delta napisal/-a:Imam eno zanimivo vprašanje.
Imamo enakostranični trikotnik, s stranico \(a\). Zanima me, kako pokažemo, kakšen kvadrat in kako ga moramo včrtati, da bo maksimalen. Po občutku, bi ga postavili z eno njegovo stranico na eno stranico trikotnika (velikost takega kvadrata sem izračunala), ampak ali je to res največji, ki ga lahko včrtamo? Ali je kateri malo zasukan večji? Kako bi to dokazali? za lažjo predstavo sem dodala sliko.
Ne vem, če obstaja kak eleganten dokaz. Verjetno je treba obravnavati vse možnosti (če sta dve nasprotni oglišči kvadrata na stranicah trikotnika, pa če sta dve sosednji oglišči kvadrata na različnih stranicah trikotnika itd.). Problem je precej nesimetričen, dokaz je lahko precej dolg, ker je treba obravnavati kopico takšnih primerov.
Numerično se problem lahko reši tako, da se ga prevede na iskanje ekstrema funkcije. Na primer, označimo oglišči kvadrata
\(A(x_1,y_1)\) in
\(B(x_2,y_2)\). Izračunamo še koordinate drugih dveh oglišč
\(C(x_2+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2)\) in
\(D(x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_1)\). Pogoj je, da so vsa štiri oglišča na ustreznih straneh treh premic, ki določajo trikotnik (ta pogoj je linearen). Maksimiziramo pa funkcijo
\((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\) (ki žal ni linearna). V Mathematici izgleda nekako takole:
Koda: Izberi vse
a = 1;
NMaximize[{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, x2 - x1 + y2 ≥ 0, x2 - x1 + y1 ≥ 0,
y1 ≤ Sqrt[3]x1, y2 ≤ Sqrt[3]x2, x2 - x1 + y1 ≤ Sqrt[3](x1 + y1 - y2), x2 - x1 + y2 ≤ Sqrt[3](x2 + y1 - y2),
x1/a + y1/a/Sqrt[3] ≤ 1, x2/a + y2/a/Sqrt[3] ≤ 1, (x2 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y2)/a/Sqrt[3] ≤ 1, (x1 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y1)/a/Sqrt[3] ≤ 1},
{x1, y1, x2, y2}]
Rezultat je seveda takšen, kot ga pričakujemo (in ki ustreza sliki zgoraj).
Če hočemo točno rešitev, je treba najprej upoštevati, da pri rešitvi vsaj 3 oglišča kvadrata ležijo na stranicah trikotnika. Če npr. zahtevamo, da
\(A\) leži na 1. stranici,
\(C\) leži na 2. stranici in
\(B\) leži na 3. stranici, dobimo sistem, ki se ga da rešiti natančno:
Koda: Izberi vse
a = 1;
Maximize[{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2,
y1 == 0, y2 ≥ 0, x2 - x1 + y2 ≥ 0, x2 - x1 + y1 ≥ 0,
y1 ≤ Sqrt[3]x1, y2 ≤ Sqrt[3]x2, x2 - x1 + y1 == Sqrt[3](x1 + y1 - y2), x2 - x1 + y2 ≤ Sqrt[3](x2 + y1 - y2),
x1/a + y1/a/Sqrt[3] ≤ 1, x2/a + y2/a/Sqrt[3] == 1, (x2 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y2)/a/Sqrt[3] ≤ 1, (x1 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y1)/a/Sqrt[3] ≤ 1},
{x1, y1, x2, y2}]
Seveda je treba podobno obravnavati še primere, ko vzamemo kaka druga tri oglišča v kaki drugi razporeditvi.
visokega nivoja tvojih pisarij razkrij identiteto - pa si omočil planičke.