Verjetnost in statistika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Kasiopea
Posts: 12
Joined: 26.3.2013 9:48

Verjetnost in statistika

Post by Kasiopea » 22.11.2013 13:22

Pozdravljeni,
čez nekaj dni pišem kolokvij, in ne znam rešit nekaj nalog it področja verjetnosnega računanja. Vem, da ste tukaj izjemno nadarjeni ljudje za narovoslovne predmete, in vas bi prosila za pomoč.

Nalogi se glasita;

1.)Proti tarči po enkrat ustrelijo trije strelci, ki zadevajo z verjetnostmi 0,4; 0,5 oziroma 0,7.
Izračunajte verjetnosti dogodkov A - tarča je natanko enkrat zadeta; B - tarča je zadeta
vsaj enkrat.

2.) Kolikšna je verjetnost, da je pri sočasnem metu dveh po
rojka, če vemo, da je bila vsota pik na obeh kockah 6?

Izjemno vam bom hvaležna za dani odgovor.
Pa lep dan še naprej!!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 22.11.2013 13:54

1)
Gre za tri neodvisne dogodke z dvema izidoma, imaš 2^3=8 kombiniranih izidov.
[ne,ne,ne]=(1-p)(1-q)(1-r)
[ja,ne,ne]=p*(1-q)(1-r)
[ne,ja,ne]...
[ne,ne,ja]
[ja,ja,ne]
...
s p,q,r sem označil verjetnosti za zadetek.

Zdaj za A lahko sešteješ verjetnosti vseh treh možnosti za 1 zadetek, za B pa lahko gledaš 1 minus dogodek [ne,ne,ne].

2)
Podobno kot zgoraj. Ker so dogodki enako verjetni, lahko samo prešteješ ugodne kombinacije. Vse kombinacije so seveda 1+5,2+4,3+3,4+2,5+1

Kasiopea
Posts: 12
Joined: 26.3.2013 9:48

Re: Verjetnost in statistika

Post by Kasiopea » 23.11.2013 8:32

Torej 1. razumem, in res hvala !!!
druga pa ni se pousem jasna... Kolikšna je verjetnost, da je pri sočasnem metu dveh poštenih igralnih kock pade vsaj enkrat
trojka, če vemo, da je bila vsota pik na obeh kockah 6?

torej če so vse verjetnosti v tem primeru iste, je verjetnost da pade trojka 20%?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 23.11.2013 11:28

Tako ja. Sicer bi izgledalo lahko malce sumljivo, ker imaš že kombiniran dogodek, ampak variante
1+5
2+4
3+3
4+2
5+1
so enako verjetne (brez omejitve na vsota = 6 so imeli vsi verjetnost 1/6*1/6, in potem ko se omejiš samo na teh 5 dogodkov, so vsi 1/5, in ti hočeš tistega 3+3). Zavajajoče bi bilo kvečjemu, če bi pozabil, da 1+5 in 5+1 nista isti dogodek.

kleopatra
Posts: 10
Joined: 29.9.2011 20:11

Re: Verjetnost in statistika

Post by kleopatra » 6.12.2013 15:05

A mi lahko kdo pomaga? Težava je v tem, da nimamo podane celotne populacije oz. moči vzorca..

1. Kolikšna je verjetnost, da imata izmed 4 ljudi vsaj 2 rojstni dan v istem mesecu, če zanemarimo dejstvo, da so rojstva v določenih mesecih bolj pogosta?
R: 41/96=0.427

Ideja, ki pa se ne izide:
verjetnost za posamezen mesec: p=0.083
2 imata roj. dan ALI 3 imajo roj.dan ALI 4 imajo roj. dan isti mesec:
(0.083^2 * 0.917^2) + (0.083^3 * 0.917) + (0.083^4)=0,00636


2. Naključno izberemo nekaj ljudi in izmed njih izberemo 1 človeka. Najmanj koliko ljudi bi morali naključno zbrati, da bi bila verjetnost za to, da bi vsaj 1 izmed preostalih ljudi imel rojstni dan istega dne v letu kot izbrani človek, 0.5?
R: 254 ljudi

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 6.12.2013 15:38

No za ta slavni rojstnodnevni problem se splača itak celo teorijo pogledat, je kar zanimivo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

Sicer ti pa manjka par stvari, recimo to, da je to katerikoli mesec (*12) pa to, da razločuješ ljudi (še malo permutacij bi bilo treba), pa tudi to, da imaš lahko tudi 2+2 v istem mesecu, se pravi imaš to varianto 2x šteto. Lažje je napast problem iz druge strani, in pogledat komplement dogodka: da imajo vsi različne rojstne dneve. Načinov, za razporedit 4 ljudi V RAZLIČNE MESECE je
12*11*10*9
načinov, za razporedit v poljubne mesece (vseh načinov) je pa 12^4. Verjetnost, da niso vsi v različnih mesecih je torej
\(1-\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{12^4}\)
Splošna formula bi bila
\(P(n,N)=1-\frac{ N!/(N-n)!}{N^n}\)
kjer je n število ljudi, N pa število predalčkov (mesecev, dni,...).

