matematika - diferencialne enačbe

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
msenekovic
Posts: 97
Joined: 5.6.2013 21:34

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by msenekovic » 21.6.2013 15:53

K družini parabol Y=Cx2 poišči družino pravokotnih krivulj tako, da najprej prvotni družini krivulj priredimo diferencialno enačbo, nato pa iz dobljene diferencialne enačbe eliminiramo konstanto C(ki jo izrazimo iz prvotne družine parabol) in končno v dobljeni diferencialni enačbi zamenjamo y' z izrazom -1/y'. Rešitev tako dobljene dif. enačbe predstavlja iskano družino pravokotnih krivulj. Kakšni geometrijski objekti so pravokotne funkcije.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 22.6.2013 15:56

msenekovic wrote:Ok, torej kako bi ti odgovoril na to vprašanje:

Vsaka diferencialna enačba 2. reda ni rešljiva.
drži ali ne drži?
Odvisno, kaj mislis s pojmom "resljiva". Pri diferencialih enacbah je itak vecina neresljivih v smislu izrazave z elementarnimi funkcijami - ze zato ker prakticno noben integral, razen tistih, ki jih vidis v soli, ni elementaren. Ampak tukaj gre za tole: saj sinus in kosinus lahko smatras za "neresljivo" dokler ni nekdo rekel "resitvi tele enacbe pa zdaj recemo sinus". In isto lahko naredis za vsako diferencialno enacbo: za vsako lahko reces "resitvi te enacbe recemo pa funkcija blabla" in ce si dovolj popularen bo to funkcijo nekdo dal na kalkulator :) Tako da gre predvsem za to, katere funkcije smatras za znane.

Bolj resno vprasanje je obstoj resitve: http://www-mat.pfmb.uni-mb.si/personal/ ... tencni.pdf

msenekovic
Posts: 97
Joined: 5.6.2013 21:34

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by msenekovic » 22.6.2013 17:21

Ok, kaj pa zgornja naloga.. družina parabol.. bi šlo? :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 22.6.2013 17:29

Ja saj tam je pa ze postopek naveden. Tvoja druzina ima tangente z naklonom y'=2Cx=2y/x (kjer sem uporabil C=y/x^2). Tangente na ortogonalne trajektorije so y'=-x/(2y)
in torej
2ydy=-xdx
y^2=-x^2/2+D
y^2+x^2/2=D
in to so ocitno elipse.

msenekovic
Posts: 97
Joined: 5.6.2013 21:34

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by msenekovic » 22.6.2013 17:41

Tangente na ortogonalne trajektorije so y'=-x/(2y) => tole dobimo zaradi navodila "dobljeni diferencialni enačbi zamenjamo y' z izrazom -1/y'"?

Kako si potem prišel do tega:
2ydy=-xdx
y^2=-x^2/2+D
y^2+x^2/2=D
?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 22.6.2013 17:55

msenekovic wrote:Tangente na ortogonalne trajektorije so y'=-x/(2y) => tole dobimo zaradi navodila "dobljeni diferencialni enačbi zamenjamo y' z izrazom -1/y'"?
Tako je. Pa saj ne rabis navodila za to, saj to ves ze za zvezo med odvodom in normalo na krivuljo. Oziroma zvezo med tangensom in kotangensom.

Potem sem pa samo separiral spremenljivke in integriral.
y'=dy/dx in das vsako spremenljivko na svojo stran.

msenekovic
Posts: 97
Joined: 5.6.2013 21:34

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by msenekovic » 25.6.2013 14:45

kaj pa tale? y'-2y/x=x^4

msenekovic
Posts: 97
Joined: 5.6.2013 21:34

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by msenekovic » 26.6.2013 22:21

Dobro.. homogeni del je rešitev y=Cx^2, torej je nastavek za nehomogeni del y=C(x)x^2.. Kaj pa dalje?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 27.6.2013 1:45

Ma kar ostane je najlazje! Vstavis nastavek nazaj v enacbo in si resen:

y=C(x)x^2
y'=C'(x)x^2+2xC(x)

y'-2y/x=x^4
C'(x)x^2+2xC(x)-2xC(x)=x^4
odstejes, pokrajsas
C'(x)=x^2
C(x)=x^3/3+D
In torej splosna (homogena + partikularna) resitev
y(x)=x^5/3+Dx^2

456
Posts: 10
Joined: 23.8.2013 17:10

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by 456 » 23.8.2013 17:16

kaj pa če gre za družino pravokotnih krivulj: x*y=C ; T(1,1) . V nalogi pa še je dopisano: izračunaj še krivuljo, ki je tangenta in poteka skozi dano točko.

prosim za pomoč:)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 23.8.2013 17:35

Kaj iscemo? Spet ortogonalne trajektorije? V tem primeru postopas tako kot ponavadi. Odvajas:
y+xy'=0
y'=-y/x
za ortogonalne trajektorije velja torej
y'=x/y, od koder predelas na ydy=xdx in torej y^2/2=x^2/2+C, kar so hiperbole, za 45 stopinj zasukane glede na hiperbole originalne druzine.

Tangenta je seveda enostavna, vidis da rabis C=1 da gre skozi, in samo poisces tangento na xy=1, ki znasa x+y=2. Ce mislis tangento na ortogonalno trajektorijo, je pa seveda pravokotna na to, in pride y=x.

456
Posts: 10
Joined: 23.8.2013 17:10

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by 456 » 23.8.2013 18:22

hvala za tako hiter odgovor... kako pa se lotim družine, če je napisana takole: y=C*x^2 ? lahko prosim napišete postopek..? ker, ko izpostavim C in grem odvajat mi ostane C´(x)+.... in mislim, da mi to ne bi smelo..

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 23.8.2013 19:12

Odvajas po x, C ni odvisen od x, je svoja konstanta (parameter druzine). Tako da dobis lepo y'=2Cx, potem se C-ja znebis tako da ga dobis iz originalne enacbe, in dobis y'=2y/x. Potem pa nadaljujes kakor pac zelis.

Ce se hoces izognit temu, da moras C nazaj izrazat, lahko C izrazis ze na zacetku in potem to odvajas - s tem bo C padel stran ze pri odvajanju. V tem primeru:

C=y/x^2
odvajas
0=y'/x^2-2y/x^3
kar je isto kot tisto zgoraj.

456
Posts: 10
Joined: 23.8.2013 17:10

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by 456 » 24.8.2013 9:40

to mi je sedaj jasno.. vendar, če morem napisat družino krivulj...kaj oz katera je splošna oz končna rešitev za oba primera..??

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: matematika - diferencialne enačbe

Post by Aniviller » 24.8.2013 9:45

Ko diferencialno enacbo za ortogonalne trajektorije integriras, dobis integracijsko konstanto, ki sluzi kot parameter druzine.

Post Reply