Elementarna geometrija

[delta]

Nekaj vprašanj iz elem. geometrije, če kdo morda ve.
1. Imamo trikotnik ABC, očrtano krožnico in točko P na tej krožnici. Simsonova premica razpolavlja PH, pri čemer je H višina. Kako vemo, da to razpolovišče leži na krožnici 9 točk?

2.Imamo isto situacijo: Imamo trikotnik ABC, očrtano krožnico in točko P na tej krožnici., z M,N,R označimo pravokotne projekcije točke P na nosilke stranic trikotnika(dobimo Simsonovo premico).
Izrek: M,N,R so kolinearne ntk. tedaj ko je ABCP tetivni štirikotnik. Zakaj je dokaz v levo trv.?

3. Izrek: Naj bo inverzija podana s krožnico K. Potem so si naslednje tri trditve ekvivalentne:
a) Krožnica L vsebuje dve inverzni točki(L je krožnica, ki jo z inverzno preslikamo)
b) Krožnica L je šibko invariantna.
c) Krožnica L in K se sekata pod pravim kotom
Pri dokazovanju smo uporabili potenco točke na krog. Kako bi dokazali posamezne implikacije a)=> b), b)=>c),...?

4. Konstrukcija krožnice skozi dano točko P, ki je pravokotna na dani dve krožnici.

5. Dokaz Feuerbachovega izreka: Krog 9 točk se dotika včrtanega in vseh treh pričrtanih krogov trikotnika. Kako bi to dokazali?

Če kdo ve karkoli od zgornjega bi mi prišlo zelo prav. Lepo prosim za pomoč.

[delta]

Dve nalogi, če ima kdo kakšno idejo. Kako se takšen tip naloge začne reševati?

1.) Trikotniku očrtajte kvadrat, da bo eno oglišče kvadrata v oglišču trikotnika, drugi dve oglišči trikotnika pa na stranicah kvadrata, ki ne gredo skozi to oglišče.
2.) V trikotnik včrtaj pravokotnik s stranicami \(a: b=2:1\), če daljša stranica pravokotnika leži na c.
Lepo prosim za pomoč.

[Aniviller]

Tole s krogom devetih tock je ze na toliko visjem nivoju, da najbrz s spontanim nacrtovanjem brez teorije devettockovnega kroga ne bo slo. Jaz se ne spoznam toliko, da bi kar konstruiral dokaze, je pa precej tega samo za prepis iz bazicne literature.

Ostalo je pa bolj elementarno, tako da najbrz prides skozi, ce si pomagas z analiticnimi izpeljavami. Recimo pri 2) lahko zapises zakon o podobnih trikotnikih za cel trikotnik in manjsi trikotnik, katerega "c" stranica je kar daljsa stranica pravokotnika. Ce ne gre drugace (sigurno gre), lahko kar nacrtas razmerje:
\(\frac{2B}{v_c-B}=\frac{v_c}{c}\)
(A=2B sta stranici pravokotnika).
B je izrazeno v sorazmerju z visino, kar lahko skonstruiras s sestilom in ravnilom.

Pri 1) ugotovis, da oglisca pravokotnika lezijo na polkroznih lokih nad stranicami. Moras pa staknit se en podatek, ki ga je enostavno nacrtat - ne vem iz glave.

[delta]

Kako bi se pokazalo, da je inverzija preko krožnice K(O,r) v kompleksni ravnini podana s preslikavo \(I(z)=\frac{r^2}{\overline z}\). Kam preslika \(I(z)=\frac{r^2}{\overline z}\) množice: \(A=\{z*\overline z=8\}\), \(B=\{z*\overline z=16\}\) in \(C=\{z;Re(z)=4\}\), \(D=\{|z-1|=1\}\)
Nujno bi rabla vedit

[Aniviller]

Po definiciji inverzija obdrzi smer in invertira radij. Torej je enaka enotskemu vektorju krat nova (invertirana) dolzina.
\(I(z)=\frac{z}{|z|}\frac{1}{|z|}=\frac{z}{|z|^2}=\frac{1}{\overline{z}}\)
To je za enotsko kroznico. Za neenotsko pa samo zamenjas spremenljivke: \(I(z)\mapsto I(z)/r\) in \(z\mapsto z/r\).

Podane mnozice pa:
A,B: to sta ze itak centrirani kroznici, samo radij se bo spremenil. Za C pa lahko celo vstavis, ce hoces:
z=4+bi
\(I(z)=\frac{r^2}{r-bi}=x+iy\)
od koder lahko razcepis na realni in imaginarni del, nasilno eliminiras b in dobis implicitno obliko krivulje (kroznice) v spremenljivkah x in y.