2)
Tukaj izgleda, kot da bi samo zgornjo splošno formulo uporabili, ampak to ni tako, saj tukaj gledaš enega konkretnega človeka in te prav nič ne briga, ali imajo ostali še kakšne podvojene rojstne dneve ali ne. Spet greš preko komplementa in pogledaš verjetnost, da imajo vsi ostali rojstni dan na katerikoli dan, RAZEN rojstni dan izbranca. To je pa bolj enostavno, kar
\(1-P=\frac{(N-1)^{n-1}}{N^{n-1}}\)
kjer je n-1 število preostalih ljudi razen izbranca.
Iščeš P=0.5, torej
\(\frac{1}{2}=\left(\frac{N-1}{N}\right)^{n-1}\)
\(n=1+\frac{\log 2}{\log {N}-\log {(N-1)}}\)
Pa seveda zaokrožiš navzgor, saj ne moreš imeti polovičnih ljudi.

kleopatra
Posts: 10
Joined: 29.9.2011 20:11

Re: Verjetnost in statistika

Post by kleopatra » 6.12.2013 19:46

O super, hvala, zaštekala :) Verjetno bi se sama vrtela v krogu in se ne bi nikoli lotila naloge na tak način..

1)Sicer sem potem poskusila rešit 1.nalogo še na svoj način, mi pa ne pride isti rezultat, sklepam zaradi zadnjih decimalk..
Drugače pa naj bi bilo tako tudi prav, a ne? (4 2) je mišljen binomski simbol..
(0.083^2 * 0.917^2)*12*(4 2) + (0.083^3 * 0.917)*12*(4 3) + (0.083^4)*12*(4 4)=0,44

2) Še eno vprašanje za podobno nalogo..
V primeru, da ima vsak rojstni dan na drug dan, kako se rešiš n-ja v oklepaju s fakulteto (pred logaritmiranjem)??
Npr. 0.5= (365!/(365-n)!) : 365^n

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 8.12.2013 20:54

1) Am... izgleda sumljivo, da kje dvakrat šteješ tista (A,A,B,B) variante. Mi pa trenutno ne gre ravno razmišljanje v to smer...

2) Ja no to se ne da eksaktno, lahko pa probaš s Stirlingovim približkom, ki čisto dobro velja v teh primerih.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_formula

kleopatra
Posts: 10
Joined: 29.9.2011 20:11

Re: Verjetnost in statistika

Post by kleopatra » 10.12.2013 10:42

Zdaj tudi sama nisem več ziher..hehe..nima veze..

Glede Stringlinovega približka..dvomim, da bi bila taka naloga, ki se je ne bi dalo natančno izračunat; Najmanj koliko ljudi je potrebno zbrati, da bi bila verjetnost, da bi vsaj 2 izmed njih imela roj.dan istega dne v letu, večja od 0,5.
Nasprotni dogodek naj bi bil: vsi imajo roj. dan na drug dan. Ali se da oblikovati kako drugače nasprotni dogodek, da bi se dalo to izračunat?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 10.12.2013 11:37

No Stirlingov približek je že za zelo majhne številke praktično točen, še posebej, če zaokrožuješ na celo število na koncu. Jaz res težko vidim kakšno boljšo varianto, fakulteti se težko izogneš, ne glede na to kako obračaš. Poskusi.

kleopatra
Posts: 10
Joined: 29.9.2011 20:11

Re: Verjetnost in statistika

Post by kleopatra » 10.12.2013 21:13

Problem je, da gre za nalogo iz srednješolskega učbenika, kjer tega približka ne obravnavajo :p Tako da, ali obstaja kakšen drug način ali so se avtorji učb malo ušteli..
Hvala za pomoč :)

kleopatra
Posts: 10
Joined: 29.9.2011 20:11

Re: Verjetnost in statistika

Post by kleopatra » 14.12.2013 17:50

Še nekaj me muči..Kako se rešuje primere s števili?

1. 3-mestna št. s števkami od 1-9, števke se ne ponavljajo. Koliko št. je deljivih s 3?

