo izračunali zadnjo neenakost:(tako,...: Bom napisala na dolgo. \(max_{x}N \int_{x_0}^{x}d(y,z)dt=max_{x}Nd(y-z)(x-x_0)\). Vpr. ali \(max_{t}|(y(t)-z(t))|\) zapišemo kot \(d(y-z)\) in ker je neodv. od t ga damo pred integral, ali moramo \(max_{t}|(y(t)-z(t))|\) prej kako integrirati??, nato ostane še \(N max_{x}(x-x_0)\). Tu dobimo: \(N c\). Je to vredu? Kaj je t v eksist. izreku. Kako si \(max_{t}, max_{x}\) predstavljamo v diferencialni enačbi?
Pri sistemih smo rekli, da vzamemo max po komponentah. Kaj to pomeni? \(\vec{f}=(f_1,f_2,...,f_n)\)
npr. da imamo sistem: \(x'=x^2+y^2\) \(y'=2xy\)
ali so komponente:\(f_1=x'\) in \(f_2=y'\), je to vredu? Kaj bi bil max po komponentah(eden izmed x' in y')?
lok. eksist. izrek za sisteme:
Naj bo \(\vec{f}=(f_1,f_2,...,f_n)\) zvezna na kvadru P. \(P = [x_0-a,x_0+a]\times[y_0^{1}-b_1,y_0^{1}+b_1]\times[y_0^{2}-b_2,y_0^{2}+b_2]\times ...[y_0^{n}-b_n,y_0^{n}+b_n]\). na intervalih od 2-n ležijo naše iskane rešitve dif. enačb. Naj bo \(\alpha \in(0,1)\) \(M=max_{1<=j<=n}max_{(x,\vec{y}) \in P}|f_j(x,\vec{y})|\). Isto kot pri navadnem eksist. izreku ne vem kaj nam pove M. In kako si razložimo Lipsh. lastnost: \(max_{j}|f_j(x,\vec{y})-f_j(x,\vec{z})|<= N max_{j}|y_j-z_j|\)
Zakaj max po komponentah?
Kaj so integralske krivulje o katerih ste govorili, kje bi si lahko prebrala kaj več o tem.
Lepo prosim za pomoč.
Mislim, da smo temu rekli takrat, ko smo rezultat pustili v obliki integrala (torej, ko ga nismo izračunali do konca, ker ni izrazljiv z elementarnimi funkcijami).
