Vektorji

[mtalaq]

1. V pravilnem tetraedru ABCD označimo s PQRS razpolovišča stranic AB,BC,CD,DA.
Dokažite, da vektor PQ je pravokoten na QR.
2. Za vektorja a,b velja |a|= 6, |b|=5 in kot med njima je \(\pi\)/6. Z uporabo vektorskega produkta izračunajte ploščino trikotnika, ki ga določata vektorja 2a-b in a+3b

[Aniviller]

1. Izberi bazo (recimo a=AB, b=AC, c=AD), izrazi PQ in QR, in izračunaj skalarni produkt.
2. Zapiši ploščino z vektorskim produktom, uporabi distributivnost (razbij na vsoto), in vse izrazi z a x b. Potem je rezultat na dlani.

[mtalaq]

Mi lahko prosim prvo malo podrobneje razložiš.

[Aniviller]

Dajva A v koordinatno izhodišče. Potem postaviš bazo a=AB, b=AC, c=AD kot bazne vektorje, s katerimi opišeš kar hočeš. Recimo
B=A+AB=A+a
P=(A+B)/2=A+a/2
C=A+AC=A+b
Q=(C+B)/2=A+(a+b)/2
D=A+AD=A+c
R=(C+D)/2=A+(b+c)/2
S=(A+D)/2=A+(a+c)/2

PQ=Q-P=A+(a+b)/2-(A+a/2)=b/2
QR=R-Q=(c-a)/2

Vidiš da si izrazil z b=AC in c-a=BD, ki pa sta itak pravokotna v pravilnem tetraedru.

Celo stvar lahko rešiš tudi na standardnem primeru tetraedra. Najbolj enostavno si je zamislit tetraeder kot
A=(1,1,1)
B=(1,-1,-1)
C=(-1,-1,1)
D=(-1,1,-1)
Po domače: tri enke, pri ostalih pa po dva v minus daš. Pol lahko na teh direkt zračunaš. Sicer je to sam en primer pravilnega tetraedra ampak itak so razlike sam v rotacijah in povečavah.

[mtalaq]

Vidiš da si izrazil z b=AC in c-a=BD, ki pa sta itak pravokotna v pravilnem tetraedru.

Ravno to me zanima, če to potrebno dokazovati z računom (da si izmisliš tetraed) ali je do tu dovolj?

[Aniviller]

Ja nekje moraš uporabit podatek o pravilnem tetraedru. Jaz bi pravokotnost nasprotnih stranic smatral za očiten podatek, saj ga dobiš iz simetrije. Matematično je kvečjemu bolj barbarsko da si kar enega izmisliš in številsko računaš... imajo raje simbolične dokaze.

[mtalaq]

Hvala za odgovre! Lahko še potrdiš da je to pravilna nastavljena enačba.
\((2a-b) x a +(2a-b) x 3b=2a x b-b x a+2ax3b-bx3b=...\)

[Aniviller]

p.s. \times
Sicer je ok. V naslednjem koraku itak padeta dva člena stran, pa vrstni red lahko mal obračaš (z dodatnim minusom) da potem vse postane en sam člen.

[mtalaq]

Aha hvala, sem iskal znak za \(a\times b\) Rezultat mi pride pa 102.