Teorija - matematika 2 (kemija)

[Fluorine]

Prosil bi za pomoč pri 4-ih nalogah z teoretičnega dela izpita pri matematiki 2 za kemike. Morda se zdijo zelo enostavne, ampak meni ne potegnejo. Gre mi pa za nohte, ker bom moral ustno odgovarjati naslednji teden pri precej zahtevnem profesorju.


1. Poiščite splošno rešitev DE y˝ + 16y = sin(4x)

Gre za DE drugega reda s konstantnimi koeficienti. Tu znam rešiti homogeni del, ampak ne znam ugotoviti nastavka za nehomogeni del (partikularno rešitev) in računanja dalje.


2. Napišite enačbo ravnine, ki gre skozi izhodiščce in je vzporedna neničelnima vektorjema a in b. Kako lahko izračunamo razdaljo točke s krajevnim vektorjem c
od te ravnine?

Tukaj mi skoraj nič jasno, razen da je n = a x b.


3. Naj bo A = [1 2 0 ... 2 0 1 ... 0 1 2] (matrika). Izracunajte A^2 ter lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A^2.

A^2 je seveda navadno množenje, lastne vektorje dobim, ko v determinanti matrike A^2 odštejem po diagonali λ in enačim determinanto nič. Dobljene λ iz polinoma so lastne vrednosti. Kako pa določim iz tega lastne vektorje?


4. Katera tocka na ploskvi x^2 - xy + y^2 + z ^2 = 1 je najbližje in katera najdlje od koordinatnega izhodišča? (Odgovor utemeljite.)

Verjetno gre za vezani ekstrem, kjer je funkcija oddaljenost od koordinatnega izhodišča: d=(x^2 + y^2)^1/2, vez oz. pogoj je pa ploskev x^2 - xy + y^2 + z ^2 = 1? Torej napišem F(x,y,λ)= (x^2 + y^2)^1/2 + λ(x^2 - xy + y^2 + z ^2 - 1). Potem računam Fx in Fy in ju enačim z nič. Razmišljam prav? Kako naprej?


Najlepša hvala za pomoč!

[Aniviller]

1) To je eden tistih primerov, ko je desni del ze resitev homogene enacbe. V ostalih primerih bi bil nastavek A*sin(4x)+B*cos(4x). V tem konkretnem primeru pa das spredaj se en x: A*x*sin(4x)... Podobno je pri eksponentnih ko das x*exp(k*x)
2) Razdalja od ravnine je kar projekcija krajevnega vektorja na normalo ravnine (normirano). Torej, \(\vec{n}\cdot\vec{c}/||\vec{n}||\)
3) Za matriko M (pri tebi M=A^2) so lastni vektorji resitve enacbe \((M-\lambda I)\vec{x}=0\).
4) Razmisljas prav, s tem da si po nepotrebnem grenis zivljenje s korenom. Ce je ekstrem v razdalji je v kvadratu razdalje tudi. Pa za 3D imas razdaljo x^2+y^2+z^2 (z ti manjka).

[Fluorine]

Najlepša hvala za pomoč. Prvi dve nalogi sta sedaj popolnoma jasni. Bi pa lepo prosil za podrobnejšo razlago za 3. in 4. nalogo.

Pri tretji nalogi sem dobil lastni vrednosti 3 in 9, in potem reševal matrike. Na koncu sem napisal dva vektorja, za 3: (-y-z,y,z) in za 9: x(1,1,1), vendar je profesor rekel, da še nekaj manjka, a mi ni jasno kaj. Navodila so točno takšna kot v prvem postu.

Pri četrti bi pa prosil vsaj malce postopka, ker smo vezane ekstreme vzeli le na predavanjih, na vajah pa ni bilo časa za reševat. Še rečeno je bilo, da ne bo tega na izpitu

[Aniviller]

Tretja:
Ja to kar si dobil ima notri se proste parametre. Lastni vektorji so se vedno lastni vektorji ce jih mnozis s konstanto, tako da se lahko za konstanto odlocis (vcasih se jih kar normira). Tvoj prvi izraz (-y-z,y,z) ima kar dva prosta parametra in pokriva torej celo ravnino moznosti (dva lastna vektorja). Pises lahko y*(-1,1,0)+z*(-1,0,1).

