Naloga - lastna vrednost
Naloga - lastna vrednost
Ali imate kak dober nasvet za reševanje te naloge:
Nalogo sem našel na spletni strani fmf.
Nalogo sem našel na spletni strani fmf.
Re: Naloga - lastna vrednost
Če želiš pokazati, da je \(X\) lasten podprostor matrike \(C\) za lastno vrednost \(\lambda\), moraš pokazati, da je \(Cx =\lambda x\) \(\forall x \in X\). V tvojem primeru (\(X=Lin \{ a,b \} ^{\bot}\)) torej \(CX=0\).
Naj bo \(x\in X\) poljuben; torej je \(b^Tx=a^Tx=0\). Potem je \(Cx=(ab^T+ba^T)x=a(b^Tx)+b(a^Tx)=0\), torej je \(X\) res lasten podprostor za \(0\).
Ker sta \(a\) in \(b\) linearno neodvisna, je \(\dim Lin \{ a,b \} =2\) in zato \(\dim X= n-2\). To pomeni, da je geometrijska (in zato tudi algebraična) večkratnost lastne vrednosti \(0\) enaka vsaj \(n-2\), torej imamo kvečjemu še dve drugi lastni vrednosti, katerih lastna vektorja ležita v \(Lin \{ a,b \}\). Zato nastaviš \(x=\alpha a+\beta b\) in iščeš rešitve enačbe \(Cx=\lambda x\) oziroma
\((\alpha b^Ta+\beta b^Tb)a + (\alpha a^Ta+\beta a^Tb)b=\lambda \alpha a + \lambda \beta b\). Zaradi linearne neodvisnosti vektorjev dobiš dve enačbi
\(\alpha b^Ta+\beta b^Tb=\lambda \alpha\),
\(\alpha a^Ta+\beta a^Tb= \lambda \beta\).
Očitno \(\alpha \neq 0\) (v nasprotnem tudi \(\beta = 0\) in potem \(x=0\), ampak to potem ni lastni vektor), zato lahko predpostavimo, da je \(\alpha=1\) (če je \(\alpha a+\beta b\) lastni vektor, je tudi \(\alpha ^{-1}(\alpha a+\beta b)\) lastni vektor). Iz prve enačbe izraziš \(\beta\) in vstaviš v drugo enačbo:
\(a^Ta+\frac{\lambda-b^Ta}{b^Tb} a^Tb=\lambda \frac{\lambda-b^Ta}{b^Tb}\). To je kvadratna enačba:
\(\lambda ^2- 2<a,b> \lambda - (\|a\|^2\|b\|^2-<a,b>^2)=0\), od koder dobiš \(\lambda_{1,2}=<a,b> \pm \|a\|\|b\|\). Torej ima \(C\) \((n-2)\)- kratno vrednost \(0\) in še dve (različno predznačeni) enostavni lastni vrednosti (njuna lastna vektorja izračunaš tako, da poiščeš \(\beta\) iz zgornjega sistema).
Naj bo \(x\in X\) poljuben; torej je \(b^Tx=a^Tx=0\). Potem je \(Cx=(ab^T+ba^T)x=a(b^Tx)+b(a^Tx)=0\), torej je \(X\) res lasten podprostor za \(0\).
Ker sta \(a\) in \(b\) linearno neodvisna, je \(\dim Lin \{ a,b \} =2\) in zato \(\dim X= n-2\). To pomeni, da je geometrijska (in zato tudi algebraična) večkratnost lastne vrednosti \(0\) enaka vsaj \(n-2\), torej imamo kvečjemu še dve drugi lastni vrednosti, katerih lastna vektorja ležita v \(Lin \{ a,b \}\). Zato nastaviš \(x=\alpha a+\beta b\) in iščeš rešitve enačbe \(Cx=\lambda x\) oziroma
\((\alpha b^Ta+\beta b^Tb)a + (\alpha a^Ta+\beta a^Tb)b=\lambda \alpha a + \lambda \beta b\). Zaradi linearne neodvisnosti vektorjev dobiš dve enačbi
\(\alpha b^Ta+\beta b^Tb=\lambda \alpha\),
\(\alpha a^Ta+\beta a^Tb= \lambda \beta\).
Očitno \(\alpha \neq 0\) (v nasprotnem tudi \(\beta = 0\) in potem \(x=0\), ampak to potem ni lastni vektor), zato lahko predpostavimo, da je \(\alpha=1\) (če je \(\alpha a+\beta b\) lastni vektor, je tudi \(\alpha ^{-1}(\alpha a+\beta b)\) lastni vektor). Iz prve enačbe izraziš \(\beta\) in vstaviš v drugo enačbo:
\(a^Ta+\frac{\lambda-b^Ta}{b^Tb} a^Tb=\lambda \frac{\lambda-b^Ta}{b^Tb}\). To je kvadratna enačba:
\(\lambda ^2- 2<a,b> \lambda - (\|a\|^2\|b\|^2-<a,b>^2)=0\), od koder dobiš \(\lambda_{1,2}=<a,b> \pm \|a\|\|b\|\). Torej ima \(C\) \((n-2)\)- kratno vrednost \(0\) in še dve (različno predznačeni) enostavni lastni vrednosti (njuna lastna vektorja izračunaš tako, da poiščeš \(\beta\) iz zgornjega sistema).