Mesani produkt je samo druga pisava za
\((a,b,c)=(a\times b)\cdot c\) oziroma determinanto
\(\begin{vmatrix}a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}\). Geometrijsko je enak volumnu paralelepieda, napetega na vektorje a,b,c, s predznakom, ki locuje sucnost te trojice vektorjev.
Tak zapis je lepsi, ker enakovredno obravnava vse tri vektorje. V vsakem clenu velja distributivnost: (a,b,c+d)=(a,b,c)+(a,b,d), kar hitro lahko preveris z vstavljanjem v zgornjo definicijo. Prav tako lahko skalarne konstante neses ven. Ciklicna menjava vektorjev ne naredi nic: (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b), menjava dveh pa spremeni predznak (to je zaradi tistega vektorskega produkta notri). Zaradi tega tudi velja (a,a,c)=0: dva enaka vektorja povzrocita da pride nic - paralelepiped ima volumen nic, ce sta dva vektorja enaka, ali ce so vsi trije v isti ravnini.
Seveda lahko vse to racunas z (a x b)*c, samo z mesanim produktom je lazje, ker je simetricen in manj pisanja, pa se pravila si je lazje zapomnit.
Da pogledava.
Distributivnost v prvi komponenti:
(a-b,2a+b,3a-2b-c)=(a,2a+b,3a-2b-c)-(b,2a+b,3a-2b-c)
Ce bi zdaj distributivnost uporabil v drugi komponenti, na 2a in b, bi prvi clen prisel nic, ker je (a,2a,3a-2b-c)=0. Zato lahko 2a enostavno pobrises. Podobno velja za 3a v zadnji komponenti in -2b v zadnji komponenti (podvojen z b-jem iz druge komponente). Lahko pa tudi razpises vseh 12 clenov
(a,2a,3a)+(a,2a,-2b)+(a,2a,-c)+(a,b,3a)+(a,b,-2b)+(a,b,-c)-(b,2a,3a)-(b,2a,-2b)-(b,2a,-c)-(b,b,3a)-(b,b,-2b)-(b,b,-c)=
(a,b,-c)-(b,2a,-c)=
-(a,b,c)+2(b,a,c)=-(a,b,c)-2(a,b,c)=-3(a,b,c)
kjer sem najprej pobral konstante ven in nato zamenjal vrstni red dveh komponent v drugem clenu