Diagonalizabilne matrike (malo poglej kaj to pomeni), ima vedno toliko lastnih vektorjev in lastnih vrednosti kot je dimenzija matrike. Lahko je kaksna lastna vrednost veckratna, ampak ima potem tudi vec lastnih vektorjev (ce ne se jo ne da diagonalizirat).

Cetrta:
Zelo enostavno. Od postavitve funkcije naprej nadaljujes kot za vsak drug ekstrem: odvajas po vseh spremenljivkah in izenacis nic. Notri v enacbah ti zdaj stoji se neznani Lagrangeov multiplikator, ampak nic hudega, saj imas tudi eno enacbo vec: vez tudi velja. Imas torej 4 enacbe:
dF/dx=0
dF/dy=0
dF/dz=0
vez=0
in 4 neznanke: x,y,z,lambda. Potem je samo se racunska spretnost kako to resit.

[Fluorine]

Super razloženo, hvala! Sedaj večino stvari razumem, samo te naloge so mi ostale, ki me še mučijo in se jih ne znam lotit. Vektorskih prostorov in podprostorov pa sploh ne dojamem oz. ne razumem in resnici na ljubo, nimam dovolj časa, da bi se poglobil. Prosil bi za krajšo razlago pri nalogah.


1. naloga:
(i) Kako je definiran vektorski podprostor v R^n?

(ii) Naj bo A dana n x n realna matrika, b element R^n dani stolpec, Sb pa mnozica vseh tistih stolpcev x element R^n, ki zadoscajo pogoju Ax = b. Pri katerem b natancno je Sb vektorski podprostor v R^n?

(iii) Ali je mnozica V = {x element R^n : Ax = 2x} vektorski podprostor v R^n, kjer je A dana n x n matrika? Kako lahko s pomocjo determinante povemo kriterij, da bo V =/= {0}?

2. naloga:
Iz plocevine z dano povrsino S zvijemo posodo v obliki valja (brez zgornje ploskve). Koliksna morata biti polmer in visina valja, da bo prostornina (pri dani povrsini) najvecja?

3. naloga:
Naj bo A n x n matrika, b element R^n pa stolpec. Pri katerem b je mnozica vseh resitev x sistema enacb Ax = b vektorski podprostor v R^n? (Odgovor utemeljite.)

(Vem, da je naloga podobna prvi (ii), vendar ne vem, če je isto.)

4. naloga:
Med vsemi trikotniki z oglisci na elipsi (x^2)/2 + y^2 = 1, ki imajo eno stranico vzporedno z abscisno osjo, poisci tistega z najvecjo ploscino. (Najprej opazi, da
mora biti eno oglisce v tocki (0,1) (ali pa v (0,-1)), da bo visina najvecja. Drugi dve oglisci sta potem v tockah (x, y) in (x,-y), pri cemer (x^2)/2 + y^2 = 1.)

5. naloga:
Koliko je lahko (a,b,c) (mesani produkt), ce so a, b in c paroma pravokotni vektorji z dolzino 1?


Najboljši ste

[Aniviller]

1)
Prostor vektorjev iz R^n, ki tudi sam zadosca aksiomom vektorskega prostora. Torej: vsebuje izhodisce (vektor 0), in vsaka linearna kombinacija vektorjev iz prostora mora biti tudi del prostora. Prakticno si lahko v prostorih predstavljas, da so to premice, ravnine,.... velikost baze tega prostora ti pove dimenzijo (in je manjsa ali enaka n: enaka, ce je ta podprostor kar cel prostor).

2) Kot prvo, ce hoces vektorski prostor, mora 0 bit resitev enacbe, torej mora bit b=0. To je takoj jasno. Potem tudi ostalo velja (homogena enacba ima resitve, ki tvorijo vektorski prostor: ce je x resitev, je a*x tudi resitev za vsak a,... imas bodisi trivialno resitev x=0 ce je matrika A polnega ranga, ali pa nesteto resitev, ce je matrika degenerirana).

3) Obrnes enacbo v (A-2)x=0. Vidis, da je to v vsakem primeru vektorski prostor, ker je enacba homogena (po prejsnji nalogi). Prav tako po prejsnji nalogi vidis, da bo prostor imel dimenzijo vec od 0 samo, ce je matrika degenerirana, torej ce je det(A-2)=0. Ce pogledas enacbo, itak vidis da je to iskanje lastnih vektorjev, in ce je 2 lastna vrednost matrike A, potem je resitev prostor, ki ga napenjajo lastni vektorji.

