Zgodovina matematike

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Poišči vse pravokotne trikotnike s celoštevilskimi stranicami in obsegom \(132.\)
Iz enačb: \(c^2=a^2+b^2, a+b+c=132\) dobim \(0=17424-264b-264c+b^2+2bc\), kaj naj od tu dalje? Hvala že vnaprej. :)

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

V Excel lahko napišeš tabelo z vsemi kombinacijami in preveriš s formulo, kaj se ujema in kaj ne.

Torej

0 1 2 3 ...132
0 17424 - ...
1

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a shrink »

Glede na to, da je izhodišče zgodovina matematike, pridejo v tem primeru v poštev Pitagorejske trojice:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorea ... e#Examples

Kandidate za rešitev najbrž najdeš med prvimi 16 primitivnimi trojicami in njihovimi neprimitivnimi izpeljankami.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala :), pitagorejske trojice pomagajo. Dobim rešitev: \((11, 60, 61)\) in izpeljanke. Kako bi si pa lahko pomagali brez te tabele, recimo na izpitu. Ali iz zgornjega izračunanega se ne da nič?
2.naloga:
Pokaži, da se \(\frac{8}{11}\) ne da zapisati kot vsota manj kot štirih različnih ulomkov s števcem 1.

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

Rešitev je še 33^2+44^2=55^2 in fomula da še nemogočo resitev 66^2+0^2=66^2.

A zdi se mi, da je tvoja zgoraj vpisana formula napačna? S to nisem dobil rešitev.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Aha, to je tudi rešitev, kako pa pridemo do te? in iz kje dobimo nemogočo rešitev? Mislim, da bi enačba morala biti prav. Kaj pa 2. naloga, kakšna ideja? Lp

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

V excelu v celico b2 napisemo formulo po tvoje
=17424-264*B$1-264*$A2+B$1^2+2*B$1*$A2 (mislim, da je napačna)
ali po moje
=IF(132^2-264*(B$1+$A2)+2*B$1*$A2=0;0;"")
V celice a2, a3 ... napisemo 0, 1, 2, 3, ... 132
V celice b1, c1 ... napisemo 0, 1, 2, 3, ... 132

Potem formulo razmnožimo, kopiramo desno in dol, da izračunamo vse kombinacije.
Tako smo dobili tudi to. Seveda, trikotnik s stranico 0 ne obstaja, zato je zgornja rešitev nemogoča. Toda zaradi testiranja je to vseeno dobro vključiti.

to zadnjo enačbo s trojico 33,44,55, bi dobili tudi z ugibanjem, ker 132 delimo z 11 in ugotovimo, trojico 3, 4,5. Torej en postopek je število 132 razbiti na praštevila.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala :), ideja, kako narediti v Excelu je dobra, da damo za vrstice in stolpce možne dolžine stranic \(b, c\), potem pa z IF stavkom preverimo.
Jaz sem tudi našla mojo napako, prav je \(0=17424-264b-264c+2b^2+2bc\), torej pozabila prišteti \(b^2\). V vaši formuli sem opazila, da tudi ravno ta člen manjka IF(132^2-264*(B$1+$A2)+2*B$1*$A2+2*B$1^2=0;0;""), če bo še kdo bral.
Kako bi pa rešili to stvar 'na roke' (izpit)?

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

delta napisal/-a:Hvala :), ideja, kako narediti v Excelu je dobra, da damo za vrstice in stolpce možne dolžine stranic \(b, c\), potem pa z IF stavkom preverimo.
Jaz sem tudi našla mojo napako, prav je \(0=17424-264b-264c+2b^2+2bc\), torej pozabila prišteti \(b^2\). V vaši formuli sem opazila, da tudi ravno ta člen manjka IF(132^2-264*(B$1+$A2)+2*B$1*$A2+2*B$1^2=0;0;""), če bo še kdo bral.
Kako bi pa rešili to stvar 'na roke' (izpit)?
Jaz sem to preskusil direktno v excelu, torej ni napake. Uporabil pa sem samo kateti, mogoče je v tem razlika.
Na izpitu bi to testiral na pamet, da bi prebral link, ki ga je dal Shrink, ter da bi število 132 razbil v prafaktorje in si s stem pomagal.
Torej mojo rešitev 33, 44, 55 ni problema dobiti na pamet. Tvojo rešitev pa bi iz te izpeljal s pomočjo tistega linka.

Govorim na pamet. :) Samo preletel sem tam. Pa sama preveri in povej, če govorim prav.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Aha, ja jaz sem vzela kateto in hipotenuzo, zato je drugače. :) Rešitev: \((33,44,55)\) uganemo, drugo dobimo ven direktno iz tiste formule iz linka. Sem pa opazila, da prve ne moreš dobiti na ta način. Sedaj je pa še vprašanje, kako dokazati, da so to VSE. Po nastavku ne moremo dobiti nobene druge, kaj pa če bi lahko še katero uganili? hm...
Če naredim razcep, dobim: \(132=2^2 \cdot 3 \cdot 11\), prej smo vzeli \(11\) in pomnožili z \((3,4,5)\), s katerimi trojicami pa lahko množimo ostale prafaktorje \(2, 2^2=4, 3\)?

