Verjetnost - transformacija

[Zenga]

Rešujem naloge s transformacijo gostot, pri tej pa se mi je zapletlo:
Naj bosta U in V neodvisni spremenljiviki. U naj bo porazdeljena eksponentno s parametrom lambda. V pa naj bo enakomerno zvezna na intervalu \([-\pi,\pi]\)

Se pravi da je skupna gostota u in v enaka \frac{\lambda e^{-\lambda u}}{2 \pi}.

Imamo podan še naslednji vektor (x,y) = (U cos(V), U sin(V). Naloga sprašuje, koliko je skupna gostota (x,y). V bistvu bi moralo it za enostavno transformacijo z jakobijevo determinanto, a ne znam izraziti U(x,y) in V(x,y), kajti tedaj bi bilaf(x,y) = f(u(x,y),v(x,y) * J(x,y)

Vsak nasvet bi bil več kot dobrodošel - upam samo, da bom nasvetu dorasel!

[Zajc]

Gre za standardno pretvorbo med kartezičnimi in polarnimi koordinatami. Ponuja se rešitev \(u=\sqrt{x^2+y^2}\), \(v=\textnormal{arctg}\,\frac{y}{x}\), vendar tako izračunan \(v\) ni bijektiven. Zato si je treba pomagati s formulo \(\textnormal{tg}\,\frac{\varphi}{2}=\frac{\sin{\varphi}}{1+\cos{\varphi}}\), s pomočjo katere dobimo \(v=2\textnormal{arctg}\,\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\).

[Zenga]

Recimo, da se \(U\) in \(V\) nahajata na območju \([-\pi, \pi]\) ter da velja (X,Y) = (\(\)cos(U+V), sin(U-V)).

Kakšno je območje, po katerem integriramo. Če pogledamo, sta funkciji \(cos\), \(sin\) omejeni, zato bi moralo biti območje \(x \in [-1,1], y \in [-1,1]\). Toda, če npr. predpostavim še, da sta \(U, V\) neodvisni in z enakomerno zvezno verjetnostno porazdelitvijo (ang. uniform probabilty density function), potem mi integracija po območju (x,y) ne da rešitve 1, kar bi moralo veljati, če bi bila moja ocena pravilna!

[Zajc]

Problem je spet z bijektivnostjo. Saj se itak \(u\) in \(v\) ne moreta izraziti z \(x\) in \(y\). Katero funkcijo bi pa ti sploh integriral, da bi dobil 1?

[Zenga]

Naj bo \(U = 0.5*(arcsin(y) + arcos(x))\) in \(V = 0.5*(arccos(x) - arcsin(y))\)
Gostota \(f(u,v) = \frac{1}{4* {\pi}^2}\). Izračunam Jakobijevo determinanto in dobim \(f(x,y) = \frac{1}{8* {\pi}^2 * \sqrt(1-x^2) * \sqrt(1-y^2)}\).
Če grem to integrirati po kvadratu s koordinatami \([-1,1] \times [-1,1]\) dobim \(1/8\). Torej obstaja za en \((x,y)\) več rešitev \((u,v)\)
Zajc, bi imel še kakšen nasvet zame?
Vsem skupaj želim lep dan.

[Zajc]

Preslikava, ki si jo napisal, NI inverz funkcije, ker funkcija ni bijektivna.

Gostota \(f_{(X,Y)}(x,y)\) za ta primer je precej grda funkcija in ne verjamem, da se jo da lepo izračunati. Kje si pa dobil to nalogo?