2) Tukaj samo zapises vezan ekstrem. Ploscina je \(P=\pi r^2+2\pi r h\), kar je vez, volumen pa \(\pi r^2 h\), kar maksimiziras. Lahko resujes z Lagrangeovimi multiplikatorji, je pa problem dovolj enostaven, da lahko h kar izrazis iz ploscine eksplicitno, vstavis v volumen, in potem je vez sama po sebi ze upostevana in samo se maksimiziras po r.

3) isto je

4) Glavni razmislek so ti ze povedali. Precej grdo bi bilo, ce bi moral ekstrem racunat po TREH tockah. Obupno Tako imas pa samo spremenljivki (x,y) ki živita na vezi (elipsi). Trikotnik je enakokrak, enostavno je zapisat ploscino. Nadaljujes kot obicajno.

5) Paralelopiped s pravokotnimi enako dolgimi stranicami je kocka Volumen tega je 1. Dobis lahko tudi -1, ce je vrstni red a,b,c tak, da tvorijo levosucni koordinatni sistem.

[Fluorine]

Odlicno, hvala! Upam, da uspe jutri.

Poskusam razumet, si predstavljat te prostore in podprostore pa mi nekako ne uspeva. Sta prostor in podprostor povezana pojma v smislu npr. V je podprostor prostora U, in sta s tem nekako povezani tudi razseznosti itd.? Ali je podprostor in prostor enako, le da je se ena lastnost vec potrebna, torej linearna kombinacija vektorjev? Torej, ce mas prostor U, ki je mnozica zaprta za sestevanje in mnozenje s skalarji IN se linearno kombinacijo vektorjev, je to kar podprostor, cetudi nimas nekega "nadprostora"?

Potem je ubistvu vsak prostor tudi podprostor? Ali je podprostor enak prostoru po lastnostih, le obseg smo mu zmanjsali?

Ta predpona pod- me zmede, ker nakazuje kot da je to neka podmnozica.

Upam, da nisem prevec zakompliciral

[Aniviller]

Ja, podmnozica je. V bistvu je cisto dobesedno poimenovano. Vektorski podprostor je vektorski prostor, ki je del večjega (ali v skrajnem primeru enakega) prostora. V stilu: v 3D prostoru (recimo da so naši vektorji kar krajevni vektorji točk v prostoru, da si je lažje predstavljat) je vsaka ravnina skozi koordinatno izhodisce 2D podprostor, in vsaka premica skozi izhodisce 1D podprostor. Podprostor je sam zase čisto legalen in polnopraven vektorski prostor: če izbereš ravnino v prostoru, na njej lahko zganjaš vse 2D vektorske zadeve. En tak enostaven primer podprostora je kar to, da samo par komponent vektorja odrežeš stran (delaš v projekciji, recimo na ravnini z=0).

Vektorski prostor je linearen prostor, vsote in produkti s skalarji (raztegi) morajo bit tudi v prostoru. Tako da to so vedno (v smislu prostorskih točk) premice, ravnine, 3D prostori, 4D hiperprostori,... skozi izhodišče (vektorskega prostora pač ni brez nevtralnega elementa).

[Fluorine]

Najlepša hvala za obširnejšo razlago, sedaj mi je precej bolj jasno vse skupaj. Cheers

[konestabos13]

Zdravo

Sicer tole niso ravno teoritečne naloge, a bi prosil za malo pomoči pri njih Sem ravno tako študent kemije in imam nekaj težav pri nalogah iz matematike 2.
Tule je nekaj primerov nalog.
1. Točko T (1,1,1) prezrcali čez premico p: x/2=y-3=z/2.
2. premico p: (x-1)=(y+1)/-1, z=2 zrcalimo čez ravnino 2x+y.
3. Dana je premica p: (x+1)/2=y+2=(z-1)/-2,
Določi enačbo premice q, ki seka p pod pravim kotom in gre skozi točko A (2,1,1)

Med reševanjem teh nalog vedno nekje med potekom storim napako in me res zanima, če je težava pri mojem računanju ali v tem da že v osnovu narobe rešujem te naloge. Že vnaprej se zahvaljujem za pomoč

[Aniviller]

Zapiši v vektorski obliki...
1.
Premica se glasi
\(\vec{r}=\vec{r}_0+t\vec{s}\) kjer \(\vec{r}_0=(0,3,0)\) in \(\vec{s}=(2,1,2)\). Smerni vektor \(\vec{s}\) se splača normirat, da ne bo treba stalno z normo delit. Normiranega bom označil s \(\hat{s}\).