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

Samo 11 ima smisel od faktorjev k, ker pomnoži 3+4+5=12 Ta moja rešitev ni primitivna, tvoja pa je. Meni bi bilo zanimivo, da bi iz moje rešitve dobil tvojo, a je ne dobim.
Ostalo imaš v linku, lahko bi bilo nekaj kot "child...." a ne deluje. Odvisno pa je od tega, koliko tega ste vzeli v šoli, ker nekaj veliko novega ne morejo zahtevati od vas. Lahko pa iščeš še naprej v linkih glede tega, ključne besede imaš.

Se pa ta moje rešitev v excelu lahko spremeni le v tri stolpce. Potem pa se to razširi še na vse nadomestke od 132. Torej kar veliko rešitev lahko poiščeš v excelu.

Pa tam v linku imaš formulo 2m^2+2mn=obseg
oziroma obseg/2 = 66 =m*(m+n)
Od tu takoj uganeš m=6, n=5, kaj pa je tvoja rešitev. Ostalo pa razberi ...

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

To z \(11\) razumem, me zanima to, če vedno vzamemo \((3,4,5)\), ali bi lahko šli gledat tudi katero drugo trojico, npr. \(4 \cdot (5,12,13)\), kar recimo vidimo, da pride le \(120\), itd. ali je mišljeno, da pogledamo vse kombinacije iz linka za \(2,3,4\)?
Tretji odstavek sem že izr., sicer kar po \(a= m^2-n^2\), \(b=2mn\) in \(c=m^2+n^2\) in isto dobim ven \(m=6, n=5\), in dalje mojo rešitev.
Kaj pa 2. naloga, kakšna ideja? :)

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

Potrebno je povedati se, da pri m(m+n), n mora biti manjši, kot m.
pri 66=6x11 to drži. Pri 66=3x22 to ne drži. Ta kombinacija drži samo za primitivne trikotnike.
Torej 132 delim z 11 in z dve (zaradi obseg/2) in pri 2x3 je n manjši od m, torej dobimo.
Preizkusimo ostale kombinacije, da 132 delimo z 2, 3, 4, 6 in nikjer ne dobimo te ugodne kombinacije, ali pa sploh ne dobimo parnega števila. Tako nekako dokažemo brez računalnika.

Pri drugi nalogi je dobro sploh poiskati pri katerih štirih številih se izide. Poizkusil sem s kombinacijami 1/n1, 1/n2 itd, kjer so n od 2 do 12 in ne dobim nobene rešitve 8/11. Torej treba je razširiti obseg, mogoče tudi v negativna števila in v 1/1.

Te 4 stolpce z vsemi kombinacijami se dobi v excelu s pomočjo funkcij =a2+1, =a, in z b2+1, =b itd. Tako za začetek. Verjetno pa je rešitev kje na netu. Ko pa dobiš rešitve, je lažje ugotoviti logiko za to nalogo.

qg
Prispevkov: 780
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a qg »

Ena od rešitev s štirimi različnimi imenovalci je
1/2+1/6+1/22+1/66=8/11
To sem poiskal z Excelom.
Od te rešitve bi bilo možno ugotoviti princip reševanja tega problema in potem, zakaj trije členi ne zadostujejo.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Najlepša hvala za pomoč:), ampak me še nekaj zanima. Po tej formuli \(\frac{ob}{2}=m \cdot(m+n)\) iz tega ven dobimo edino možno rešitev \(m=6, n=5\) in po formulah dobimo \((11,60,61)\). Tisto drugo rešitev \((33,44,55)\) pa se ne da dobiti na ta način, dobili smo jo, ko smo primitivno pomnožili z \(11\). Kako se prepričamo, da pri množenju katere druge primitivne ne dobimo seštevek novih treh \(=132\) (to me 'grize :? '). Recimo \(2 \cdot (20,21,29)\) ali \(3 \cdot (8,15,17)\), kar se pač ne izide, samo najbrž je zadnja opcija, da greš vse gledat.
Še nekaj zanimivega sem opazila. Pitagorejska trojica, ki je oblike \(a=m^2-n^2, b=2mn,c=m^2+n^2\) ni nujno primitivna. Mi smo našli pitagorejsko trojico, ki ni te oblike in ni primitivna. Vprašanje: ali obstajajo primitivne pitagorejske trojice, ki niso te oblike?

Štirje egipčanski ulomki:
Poznam postopek, kako zapišeš ulomek z egipčanskimi ulomki (obrneš in uporabiš celi del navzgor). Tako sem dobila:\(\frac{8}{11}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{37}+\frac{1}{4070}\), ali pa še eno rešitev: \(\frac{8}{11}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{924}\). Da lahko z najmanj \(4\), pa še nisem ugotovila, kako pokažeš.

Odgovori