vektorji

[mathnoob]

imam se en problem pri vektorjih, in sicer :
vektorji a, b in c imajo dolzine ||a||=||b||=2 in ||c||= 4 . kot med vektorjema a in b ter kot med vektorjem c in ravnino, ki jo dolocata vektorja a in b, sta oba enaka pi/3. izracunajte prostornino tetraedra napetega na vektorje x=a-b, y=2a+b in z=3a-2b-c

hvala za pomoc

[mathnoob]

pa imam se eno u bistvu ki je ne znam, ta se glasi :

paralelogram ima oglisce A(1,1,1) in stranici AB=(0,1,1), AD=(1,-2,1). doloci tocko E na stranici BC tako, da se bosta daljici AE in BD sekali pod pravim kotom.

hvala za vso pomoc, drugace me boste pa se dosti videvali ta teden

[Aniviller]

Kar loti se racunanja in poglej ce lahko vse izrazis z ustreznimi podatki. Prostornino tetraedra dobis kot delez paralelepipeda:
\(V=\frac{1}{6}(x,y,z)\)
kjer sem zapisal mesani produkt. Tega pa lahko razpises:
\((x,y,z)=(a-b,2a+b,3a-2b-c)=\)\((a,2a+b,3a-2b-c)-(b,2a+b,3a-2b-c)\)
zaenkrat sem razpisal samo po prvem clenu. Takoj lahko upostevas, da podvojeni vektorji v mesanem produktu dajo nic, zato jih lahko ven poberes:
\((x,y,z)=(a,b,-2b-c)-(b,2a,3a-c)\)
Se v zadnjem clenu razpises in dobis
\((x,y,z)=(a,b,-c)-(b,2a,-c)=-3(a,b,c)\)
To zdaj lahko zapises:
\((a,b,c)=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}=|a||b||c|\sin\alpha\cos\beta\)
kjer je prvi kot med a in b, drugi pa med ravnino ab in vektorjem c.

[Aniviller]

pa imam se eno u bistvu ki je ne znam, ta se glasi :

paralelogram ima oglisce A(1,1,1) in stranici AB=(0,1,1), AD=(1,-2,1). doloci tocko E na stranici BC tako, da se bosta daljici AE in BD sekali pod pravim kotom.

hvala za vso pomoc, drugace me boste pa se dosti videvali ta teden

Ker imas paralelogram lahko vse vektorje izrazis z vektorji vzdolz stranic: a=AB, b=AD.

Tvoja tocka je na BC, torej naredis korak za a, da se znajdes v B, in naredis neznano dolzino koraka v b smeri:
\(E=A+\vec{a}+t\vec{b}\)
Ostale tocke so seveda:
\(B=A+\vec{a}\)
\(D=A+\vec{b}\)

Zdaj lahko takoj zapises pogoj:
\(AE\cdot BD=0\)
\((E-A)\cdot (D-B)=0\)
\((\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=0\)
\(t=-\frac{\vec{a}(\vec{b}-\vec{a})}{\vec{b}(\vec{b}-\vec{a})}\)

Zdaj samo vstavis podatke.

[mathnoob]

ok hvala, ta druga naloga mi je jasna in sedaj razumem kako in kaj, u bistvu podobno kot pri dolocevanju razmerja, tako nekako sem tudi sam razmisljal vendar mi ni uspelo najti resitve. sedaj v glavnem razumem.
vendar bi prosil ce mi lahko razlozite tole razpisovanje mesanega produkta? ne zastopim cisto kaj se tule nardi (nisem nikoli takoh nalog resevav)
nekaj se mi svita za kaj gre, samo bi bilo dobro ce mi tole obrazlozite da nebo panika

hvala za vso pomoc! zelo ste prijazni in veliko veste, tale forum mi je cedalje bolj vsec

[Aniviller]

Mesani produkt je samo druga pisava za \((a,b,c)=(a\times b)\cdot c\) oziroma determinanto \(\begin{vmatrix}a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}\). Geometrijsko je enak volumnu paralelepieda, napetega na vektorje a,b,c, s predznakom, ki locuje sucnost te trojice vektorjev.

Tak zapis je lepsi, ker enakovredno obravnava vse tri vektorje. V vsakem clenu velja distributivnost: (a,b,c+d)=(a,b,c)+(a,b,d), kar hitro lahko preveris z vstavljanjem v zgornjo definicijo. Prav tako lahko skalarne konstante neses ven. Ciklicna menjava vektorjev ne naredi nic: (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b), menjava dveh pa spremeni predznak (to je zaradi tistega vektorskega produkta notri). Zaradi tega tudi velja (a,a,c)=0: dva enaka vektorja povzrocita da pride nic - paralelepiped ima volumen nic, ce sta dva vektorja enaka, ali ce so vsi trije v isti ravnini.

Seveda lahko vse to racunas z (a x b)*c, samo z mesanim produktom je lazje, ker je simetricen in manj pisanja, pa se pravila si je lazje zapomnit.