Cel koordinatni sistem bova premaknila tako, da bo šla premica skozi izhodišče. Potem prezrcališ in prestaviš nazaj. Prvi korak je torej
\(T'=T-\vec{r}_0\)
V drugem koraku ugotoviš, da je projekcija točke na premico \((\hat{s}\cdot T')\hat{s}\). Vektor od projekcije do dejanske točke je \((\hat{s}\cdot T')\hat{s}-T'\). Zrcaljenje razumeš kot to, da štartaš na projekciji... in greš v nasprotno smer kot bi šel do originalne točke. Torej
\(T''=T'-\left[(\hat{s}\cdot T')\hat{s}-T'\right]=2T'-(\hat{s}\cdot T')\hat{s}\)
Zdaj nazaj prestaviš za tisti original premik:
\(T'''=T''+\vec{r}_0\)

2. V prvem koraku spet zapišeš premico v vektorsko obliko, z izhodiščem \(\vec{r}_0\) in normiranim smernim vektorjem \(\hat{s}\). Ravnino zapiši z normalo \(\vec{n}=(2,1,0)\), ki jo tudi normiraj. Zrcaljenje čez ravnino pomeni (podobno kot prej) odštevanje dvakratne projekcije na normalo. Zrcaliti premico pomeni zrcaliti izhodišče:
\(\vec{r}_0'=\vec{r}_0-2(\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}\)
in zrcaliti smerni vektor:
\(\hat{s}'=\hat{s}-2(\hat{n}\cdot\hat{s})\hat{n}\)

3. Premica q seka p pod pravim kotom in gre skozi A.Torej je presečišče p in q kar projekcija A na premico p! S tem veš, da gre premica q skozi A in projekcijo A na p, s čimer je premica povsem določena!

[konestabos13]

Res hvala za pomoč, a še vedno ne razumem najbolje vsega. Da si razjasnim pojme bi vpršalal kaj pomeni da vektor normiraš (izračunaš dolžino tega vektorja?).

[Aniviller]

Deliš ga z dolžino, da dobiš enotskega. Tako da skalarni produkt s tem vektorjem potem dejansko da dolžino projekcije. No, ali pa če vsakič ko projeciraš ročno deliš z dolžino

[konestabos13]

Hmm jaz to vse skupaj poskušam rešiti vendar dobivam napačne rezultate. Lepo bi prosil, če bi mi lahko tole razložil z najlažjim postopkom ter da bi kar poračunal s številkami vse skupaj Sicer opažam da sem pri drugi nalogi objavil napačne podatke (z=0, ravnina je 2x+y=0). Sicer zrcaljenje ćez ravnino mi ne dela nobenih težav, pri zrcaljenju čez premico pa ne dobim in ne dobim pravilnega rezutata. Res najlepša hvala za trud!
Rezultati pa so sicer:
1. T = (-1/9,49/9,-1/9)
2. x=y/-7, Z=0
3. x-2=(y-1)/2=(z-1)/2

[Aniviller]

No pri prvi sem zasral predznak in pol ostalega. Se opravičujem. Vektor od projekcije do točke je \(T'-(\hat{s}\cdot T')\hat{s}\) in potem seveda PROJEKCIJI (kot sem napisal) prišteješ ta vektor v nasprotni smeri. Nekako mi je ratalo T' in projekcijo zamenjat ko sem pisal kodo. Torej
\(T''=(\hat{s}\cdot T')\hat{s}-\left[T'-(\hat{s}\cdot T')\hat{s}\right]=2(\hat{s}\cdot T')\hat{s}-T'\).
Zdaj pa bo.
\(\hat{s}=(2/3,1/3,2/3)\)
\(T'=(1,1,1)-(0,3,0)=(1,-2,1)\)
\(T''=2(2/3)(2/3,1/3,2/3)-(1,-2,1)=(-1,22,-1)/9\)
\(T'''=(-1,22,-1)/9+(0,3,0)=(-1/9,-49/9,-1/9)\)

Sicer pa sledenje postopku res ne bi smel bit problem, saj imaš vse izpiseno.

Poskusi napisat kaj dobiš in kje se zatakne.