Zgodovina matematike

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
showtek
Prispevkov: 18
Pridružen: 25.8.2015 15:35
Kraj: Maribor

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a showtek »

Da ne bo pomote pri množenju in deljenju ni pomemben vrstni red računskih operacija. Tako da je enačba \(S=\frac{O}{2} r\) popolnoma enaka enačbi \(S=\frac{r}{2} O\)

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala za odgovor. To, da je notri: \(S=\pi r^2, ob=2 \pi r\), to sem opazila. Zanima me v bistvu, kaj izhaja iz česa, kaj je bilo prej. Ali so že poznali ti dve formuli s \(\pi\) in iz tega potem dobili polovico polmera krat obseg? ali ravno obratno? Lp

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a shrink »

To je spraševanje tipa, kaj je bilo prej, kura ali jajce: eno pač implicira drugo in obratno. Arhimed je pač vedel oboje in če se dobro spomnim, je v enem eseju najprej geometrijsko pokazal povezavo med ploščino kroga in obsegom in nato šele med obsegom in polmerom/premerom.

showtek
Prispevkov: 18
Pridružen: 25.8.2015 15:35
Kraj: Maribor

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a showtek »

Koliko se spomnim so \(\pi\) računali že Sumerci 2000. pr. nš, glede na to da \(\pi\) ni druga kot razmerje med obsegom in premerom (\(\frac {O}{d}\)). Sklepam da so računali to razmerje, da bi z pomočjo te konstante lahko hitro izračunali obseg kroga (kar verjetno takrat ni bilo tako preprosto kot izmeriti premer). Sem misli povedati, da verjetno sledi ploščina iz obsega iz preprostega dokaza. Ampak to kar sem imel v mislih ne pride v poštev, saj Arhimed še ni znal integrirat :lol:

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a shrink »

V bistvu so primerjali ravno ploščine: kroga in kvadrata in približno ugotovili, da ima krog s polmerom 1 ploščino približno 3.

Arhimed resda ni poznal infinitezimalnega računa, je pa na osnovi v krožnico očrtanih in včrtanih pravilnih večkotnikov prišel do približka za razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. Ta njegov pristop pa je bil samo korak od infinitezimalnega računa: ko gre število stranic pravilnega večkotnika preko vseh meja, gredo dolžine njegovih stranic proti 0 in takrat se večkotnik natanko prilega krožnici oz. obsegu kroga.

Roman
Prispevkov: 6429
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a Roman »

Morda bi tu bilo umestno omeniti, da so za \(\pi\) uporabljali tudi različne približke, kot sta \(\frac{22}{7}\) in \(\sqrt{10}\). https://sl.wikipedia.org/wiki/Zgodovina ... ila_%CF%80.

derik
Prispevkov: 2043
Pridružen: 6.3.2010 9:04

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a derik »

Kakšna je odvisnost razmerja obsega in premera kroga od ukrivljenosti prostora? Ali se recimo pri trajektorijah stacionarnih satelitov že kaj razlikuje od Pi?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a shrink »

derik napisal/-a:Kakšna je odvisnost razmerja obsega in premera kroga od ukrivljenosti prostora? Ali se recimo pri trajektorijah stacionarnih satelitov že kaj razlikuje od Pi?
http://www.physicspages.com/2013/04/05/ ... oordinate/

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Rešiti moram Diofantsko enačbo: \(7x+6y=176\), dobim dve splošni rešitvi: \(x=176-6k\) in \(y=-176+7k\), pri čemer \(x,y \geq 0\). Dobim torej 4. rešitve? \(k= 26, 27, 28, 29\),...to mi je sicer malo čudno? Je prav?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:Rešiti moram Diofantsko enačbo: \(7x+6y=176\), dobim dve splošni rešitvi: \(x=176-6k\) in \(y=-176+7k\), pri čemer \(x,y \geq 0\). Dobim torej 4. rešitve? \(k= 26, 27, 28, 29\),...to mi je sicer malo čudno? Je prav?
Je.

Manjše številke (končna rešitev je seveda ista) dobiš, če s pomočjo enakosti \(176=7\cdot 25+1\) začetno enačbo preoblikuješ v \(7(x-25)+6y=1\). Potem se rešuje enačbo \(7x'+6y=1\), kjer je \(x'=x-25\).

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala :). Kaj pa ti dve nalogi?

1. Pravilni 14-kotnik s stranico \(x\) je včrtan v krog s polmerom \(a\). Z Evklidovo idejo se da dobiti povezavo med \(a\) in \(x\) takole:
Poglejmo si enega od 14 enakokrakih trikotnikov, na katere razpade 14-kotnik. Njegovo osnovnico dolžine \(x\) označimo z \(BC\), vrh (središče kroga) pa z A. Na kraku \(AC\) izberi točko \(D \neq C\), tako da je \(BD=BC=x\). Nato na kraku \(AB\) izberi točko \(E \neq B\), tako da je \(DE=x\).
a) Pokaži, da je tudi \(AE=x\).
c) Naj bo \(U\) pravokotna projekcija točke \(E, T\) pa pravokotna projekcija točke \(B\) na krak \(AC\). Pokaži, da velja \(AB \cdot AU = AE \cdot AT\) in od tod izpelji enačbo, ki povezuje \(x\) in \(a\).
Op.: c) prvi del (pokaži) znam.

2. S pomočjo Cavalierijevega načela izračunaj prostornino torusa, ki nastane, ko krog s polmerom \(a\) zavrtimo okrog premice v ravnini kroga, ki je za \(b>a\) oddaljena od središča kroga.
Nasvet: Torus postavi na ravnino, ki jepravokotna na njegovo os. Nato primerjaj torus s primernim valjem.
Če kdo kaj ve :), bi rabila do jutri. Najlepša hvala. lp

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Zanimata me dve stvari:
1. kako dokažeš formulo za ploščino tetivnega štirikotnika: \(p=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\), kjer je \(s=\frac{a+b+c+d}{2}\) s pomočjo sinusnega in kosinusnega izreka.
2. kako dokažeš, da je ploščina za tetivni štirikotnik, ki je tudi tangentni enaka \(p=\sqrt{abcd}\)?
Lepo prosim za pomoč. Hvala :)


delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a delta »

Razmišljam o površini krogle.
Guldinovo pravilo pravi: \(P= \pi R 2\pi R= 2 \pi^2 R^2\), poznamo pa formulo: \(P=4 \pi R^2\).
Zakaj ne pride enako?
Hvala, lp

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Zgodovina matematike

Odgovor Napisal/-a shrink »

Zato ker moraš množiti s potjo težišča krivulje okoli osi vrtenja. V primeru računanja površine krogle je krivulja polkrožnica z dolžino \(\pi r\), njeno težišče se nahaja na razdalji \(\frac{2r}{\pi}\) od osi vrtenja, pot, ki jo opravi težišče pri vrtenju, pa je \(2\pi\cdot\frac{2r}{\pi}\). Po Pappusu in Guldinu je površina krogle:

\(P=\pi r\cdot 2\pi\cdot\frac{2r}{\pi}=4\pi r^2\)

Odgovori