Fizika

[shrink]

Ah, ne, tako enostavno pa ne gre. Gre za težno nihalo, katerega krožno frekvenco (ne kotno hitrost!) podaja zveza:

\(\displaystyle\omega^2=\frac{mgd}{J}\),

kjer je \(m\) masa nihala, \(d\) razdalja od vrtišča do težišča nihala in \(J\) masni vztrajnostni moment nihala okoli osi, ki gre skozi vrtišče.

V tvojem primeru je razdalja od vrtišča do težišča nihala ravno polmer plošče, saj je vpeta na obodu, masni vztrajnostni moment nihala okoli osi, ki gre skozi vrtišče, pa moraš določiti preko Steinerjevega izreka:

\(J=J^*+md^2\),

kjer je \(J^*\) masni vztrajnostni moment nihala okoli osi, ki gre skozi težišče.

[kmetovalec]

Kako pa izračunam J če nimam danega podatka d (ki je v mojem primeru polmer)? Ter kakšno vrednost ima J* oz. kako do tega podatka.?
Je res malo zahtevnejša naloga.

[shrink]

No, \(J\) ne računaš, ampak ga izraziš z \(r\) (razdalja \(d\) je pač enaka \(r\)), kar tudi iščeš. \(J^*\) pa odčitaš iz tabel, npr. tukaj:

https://sl.wikipedia.org/wiki/Vztrajnos ... stih_teles

V tvojem primeru gre za 5. primer: valj (simetrijska os), saj je plošča v osnovi valj, lahko pa iz tabele odčitaš tudi direktno \(J\) - 6. primer: valj (tvorilkina os \(\zeta\)), saj je os \(\zeta\) ravno os, ki leži na obodu valja.

[DirectX11]

Recimo, da imamo zbiralnik vode ki ima na dnu odprtino iz katere izteka voda. Iz fizike vem da je hitrost izteka vode \(v = \sqrt{2gh}\). V drugem primeru pa imam isti zbiralnik z enako odprtino pri katerem plava na gladini lesen splav, katerega površina je enako velika kot površina zbiralnika vode. Npr, da je masa splava \(m = 100 kg\). Ali bi se slednji zbiralnik vode izpraznil hitreje kot prvi? Ker po logiki bi se, saj obstaja še ena sila ki vodo potiska navzdol. Vendar kako to fizikalno izpeljati, ter kako vpliva na enačbo: \(v = \sqrt{2gh}\)?

Aja pa shrink, sedaj ne morem pogledati v nobeno knjigo saj je naloga izmišljena. Le rad bi razumel kako celotni fizikalni ustroj deluje v tem primeru.

Hvala.

[shrink]

Fizikalno je osnova Bernoullijeva enačba:

\(p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^2=\mathrm{~ko nst.}\)

Za svoj problem si kot prvo točko obravnave izbereš gladino vode v zbiralniku in jo recimo označiš z indeksom 1, za drugo točko obravnave pa izbereš odprtino, iz katere izteka voda, in jo recimo označiš z indeksom 2. Za vsako točko nato zapišeš \(p\), \(h\) in \(v\).

1. primer (brez splava):

Točka 1:

\(p_1=p_0\) (zračni tlak), \(h_1=h\) (višina glede na točko 2), \(v_1=0\) (gladina miruje oz. se spušča z zanemarljivo hitrostjo).

Točka 2:

\(p_2=p_0\) (zračni tlak se glede na višino \(h_1=h\) zanemarljivo spremeni), \(h_2=0\), \(v_2=v\) (iskana hitrost iztekanja).

Na osnovi Bernoullijeve enačbe velja:

\(p_1+\rho gh_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\rho gh_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2\)

in z upoštevanjem prej zapisanega sledi:

\(v=\sqrt{2gh}\)

(Torricellijeva enačba)

2. primer (splav mase \(m\) na gladini):

Edina razlika glede na prvi primer je:

\(p_1=p_0+\frac{mg}{S}\),

kjer je \(S\) presek zbiralnika.

Iz Bernoullijeve enačbe sledi:

\(v=\displaystyle\sqrt{2(gh+\frac{mg}{\rho S})}\)

[DirectX11]

Zanimivo, da je v drugem primeru hitrost odvisna tudi od gostote tekočine v prvem pa ne.

Kaj pa če bi potopil telo z maso \(m\). Verjetno to ne bi vplivalo na hitrost izteka ter praznenje zbiralnika. Ali kako drugače? Če računamo še vpliv trenja itd.

[shrink]

Zanimivo, da je v drugem primeru hitrost odvisna tudi od gostote tekočine v prvem pa ne.

Zakaj pa? Podobno je pri padu v gravitavijskem polju s konstantnim \(g\); če predmet med padom z višine \(h\) navzdol potiska sila, ki opravi delo A, je končna hitrost:

\(\frac{1}{2}mv^2=mgh+A\Rightarrow v=\sqrt{2\left(gh+\frac{A}{m}\right)}\).

Ekvivalentna zveza pride v tvojem primeru, če upoštevaš \(\rho S=\frac{m_vS}{V}=\frac{m_v}{h}\):

\(v=\sqrt{2\left(gh+\frac{mgh}{m_v}\right)}\).