2. Listki s števili od 1-60. Naključno izberemo 5. Koliko je vseh izborov, kjer
a) je vsota izbranih št. 18
b) je zmnožek izbranih št. deljiv s 78125

3. Vržemo 10 kock. Vsota padlih pik na vseh je manjša od 13. Koliko je vseh možnosti?

-

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 14.12.2013 18:16

1) Deljivost s 3 itak gleda samo vsoto števk. Imaš tri "vreče" števk: deljive s 3 oz ostanek 0 po deljenju s 3 (3,6,9), tiste ki imajo ostanek 1 po deljenju s 3 (1,4,7) in tiste, ki imajo ostanek 2 (2,5,8). Končna številka bo deljiva s 3 v naslednjih primerih (to po sklepanju probaš dobit vse), glede na ostanke:
(0,0,0)
(1,1,1)
(2,2,2)
te tri pomenijo, da vse tri vzameš iz iste vreče, to je vedno deljivo s 3. To pride potem 3! možnosti za vsako izmed teh (itak so v vsaki "vreči" samo 3, tako da kaj drugega kot permutacije ne moreš delat). Potem imaš pa še eno možnost,
(0,1,2)
oziroma iz vsake vreče 1. Teh je pa 3*3*3*3! (iz vsake vreče lahko vzameš eno izmed treh, potem jih pa lahko še poljubno permutiraš).

2) Huh. Ta bi znala bit sicer precej zoprna, ampak 18 je precej nizko... kaj dosti možnosti ni. Najnižji možni zadetek je 15 (1,2,3,4,5). Potem moraš nekje dobit še 3, pa pazit moraš da se ne ponovi. Jaz bi jih kar ročno naštel, lahko pa da kaj spregledujem. Razen če smeš ponavljat (imaš več listkov z istim številom).
b) To razcepiš na prafaktorje: 5^7. To pa sploh ni možno. To bi pomenilo, da mora vseh 5 števil deljivih samo s 5 in ničemer drugim. Na razpolago imaš 1,5,25, potem ti jih pa zmanjka in moraš začet ponavljat, drugače dobiš kak drug faktor v številko in potem se ga ne znebiš več. Razen če smeš ponavljat. Potem je pa drugače...

3. To je podobno kot 2a samo brez ponavljanja. Brez ponavljanja je lažje... 10 je najmanjši možni zadetek. Potem moraš samo še tri dodatne pike nekako razporedit. Lahko daš vse tri na isto kocko (ena štirica + 9 enk), teh možnosti je 10 (vsaka kocka je lahko štirica). Potem imaš možnost 2+1 (torej ena trojka in ena dvojka, ostalo enke), tukaj imaš možnosti 10*9. Lahko so pa tri dvojke in 7 enk. To je 10*9*8/3!, ker so vse tri dvojke, in moraš delit s 3! ker si zaradi permutacij prevečkrat štel vsako kombinacijo. Tega pri 2+1 ni ker sta različni.

Upam da nisem kaj zamočil.

kleopatra
Posts: 10
Joined: 29.9.2011 20:11

Re: Verjetnost in statistika

Post by kleopatra » 14.12.2013 21:45

1. Zanimiva..nikoli ne bi ugotovila..

2.a) Ampak lahko uporabimo tudi druga št. za faktorje, kot npr. 60=2^4*5, 50=2*25,.. saj večkratniki št. 5^7, 5^8 so tudi deljivi s 5^7. Recimo 5^7*2 je tudi deljivo s 5^7 pa vsebuje faktor 2. Ampak kako to uporabit? Možnosti je 120.

3. Good to know, samo naloga je lažja :) pravi, da poiščeš vse možnosti, ki dajo vsoto manjšo kot 13. Torej same enke-1 možnost, 9enk in 1 dvojka-10 možnosti, 9enk in 1 trojka-10 možnosti. Skupaj 21. V rešitvah je 66 oz verjetnost za to 11/(6^9) ali 66/(6^10)..ni logično..

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Verjetnost in statistika

Post by Aniviller » 14.12.2013 22:08

2. aja ups "deljiv" ne pa enak. Sory, na hitro prebral. Potem pa kot praviš, na razpolago imaš faktorje {5,10,15,20,30,35,40,45,55,60} in {25,50}. Kjer sem v drugi skupini zabeležil tisti dve z 2 faktorjema 5. Nabrat moraš potenco 7 s 5 števili, kar pomeni, da moraš nujno porabit 25 in 50, in 3 izmed ostalih. Variant je torej toliko kot načinov izbire 3 števil izmed 10, torej 10*9*8/6=120.
3. Haha danes resnično ne berem navodil :) Pozabljaš pa na varianto 8 enk in 2 dvojki, ki jih je spet 10*9/2.

Post Reply