matematika - diferencialne enačbe

[msenekovic]

Kaj pa tale y''+2y'=9x

Rešitev homogenega dela mi je jasna. Kaj pa nehomogeni del. Kakšen je tukaj nastavek?

[Aniviller]

To je pa polinomski primer. Nastavek je ravno tako polinom. Obicajno bi bil nastavek iste stopnje kot desna stran (Ax+B) AMPAK tokrat pa vidis, da ti nicti odvod manjka na levi. Vsak manjkajoc najnizji odvod pomeni, da bo vse za eno stopnjo prevec odvajano, in rabis eno stopnjo polinoma VEC, da prides na isto. Torej, ker je najnizji odvod v sistemu prvi odvod, bo nastavek kvadratne stopnje, torej Ax^2+Bx+C.

Drug nacin je, da si predstavljas menjavo spremenljivke z=y', in potem za z uporabis Ax+B. Potem ko pa ponovno integriras, da iz z dobis y, pa to naraste na 2. stopnjo.

[msenekovic]

Ok, ampak ni nastavek y=x(Ax+B)?

Tako bi naj bilo, ker v tem primeru 0 je ničla karakteristične enačbe => končna rešitev bi naj bila y=C1e^(-2x) + C2 + 9x^2/4 - 9x/4

Ali si mi to razlagal s tem z-jem? Ali sta pravilna oba načina?

[Aniviller]

Ja saj to je vkljuceno v resitev. Ce das nastavek Ax^2+Bx+C bo ravno tako kvadraticni nastavek kot x*(Ax+B), s tem da bo pac C kot prosti clen ostal notri - kot resitev homogenega dela.

Vedno, ko ti manjkajo najnizji odvodi, lahko menjas spremenljivko na najnizji obstojeci odvod in s tem znizas red enacbe in potem resis tisto in integriras da prides nazaj do resitve.

[msenekovic]

Ok, kaj pa če naloga še zahteva začetne pogoje y(0)=1, y'(0)=2 ?

[Aniviller]

Ja potem pa iz tega dolocis proste konstante. Vstavis nastavek in dobis enacbe pred prostimi konstantami (ena je tisti prost C, druga je tista, ki stoji pred eksponentnim homogenim clenom).

[msenekovic]

Ne razumem..

A ne vstavim tega v končno rešitev?

[skrat]

Seveda, z nastavkom prideš najprej do homogene in do partikularne rešitve diferencialne enačbe. Tvoja rešitev, ki jo iščeš je seveda vsota obeh ampak vsaka izmed njih pa ima še svojo konstanto, le to pa določiš tako da upoštevaš začetne pogoje. (ko upoštevaš začetne pogoje, dobiš običajno dve enačbi z dvema neznankama - no odvisno koliko je konstant)

[msenekovic]

In kako izgleda nastavek za npr. homogeni del v tem primeru?

[Aniviller]

No homogena resitev je
\(y=C+De^{-2x}\)
partikularna resitev je
\(y=\frac{9}{4}(x^2-x)\)
Skupaj torej
\(y=\frac{9}{4}(x^2-x)+C+De^{-2x}\)
Pogoj y(0)=1 torej pride
\(1=C+D\)
pogoj y'(0)=2 pa: najprej izracunas odvod
\(y'=\frac{9}{4}(2x-1)-2De^{-2x}\)
vstavis x=0 in y'=2
\(2=-\frac{9}{4}-2D\)
Zdaj to dvoje skombiniras da dolocis D in C.

[msenekovic]

Kaj pa tale y'+yx=x

Je z ločljivimi spremenljivkami ali je linearna?

dejansko jo lahko ločimo na dy/1-y = x dx ?

Ali jo lahko rešujemo na oba načina?

[Aniviller]

Seveda jo lahko resujes na oba nacina. Pa ne samo 2 - pristopov do diferencialnih enacb je veliko. Ni vazno kako prides do rezultata, ce uganes pac uganes

[msenekovic]

Ok
Ampak npr. vsaka DE 2.reda pa ni rešljiva?

[Aniviller]

No "resljiva"... lahko se zdi, da resitev ni izrazljiva z analiticnimi funkcijami... lahko je izrazljiva kot integral ki ga ne znamo izrazit, ali pa v je treba numericno napadat.... ampak resitev pa obstaja

[msenekovic]

Ok, torej kako bi ti odgovoril na to vprašanje:

Vsaka diferencialna enačba 2. reda ni rešljiva.
drži ali ne drži?