Kaj pa če bi potopil telo z maso \(m\). Verjetno to ne bi vplivalo na hitrost izteka ter praznenje zbiralnika.

Premisli, kaj se zgodi z gladino vode, ko potopiš telo v zbiralniku.

Ali kako drugače? Če računamo še vpliv trenja itd.

Trenje in ostale izgube se pač upošteva v opazovani točki 2; npr. tako:

\(p_1+\rho gh_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\rho gh_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+p_{izg}\)

ali

\(\frac{p_1}{\rho g}+h_1+\frac{v_1^2}{2g}=\frac{p_2}{\rho g}+h_2+\frac{v_2^2}{2g}+h_{izg}\)

[bargo]

Kako pa je, če vpeljemo še viskoznost?

Kakor za nateg in stisk, velja tudi za strig Hookov zakon.

[DirectX11]

Premisli, kaj se zgodi z gladino vode, ko potopiš telo v zbiralniku.

Ja, višina se poveča. Ampak, če imamo 100 L vode v zbiralniku, ko potopimo telo, bo še vedno 100 L. Kar pomeni, da bi se izpraznil v enakem času, razen če boš spet dokazal da temu ni tako. Če sklepam, če se višina poveča bi se tudi čas praznenja.

[DirectX11]

Imam sicer, še eno vprašanje: Zakaj je potencialna energija v Bernoullijevi enačbi \(\rho g h\) sicer pa \(mgh\)? Tukaj me bolj specifično zanima podobnost in razlika med maso in gostoto.

[shrink]

Premisli, kaj se zgodi z gladino vode, ko potopiš telo v zbiralniku.

Ja, višina se poveča. Ampak, če imamo 100 L vode v zbiralniku, ko potopimo telo, bo še vedno 100 L. Kar pomeni, da bi se izpraznil v enakem času, razen če boš spet dokazal da temu ni tako. Če sklepam, če se višina poveča bi se tudi čas praznenja.

Čas praznitve nima zveze, govora je o začetni iztočni hitrosti in ta je odvisna od višine (seveda s praznitvijo tudi ta hitrost pada).

Imam sicer, še eno vprašanje: Zakaj je potencialna energija v Bernoullijevi enačbi \(\rho g h\) sicer pa \(mgh\)? Tukaj me bolj specifično zanima podobnost in razlika med maso in gostoto.

To ni potencialna energija, ampak hidrostatični tlak. Drugače je možno enačbo izpeljati iz ohranitve energije fluida in člen \(\rho g h\) pride ravno iz potencialne energije fluida. Bistvena pri izpeljavi je še ohranitev mase oz. masnega toka.

Sama gostota pa je (pri nestisljivem fluidu) zgolj konstanta, ki se je množi s prostornino, da se dobi maso.

[DirectX11]

Čas praznitve nima zveze, govora je o začetni iztočni hitrosti in ta je odvisna od višine (seveda s praznitvijo tudi ta hitrost pada).

Ja ampak višja kot je hitrost, večji je pretok in posledično hitreje se bo izpraznil. Tole izpeljavo sem videl na wikipedi, ko si povedal za Toriccelijev zakon.

\(Q = v A\)

Mogoče bi bilo dobro pokomentirati izpeljavo.

To ni potencialna energija, ampak hidrostatični tlak. Drugače je možno enačbo izpeljati iz ohranitve energije fluida in člen \(\rho g h\) pride ravno iz potencialne energije fluida.

Bi lahko dobil link do izpeljave tega? Ali pa videoposnetek?

[shrink]

Čas praznitve nima zveze, govora je o začetni iztočni hitrosti in ta je odvisna od višine (seveda s praznitvijo tudi ta hitrost pada).

Ja ampak višja kot je hitrost, večji je pretok in posledično hitreje se bo izpraznil. Tole izpeljavo sem videl na wikipedi, ko si povedal za Toriccelijev zakon.

\(Q = v A\)

Mogoče bi bilo dobro pokomentirati izpeljavo.

Pretok nima zveze, če je govora o začetni iztočni hitrosti.

Gornja enačba ni nič posebnega, gre za volumski pretok izražen s hitrostjo in presekom:

\(\Phi_V=\frac{V}{t}=A\frac{x}{t}=Av\).

To ni potencialna energija, ampak hidrostatični tlak. Drugače je možno enačbo izpeljati iz ohranitve energije fluida in člen \(\rho g h\) pride ravno iz potencialne energije fluida.

Bi lahko dobil link do izpeljave tega? Ali pa videoposnetek?

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli ... i_equation

[DirectX11]

To enačbo sem dal kot primer.

No, če gremo zdej na hitrost praznenja in ne izstopne hitrosti. Če potopimo maso v zbiralnik, ali bo se hitreje izpraznil kot zbiralnik brez nje? Kaj pa če imamo splav na vodni gladini?

[shrink]

Seveda se bo hitreje izpraznil, če pa bodo hitrosti iztekanja višje; tudi v primeru splava, saj ti enačba kaže, da je hitrost iztekanja večja kot v primeru brez splava. Za izračun časa iztekanja pa boš moral nastaviti diferencialno enačbo in jo rešiti.