Sistem dif. enačb

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Pawn
Prispevkov: 1
Pridružen: 20.8.2013 17:29

Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a Pawn »

Gre za nalogo n z vzmetmi povezanih kroglic. Na prvo vsiljujemo nihanje. Zadnja pa je v viskozni tekočini. Zanima nas gibanje/ nihanje zadnje.

Imam sklopljen sistem n diferencialnih enačb oblike:

Slika

Slika

i = 2, 3, ... n-1

Slika

Problem je pa lotevanje tega sistema. Nimam pojma kje začeti. Hvala za odgovor.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Stvar lahko obravnavas kot obicajno neskoncno verigo. Za tako verigo so resitve stojeci in potujoci valovi (v limiti dolgih valov in velikega n je itak isto kot struna). Zato lahko poskusis z nastavkom
\(x_n=e^{i\omega t}(A_1 e^{ikj}+A_2 e^{-ikj})\)
kjer je j indeks kroglice med 0 in n-1 (nocem i, ker i je ze imaginarna enota).
Ce to vstavis v enacbo za katerikoli izmed srednjih kroglic, dobis obicajno zvezo med k in omega, ki definira hitrost valovanja (v enacbi so se neki kosinusi in hitrost ni neodvisna od frekvence, ker imas koncne diference namesto odvodov). Potem imas samo diskretno struno z dvema robnima pogojema in neznanima A1 in A2 (ki sta v splosnem kompleksna).

ww2
Prispevkov: 3
Pridružen: 21.9.2013 23:01

Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a ww2 »

Kako se lotiš reševanja takšnega sistema DE?
\(\ddot{\vec{x}}+A \vec{x}=const.\), kjer je \($\vec{x}=
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}
\end{bmatrix}
$\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Diagonaliziras matriko A (razcepis na \(A=PDP^{-1}\)), Mnozis diferencialno enacbo s \(P^{-1}\) in uvedes novo spremenljivko \(\vec{y}=P^{-1}\vec{x}\). Vse postane diagonalno in sistem torej razpade na same neodvisne diferencialne enacbe, ki jih vsako posebej lahko resis. Potem samo koncni vektor y nazaj mnozis z x da "pomesas" lastne nacine gibanja (lastna nihanja recimo spadajo sem).

ww2
Prispevkov: 3
Pridružen: 21.9.2013 23:01

Re: Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a ww2 »

A ne množiš na koncu vektor y z P da dobiš vektor x?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja ja samo napisal sem narobe. Saj vidis kaj mislim :)

ww2
Prispevkov: 3
Pridružen: 21.9.2013 23:01

Re: Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a ww2 »

;) Hvala za pomoč!

brko
Prispevkov: 35
Pridružen: 8.5.2013 14:52

Re: Sistem dif. enačb

Odgovor Napisal/-a brko »

\(\dot{x}=-2x+y+5sint\) in \(\dot{y}=x-2y+3\), kjer velja \(x(0)=y(0)=1\)

Amm, eno vprašanje, to se sicer da rešit tako da iz druge enačbe izrazim x, ga nesem v prvo in dobim neko enačbo pa repšujem. Okej super. Ampak, se da to tešit tudi z matrikam?

\(\begin{bmatrix}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 1\\
1& -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
5sint\\
3
\end{bmatrix}\)


Če poiščem lastne vrednosti matrike, je potedm diagonalna matrika \(D=\begin{bmatrix}
-1 &0 \\
0& -3
\end{bmatrix}\)
in matrika lastnih vektorev \(P=\begin{bmatrix}
1 &-1 \\
1& 1
\end{bmatrix}\)
.

Če bi bili enačbi homogeni, bi bila rešitev oblike \(\vec{r}=Pe^{Dt}\vec{c}\) kjer je c vektor nekih konstant.. No, moje vprašanje je kako, če sploh kako, upoštevam zdej še tistih +5sint in +3 v obeh enačbah če računam z matrikicam? Se to sploh da?

Odgovori