matematika - diferencialne enačbe

[skrat]

Ne razumem. Na strojni so nas učil nekako takole (povej kje je napaka):
\({y}''-4y=e^{2x}\sin2x\)
Homogeni del:
\(\lambda ^2-4=0\)
\(\lambda ^2=4\)
\(\lambda =\pm 2\)

Homogena rešitev potemtakem: \(y=Ae^{2x}+Be^{-2x}\)
(ne vidim tvoje kompleksne rešitve tukaj ??)

[Aniviller]

Homogeni del je že prav, sklepanje pri partikularnem je narobe.
Kot prvo, najbrž opaziš, da \(e^{2x}\) ni ista funkcija kot \(e^{2x}\sin 2 x\). Drugič, sinus/kosinus kombinacija je izmenljiva s kombinacijo kompleksnih eksponentnih funkcij, preko Eulerjeve identitete \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\). Iz tega vidiš, da se desna stran enačbe res ne ujema z rešitvijo homogenega dela, in hkrati vidiš tudi, zakaj morata kosinus in sinus vedno nastopat v paru! Saj kadar sta sinus in kosinus že rešitvi homogenega dela, je to očitno. Recimo enačba
y''+y=0
vodi v karakteristično enačbo
\(\lambda^2+1=0\)
oziroma
\(\lambda=\pm i\)
in s tem lahko zapišeš rešitev kot
\(y=Ae^{ix}+Be^{-ix}\)
kar lahko premečeš (seveda se ti pomešajo tudi proste konstante) kot
\(y=C\cos x+D\sin x\)

[skrat]

torej \(e^{2x}(A\sin2x+B\cos2x)\) za partikularno.

[Aniviller]

Ja. Saj to hitro vidiš - to je samo nastavek, če je napačen se pač ne izide.

[DirectX11]

Pozdravljeni,

Začel sem reševati diferencialne enačbe. In spoznal sem tudi numerične postopke.

Recimo za NDE:
\(y' + 2xy = 0\) pri \(y(0) = 1\)

Sem dobil rešitev \(ln(y) + x^2 + 1 = 0\)

Z numeričnim postopkom recimo Eulerjeva metoda, dobim rešitev \(y(0.5) = 0.81360384\)

Če vstavim x = 0.5, in y = 0.81360384 v rešitev, ne dobim enako 0. Je to pravilno kar sem naredil?


Hvala.

[Aniviller]

No to zato, ker rešitev ne ustreza robnemu pogoju (daj x=0 in y=1, enačba ne velja). Pri določanju integracijske konstante je šlo nekaj narobe, tista enka bi morala bit ničla. Torej je rešitev \(y=e^{-x^2}\)... no, tudi tukaj je numerična rešitev precej klavrna, predolg korak

[roy33]

Pozdravljeni,
potrebujem pomoč pri reševanju DE:
-y''+xy=\(\lambda\)y, y'(0)=0, y(a)=0.
Hvala,
Lp

[Aniviller]

No, rešitev je Airyjeva funkcija, moraš prepoznat in zapisat kot specialno funkcijo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_function

[DirectX11]

Kako pa lahko dobim zapis iz tega

\(dx = 2y - 1/10y^2 * 1/dy\)

Tako da bo tisti dy na desni strani pomnožen, z desno stranjo, tako da lahko integriram.

[Math Freak]

A je to začetna naloga, ali si do tega prišel z računanjem?

[Aniviller]

Kako pa lahko dobim zapis iz tega

\(dx = 2y - 1/10y^2 * 1/dy\)

Tako da bo tisti dy na desni strani pomnožen, z desno stranjo, tako da lahko integriram.

To nima nikakršnega matematičnega smisla. Diferencialni redi se ne ujemajo (ne levo-desno, ne med členoma na desni). Namig: ko vidiš člen, ki ima diferencial samo v imenovalcu, si najbrž na napačni poti (ali pa vsaj zelo štorast).

[DirectX11]

Hmm.

Tole je začetni problem.
\(y' = 2y - \frac{1}{10}y^2\)

Kot, jaz razumem na začetku ločiš x in y ter integriraš. Razen če se ne da. Potem pa ni separabilna enačba.

[Aniviller]

Seveda se da, samo tisto prej ni imelo dosti veze s temle
\(\frac{dy}{dx}=2y-\frac1{10}y^2\)
\(\frac{dy}{2y-\frac{1}{10}y^2}=dx\)
Zdaj pa integral, na levi parcialni ulomki, pa si tam.