[delta]

1. aha, bolj jasno, samo še vseeno ne vem, kako sedaj preslikamo npr. B?
Še nekaj:
2.V koordinatnem sistemu so dane točke A(0,0), B(5,0) in C(0,5) ter trikotnik ABC. Za točki P in R znotraj ABC velja, da so razmerja razdalj do oglišč podana z enačbami \(\frac{PA}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{2}{3}\) in \(\frac{RB}{RA}=\frac{RA}{RC}=\frac{2}{3}\)
a) opišite geometrijski konstrukciji točk P in R(tega ni treba, tu sem uporabila Apolonijevo krožnico)
b) Analitično opišite legi točk Pin R(to ne vem??)

3. V ravnini je dana premica, na kateri ležijo različne točke A,B,C tako, da leži B med A in C. Na enem bregu premice izberimo točki D in E, na drugem pa točko F tako, da so trikotniki ABD, BCE in ACF enakostranični. Dokažite, da so središča teh trikotnikov oglišča nekega enakostraničnega trikotnika.(kako bi to?)

[Aniviller]

1. Ja inverzija je. Ker imajo vse tocke isti radij, se preslika v kroznico z radijem \(\frac{r^2}{4}\), karkoli je ze ta r.
2. imas pravokotni trikotnik, pa za obe tocki ves razdalje (vsaj razmerja) do oglisc. Vsakega lahko dolocas posebej, imas pa vec moznosti - med drugim ta tocka razdeli trikotnik na 3 trikotnike, za katere poznas razmerja stranic in gres lahko na obicajen nacin resevat.
3. Hm.... disi po tejle nalogi. viewtopic.php?f=22&t=4936
Mogoce je se lazja. Lahko kar na silo. AB=a, BC=b, koordinate:
D:(a/2,a*sqrt(3)/6)
E:(a+b/2,b*sqrt(3)/6)
F:((a+b)/2,-(a+b)*sqrt(3)/6)

zdaj samo pokazes, da so razdalje med njimi enake ne glede na a in b, pa je narejeno.

[delta]

Kako dobimo formulo

\frac{r^2}{4}

ne vem kako iz enotske pridemo do \(I(z)=\frac{r^2}{\overline z}\) tisti \(r^2\) zgoraj.

[Aniviller]

To je tista menjava spremenljivk, ki sem jo zgoraj omenjal. Oziroma, ce hoces drugace:
1) skrcis celo sliko za faktor r, da postane kroznica enotska: \(\frac{z}{r}\).
2) izvedes inverzijo: \(\frac{1}{\overline{z/r}}=\frac{r}{\overline{z}}\)
3) raztegnes nazaj za faktor r: \(\frac{r^2}{\overline{z}}\)

Tista 4 je pa polmer kroznice B, ki jo invertiras cez kroznico s polmerom r.

[juve]

Zdravo

Najprej naj se zahvalim za pomoč pri teh nallogah vsem. Imam pa tudi jaz nekaj vprašanj in bi prosila za pomoč...
Pri nalogi z inverzijo v kompleksnem mi ni jasen primer {z;Iz-1I=1}... to se najbrž preslikav premico ne? ampak kako?
in ni mi jasno kako pri primeru C eliminiraš b da dobiš enačbo odvisno samo odx in y?

Če bi se komu dalo bi prosila tudi za bolšo razlago 2. naloge ki jo je napisala delta (z razmerji)..... nekako bi moglo it to skozi s potenco točke ampk nikakor ne morem ugotoviti kako ali pa je ta ideja napačna?

Hvala za pomoč že naprej!!!

[Aniviller]

Ja, z=4+bi je premica, vzporedna z y osjo. Ko spreminjas b, se vozis po premici gor in dol. Inverzija premice bo kroznica, b bo pa dolocal katero tocko na kroznici gledas. Torej moras b eliminirat.

Inverzija (cez kroznico radija r):
\(\frac{r^2}{\overline{z}}=x+iy\)
\(\frac{r^2}{4-bi}=\frac{r^2(4+bi)}{4^2+b^2}=x+iy\)
\(x=r^2\frac{4}{4^2+b^2}\)
\(y=r^2\frac{b}{4^2+b^2}\)
Ce to dvoje zdelis, dobis \(b=4y/x\). Potem lahko to neses v eno izmed enacb, recimo v prvo:
\(x=r^2\frac{4}{4^2+4^2y^2/x^2}\)
\(4x+4y^2/x=r^2\)
Odpravis ulomke
\(4x^2+4y^2-4r^2 x=0\)
kar je enacba kroznice.

