Funkcije več spremenljivk

[msenekovic]

Najprej malo teorije:

Parcialni odvod xna 3 + xyna 3 po y ?
dU(x^3+xy^3)/dy => je to pravilno zapisano?

Vsi parcialni odvodi sode stopnje funkcije F(x,y)=xna kvadrat ena –y po y so enaki funkciji F(x,y)? Da, ne, ne moremo soditi?

f(x,y)=xna kvadratyna kvadrat – xy je primer, da sta mešana odvoda 2.reda različna? Da ali ne? Jaz mislim da sta enaka. V obeh primerih dobiš 4xy - 1?

[skrat]

če je tvoja funkcija \(U(x,y)=x^{3}+xy^{3}\) se njen parcialni odvod zapiše kot \(\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}\) ali \(\frac{\partial (x^{3}+xy^{3})}{\partial y}\). Z \(\frac{\mathrm{d} U(x,y)}{\mathrm{d} x}\) se običajno označi totalni odvod in ne parcialni.

Če prav razumem tvojo funkcijo, \(F(x,y)=x^2(1-y)\) je njen prvi parcialni odvod \(\frac{\partial (x^{2}(1-y))}{\partial y}=-x^{2}\). Vsi nadaljni so nič.

Odvoda sta enaka. Ne misliti, izračunaj ju in boš videl da sta enaka.

[Aniviller]

Za "lepe" funckije (analiticne - zvezne, lepo odvedljive), so mesani odvodi vedno komutativni - neodvisni od vrstnega reda. Ce ima pa funkcija kaksne trapaste lastnosti v kaksni izolirani tocki (to zelo hitro opazis), pa se lahko zgodi, da nista enaka.
Za polinome to vedno velja.

[msenekovic]

Pa sem ju pravilno izračunal? 4x-1? Mešana odvoda funkcije f(x,y)= x^2y^2-xy?

Ni mi jasno pri mešanih odvodih, ali se odvaja vsaka spremenljivka?

Kako je npr. pri tej funkciji f(x,y) = x^2y^3 ?

[Aniviller]

No, en y si izpustil, najbrz po pomoti:
\(f(x,y)=x^2y^2-xy\)
\(f_x(x,y)=2xy^2-y\)
\(f_{xy}(x,y)=4xy-1\)

Saj ni nic drugace. Najprej odvajas po enem in potem se po drugem. Pri vsakem odvajanju ostale spremeljivke obravnavas kot konstante. Mesani niso nic drugacni v tem. Pac po vrsti odvajas (in vrstni red niti ni vazen, v primeru da se funkcija obnasa lepo).

Za f(x,y)=x^2y^3:
odvajas parcialno po x:
\(f_x=2xy^3\)
pa se po y:
\(f_{xy}=6xy^2\)
Oziroma lahko obrnes:
\(f_y=3x^2y^2\)
\(f_{yx}=6xy^2\)

[msenekovic]

6xy^2 sta mešana parcialna odvoda drugega reda?

Pri tej funkciji naj ne bi bila enaka?

Mi lahko podaš primer, kjer sta mešana odvoda drugega reda različna?

[skrat]

6xy^2 sta mešana parcialna odvoda drugega reda?

Da.

Pri tej funkciji naj ne bi bila enaka?

Če govorimo o isti funkciji (\(f(x,y)=x^2y^3\)), potem žal, sta mešana odvoda ista.

Mi lahko podaš primer, kjer sta mešana odvoda drugega reda različna?

\(f(x,y)=x^2y^3+y^2\)

ps.: Zanimivo mi je, da uporabljaš izraz "mešana parcialna odvoda drugega reda", ne vem če je to ravno dober izraz za to kar hočeš povedat. Funkcija dveh spremenljivk je v primeru mešanega odvoda sicer res dvakrat, odvajana, ampak ponavadi se reče parcialni odvod funkcije f po spremenljivki x in y (ali y in x) ali pa na kratko mešani odvod in je to to. Razen če imaš v mislih funkcijo odvajano dvakrat po x in dvakrat po y?

[msenekovic]

Mešani odvod sem imel v mislih..

[msenekovic]

Izračunajte in določite ekstreme funkcije f(x,y) = x^2+y^2+xy-2x-y

[Aniviller]

tudi x^2y^3+y^2 bo imela mesana odvoda enaka. Zelo se moras potrudit, da najdes funkcijo, ki ima razlicna. Sigurno ne sme bit polinom ali karkoli lepega. Wiki ti da primer patoloske funkcije, ki v eni tocki tega ne spostuje:
http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_o ... erivatives

Nova naloga: daj to bos pa ze resil, saj je navaden potlacen paraboloid. Itak ves da vec kot en ekstrem ne more bit, ker je odvod linearna funkcija. Evo
fx=2x+y-2=0
fy=2y+x-1=0
in to razresis in dobis
x=1, y=0
Hessejeva matrika pride
2 1
1 2
in to ima lepo pozitivne lastne vrednosti, se pravi imas opravka z maksimumom (po pozitivnosti x^2 in y^2 clenov ves da minimum ne more bit, lahko bi bilo pa sedlo, ce bi bil xy clen dovolj velik).

[msenekovic]

Kaj samo en kandidat je x=1 in y=0?

[Aniviller]

Seveda. Paraboloid ima samo en minimum. Saj je samo ena velika parabolicna skleda. To skoraj po definiciji velja, kvadratna funkcija je prva ki ima sploh ekstrem, in celo kvadratna funkcija je tisto, kar je pri razvoju v okolici ekstrema dober priblizek sklede.

[msenekovic]

Koliko je potem ta tocka za ekstrem? 2,1?

[Aniviller]

Ja (1,0) vendar.

[skrat]

tudi x^2y^3+y^2 bo imela mesana odvoda enaka. Zelo se moras potrudit, da najdes funkcijo, ki ima razlicna. Sigurno ne sme bit polinom ali karkoli lepega. Wiki ti da primer patoloske funkcije, ki v eni tocki tega ne spostuje:
http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_o ... erivatives

Res je ja vzamem nazaj to napisano bedarijo. -.-