Da pogledava.
Distributivnost v prvi komponenti:
(a-b,2a+b,3a-2b-c)=(a,2a+b,3a-2b-c)-(b,2a+b,3a-2b-c)
Ce bi zdaj distributivnost uporabil v drugi komponenti, na 2a in b, bi prvi clen prisel nic, ker je (a,2a,3a-2b-c)=0. Zato lahko 2a enostavno pobrises. Podobno velja za 3a v zadnji komponenti in -2b v zadnji komponenti (podvojen z b-jem iz druge komponente). Lahko pa tudi razpises vseh 12 clenov

(a,2a,3a)+(a,2a,-2b)+(a,2a,-c)+(a,b,3a)+(a,b,-2b)+(a,b,-c)-(b,2a,3a)-(b,2a,-2b)-(b,2a,-c)-(b,b,3a)-(b,b,-2b)-(b,b,-c)=
(a,b,-c)-(b,2a,-c)=
-(a,b,c)+2(b,a,c)=-(a,b,c)-2(a,b,c)=-3(a,b,c)
kjer sem najprej pobral konstante ven in nato zamenjal vrstni red dveh komponent v drugem clenu

[mathnoob]

aja ja saj res, tole mi je pa nekaj znano ! ja hvala sedaj pa zastopim kako se stvari streze, 100x hvala ti

[mathnoob]

ok se eno vprasanje imam, nikakor ne morem pridt do resitve, sicer se naloga glasi :

v paralelogramu ABCD oznacimo z a = AB, b = AD. tocka S razpolavlja stranico AD, tocka T lezi na daljici BS in velja BT:TS=3:1. premica skozi tocki A in T seka daljico CD v tocki Y. izrazi vektor BY z vektorjema a in b. doloci razmerje DY:YC. izracunaj koordinate Y ce je A(2,3,1), B(-1,0,2), D(1,-1,0)

ponavadi sem reseval naloge kjer je bilo treba dolocit to na neki premici ki ni bila stranica paralelograma, tam razumem kako postopit k zadevi, da dobis potem nek x in y ki narekujeta razmerje, tule tudi verjetno ane, samo ne znam se lotit zadeve...

prosim spet za pomoc hvala vam lp

[Aniviller]

Sploh ni vazno ali je na paralelogramu ali ne.

S=A+b/2
T=A+a+(S-B)/4=A+3a/4+b/8
Y=A+(T-A)*x=A+(3a/4+b/8)*x

pogoj za Y je, da lezi na CD, torej ga lahko zapises tudi kot
Y=D+(C-D)*y=A+b+a*y

To izenacis:
(3a/4+b/8)*x=b+a*y
Clen pri a: 3/4x=y
Clen pri b: x/8=1
Dobis x=8, y=6

Tudi ce si narises, vidis da je tocka Y precej ven iz paralelograma

Potem samo vstavis nazaj in dobis vse ostalo:
BY=Y-B=A+b+a*y-B=(A-B)+b+6a=5a+b

DY=Y-D=6a
CY=Y-C=5a
DY:YC=6:5

Mogoce je bolje na te neznane parametre gledat kot na dolzine koraka v doloceni smeri (parameter premice), kot pa razmerja. To vedno deluje. V tem primeru smo recimo zaceli v A in sli v smeri zveznice AT za dolzino, ki je mnogokratnik parametra x.

[mathnoob]

hvala, sem pogruntal kako se nardi malo kasneje.. vseeno pa hvala edina razlika je da malo drugace to naredim, izhajal sem iz tega da je AY= a+b+xCD, nato pac da je AY=yAT okej se nekaj me zanima, imam nalogo :

tocki A(1,2,3) B(-1,2,1)
zracunat koordinate tocke S ki je na sredini, pac razpolovisce daljice AB, to stekam, samo potem me naloga sprasuje,
Poiscite vse tocke ki so enako oddaljene od danih tock A in B.

predstavljam si da je to neka ravnina pravokotna na daljico? sepravi normala ravnine = daljica AB, tocka S pac izhodisce? je to prav?

[Aniviller]

Hehe, samo x in y imas zamenjana

tocki A(1,2,3) B(-1,2,1)
zracunat koordinate tocke S ki je na sredini, pac razpolovisce daljice AB, to stekam, samo potem me naloga sprasuje,
Poiscite vse tocke ki so enako oddaljene od danih tock A in B.

predstavljam si da je to neka ravnina pravokotna na daljico? sepravi normala ravnine = daljica AB, tocka S pac izhodisce? je to prav?

Ja to je prav.

Skozi prides pa celo z grobo silo, ce slucajno ne bi vedel kaj naredit:
\(||A-X||=||B-X||\) // kvadriraj
\(||A||^2-2(A\cdot X)+||X||^2=||B||^2-2(B\cdot X)+||X||^2\)
\(2X\cdot(B-A)=||B||^2-||A||^2\)
kar je enacba ravnine z normalo B-A. Lahko se razbijes razliko kvadratov in delis z 2, da dobis tocno to kar pricakujes:
\(X\cdot(B-A)=(B-A)\cdot \underbrace{\frac{B+A}{2}}_{S}\)
\((X-S)\cdot(B-A)=0\)

[mathnoob]

hvala za nasvet upam da se me niste ze navelicali kar pripravite se se na kasno zmesano vprasanje, drugi teden imam izpit

lp

[mathnoob]

se eno kratko vprasanje, imam nalogo pac izrazit vektor AS v paralelogramu, in dane imam 3 tocke A,B,C., moram izracunat koordinate tocke S ki je pac tam nekje umes to mam, me pa zanima

ali lahko uporabim dejsto da je AS=S-A => s=AS+A za koordinate te tocke?

A(1,2,0)
B(3,3,1)
C(4,4,3)
AS=3/13a + 6/13b

[Aniviller]

Lahko ja.

[mathnoob]

uhuh.. sepravi potem so koordinate (12/13,9/13,15/13) ? lahko potrdis?