Po drugi strani je |z-1|=1 kroznica, centrirana v z=1, ki gre skozi koordinatno izhodisce. Na pamet vemo, da bo rezultat premica, saj je inverzija koordinatnega izhodisca tocka v neskoncnosti, premice so pa itak kroznice skozi neskoncnost. Lahko gres recimo noter z \(z=1+\cos\phi+i\sin\phi\). Inverzija tega:
\(\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{1+\cos\phi+i\sin\phi}\)
\(=\frac{1+\cos\phi-i\sin\phi}{(1+\cos\phi)^2+\sin^2\phi}=x+iy\)
Od koder
\(\frac{1+\cos\phi}{2(1+\cos\phi)}=x\)
\(-\frac{\sin\phi}{2(1+\cos\phi)}=y\)
Prva enacba se glasi x=1/2. Druga pa y=nekaj (karkoli ze, neodvisno od x). Torej, navpicna premica skozi x=1/2, kar bi lahko uganil s tem, da bi transformiral zgolj tocko na kroznici z=2 in potegnil premico.

Ostalo: katera razmerja in kaksne potence?

[juve]

2.V koordinatnem sistemu so dane točke A(0,0), B(5,0) in C(0,5) ter trikotnik ABC. Za točki P in R znotraj ABC velja, da so razmerja razdalj do oglišč podana z enačbami \(\frac{PA}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{2}{3}\) in \(\frac{RB}{RA}=\frac{RA}{RC}=\frac{2}{3}\)
a) opišite geometrijski konstrukciji točk P in R

tole me zanima če je možno da se uporabi potenca točke ali se pač naredi samo z uporabo apolonijeve krožnice?

[delta]

S potenco točke na krog dobiš razmerje na poltraku.(če razmisliš, kje približno sta P in R vidiš, da ne ležijo vse na isti premici). Vemo: \(\frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}\). Iz potence točke na krog vemo, da če potegnemo iz točke P na krog poltrak, krožnico seka v največ 2 točkah. To sta v tem primeru \(A, B\), velja pa tudi \(\frac{PA}{PC}=\frac{2}{3}\), kar bi pomenilo, da \(B=C\), kar pa vemo, da ni res. Torej P in R ni mogoče skonstruirati s pomočjo potence na krog.

[subic.alja]

Živjo!

Potrebovala bi pomoč pri dveh nalogah iz elementarne geometrija, upam, da mi bo lahko kdo kako pomagal. In sicer:

1. V ravninski geometriji naj bo p premica, na kateri ležita različni točki A in B.
a) Dokažite, da obstajata točki C in D, ki ne ležita na p, tako da daljica CD seka premico p in da velja velikost kota ABC = velikosti kota BAD. Odgovor natančno utemeljite z aksiomi ravninske geometrije.
b) Dokažite, da je premica AD vzporedna premici BC.
c) Označimo z E presečišče premice p in daljice CD. Dokažite, da velja: če je AE = EB, potem je trikotnik EBC skladen trikotniku EAD.

2. V ravninski geometriji naj bo p premica in T točka, ki ne leži na p. Dokaži, da obstaja natanko ena točka U, ki je zrcalna slika točke T glede na premico p. Nasvet: pomagaj si z dvema izbranima točkama na premici p in uporabi aksiome ravninske geometrije. Vse odgovore natančno utemelji.

LP Alja

[subic.alja]

Pozdravljeni!
Ponovno potrebujem pomoč pri geometri, imam par nalog.

1) Dokažite, da sta premici s smernima koeficientoma \(k_1\) oziroma \(k_2\) pravokotni natanko tedaj, ko velja \(k_1k_2=-1\).

2) Z algebrskim kriterijem za enakost kotov pokažite, da je premica skozi točki (1, 0) in (3, 4) pravokotna na premico skozi (0, 2) in (4, 0).

3) Naj velja \(c^2+s^2=1\), tedaj obstaja funkcija \(r_{c,s}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \to (cx-sy, sx+cy)\).
Pokažite, da kompozitum \(r_{c2,s2} \circ r_{c1,s1}\) preslika \((x, y) \to ((c_1c_2-s_1s_2)x-(s_1c_2+c_1s_2)y,\) \((s_1c_2+c_1s_2)x+(c_1c_2-s_1s_2)y)\).

4) Privzemite, da je \(r_{c1,s1}\) res vrtež okrog O za \(\theta _1\) in \(r_{c2,s2}\) vrtež za \(\theta _2\) okrog izhodišča O. Odtod s pomočjo prejšnje naloge izpeljite formuli:
\(\cos (\theta _1+\theta _2)=\cos \theta _1 \cos \theta _2 + \sin \theta _1 \sin \theta _2\)
\(\sin (\theta _1+\theta _2)=\sin \theta _1 \cos \theta _2 - \cos \theta _1 \sin \theta _2\)

5) Iz prejšnje naloge izpeljite formulo:
\(\tan(\theta _1+ \theta _2)=\frac{\tan\theta _1 + \tan\theta _1}{1-\tan\theta _1\tan\theta _2}\)
in odtod:
\(\tan(\theta _1- \theta _2)=\frac{\tan\theta _1 + \tan\theta _1}{1+\tan\theta _1\tan\theta _2}\)

Upam, da mi bo kdo lahko pomagal...

LP Alja