2 Nalogi iz klasične mehanike

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Post Reply
repsag
Posts: 15
Joined: 16.1.2013 5:09

2 Nalogi iz klasične mehanike

Post by repsag » 26.6.2013 23:57

Lp,
zanimata me dve nalogi iz klasične mehanike in sicer;
1) Po žičnem vodilu, katerega obliko podaja zveza \(z=a(1+cos(kx^2))\), brez trenja drsi drobna utež mase m. Skiciraj obliko vodila ter zapiši Lagrangeovo funkcijo in enačbe, poišči stabilne ravnovesne lege ter izračunaj frekvence pripadajočih majhnih nihanj.

Prosil bi predvsem za pomoč pri Lagrangeovi funkciji. Sam sem se lotil kar tako, da sem zapisal kinetično energijo kot \(T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{z}^2)\). In tu sem že naletel na prve težave, saj dobim časovni odvod z-ja zelo grd. Potencialno energijo pa sem zapisal kot \(V=-mgz=-mga(1+cos(kx^2))\)

2) Pri mini golfu se luknjica premera 2R nahaja v središču lijaka, ki ga opišemo z zvezo \(z=-\alpha r^{-1}\) ; \(\alpha > 0\). Tu je r oddaljenost od središča luknjice. Luknjico ciljamo z velike razdalje l, pri čemer žogico sunemo z začetno hitrostjo \(v_0\). Za kolikšen kot glede na smer proti središču luknjice smemo zgrešiti, da bo žogica še zadela? Namig; Žogico obravnavaj kot točkasto telo in upoštevaj, da je vzpetina blaga t.j. hitrost žogice v navpični smeri lahko zanemariš.

Pri tej nalogi pa se mi samo dozdeva, da gre verjetno za nekaj v povezavi s sipalnimi preseki.

Hvala za pomoč.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: 2 Nalogi iz klasične mehanike

Post by Aniviller » 27.6.2013 1:55

1) Glede na grdoto potenciala ne more biti kineticni clen pretirano lep :) Si na pravi poti.
\(\dot{z}=-2akx \sin kx^2\, \dot{x}\)
\(\dot{x}^2+\dot{z}^2=\dot{x}^2(1+4a^2k^2 x^2 \sin^2 kx^2)\)
Pri majhnih amplitudah se to kaj dosti pozna - drugi clen je popravek zaradi vertikalne hitrosti (kot variacija mase), in ne more biti lep. Je pa tako da niti ni treba resevat tega. Naloga sprasuje po ravnovesnih legah (kineticni del=0, isces minimume potenciala, kar je trivialno resljivo, saj ves da mora biti argument kosinusa oblike pi+2*k*pi), za majhna nihanja pa je tudi treba razvit samo potencial, saj se (z')^2 pozna samo kadar je si na klancu, v minimumu pa klanca ni.
2) No, je sorodno s sipanjem ampak ti samo gledas katere orbite pridejo blizje od 2R od sredine. Gre za navaden keplerjev problem, saj imas 1/r potencial in zanemarjen tisti zoprni vertikalni clen ki ga imas pri prvi nalogi. Enostavno poracunaj z ohranitvijo vrtilne kolicine in energije, na koliko se najbolj priblizas luknji (rocica*hitrost=rocica*hitrost in T+V=T+V).

repsag
Posts: 15
Joined: 16.1.2013 5:09

Re: 2 Nalogi iz klasične mehanike

Post by repsag » 27.6.2013 2:55

Prvo nalogo sem dobil enako in sem mislil, da to pa ne more bit prav :D
Hvala za obrazložitev nalog.

Post Reply