Zgodovina matematike
Re: Zgodovina matematike
Da je lok \(\pi r\) mi je jasno, ampak težišče? zakaj je na razdalji \(\frac{2 \pi}{r}\)? Asistent mi je sicer rekel, da je težišče loka ravno na sredini loka,...ampak to je \(r\) od osi vrtenja. Ne razumem...? Če je težišče tam, naj bi opravilo pot \(2 \pi r\)?
Re: Zgodovina matematike
V bistvu gre za geometrijsko središče (ang. geometric centroid) krivulje (ki se mu po domače reče težišče) in to ne nujno leži na krivulji; glej levo sliko za polkrožnico:
V splošnem se geometrijsko središče določi tako:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\int_l xdl}{\int_l dl}\)
\(\displaystyle\bar{y}=\frac{\int_l ydl}{\int_l dl}\)
Za narisano polkrožnico je x koordinata težišča:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\int_{-r}^r x\sqrt{1+x'^2}dy}{l}\)
kjer je diferencialni košček dolžine krivulje \(dl=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{1+x'^2}dy\).
Iz \(x^2+y^2=r^2\) sledi \(x'=-\frac{y}{x}\) in od tod:
\(x\sqrt{1+x'^2}=x\sqrt{1+y^2/x^2}=\sqrt{x^2+y^2}=r\)
tako da se integral v števcu reducira na preprost integral:
\(r\int_{-r}^r dy=ry\vert_{-r}^r=2r^2\).
Dolžina polkrožnice je seveda \(l=\pi r\), tako da je x koordinata težišča:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{2r^2}{\pi r}=\frac{2r}{\pi}\).
***
Ne vem, kaj je mislil asistent s sredino loka, a težišče loka seveda ne leži na sredini loka, ampak kvečjemu na njegovi simetrali. Če lok definira polmer \(r\) in kot \(2\alpha\), se da izpeljati, da njegovo težišče (geom. središče) leži na simetrali, od središča loka pa je oddaljeno:
\(\displaystyle r\frac{\sin\alpha}{\alpha}\).
Za \(2\alpha=\pi\) je lok polkrožnica in na osnovi zadnje zveze sledi ravno rezultat izpeljan pred tem:
\(\displaystyle r\frac{\sin\alpha}{\alpha}=r\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2r}{\pi}\).
V splošnem se geometrijsko središče določi tako:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\int_l xdl}{\int_l dl}\)
\(\displaystyle\bar{y}=\frac{\int_l ydl}{\int_l dl}\)
Za narisano polkrožnico je x koordinata težišča:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\int_{-r}^r x\sqrt{1+x'^2}dy}{l}\)
kjer je diferencialni košček dolžine krivulje \(dl=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{1+x'^2}dy\).
Iz \(x^2+y^2=r^2\) sledi \(x'=-\frac{y}{x}\) in od tod:
\(x\sqrt{1+x'^2}=x\sqrt{1+y^2/x^2}=\sqrt{x^2+y^2}=r\)
tako da se integral v števcu reducira na preprost integral:
\(r\int_{-r}^r dy=ry\vert_{-r}^r=2r^2\).
Dolžina polkrožnice je seveda \(l=\pi r\), tako da je x koordinata težišča:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{2r^2}{\pi r}=\frac{2r}{\pi}\).
***
Ne vem, kaj je mislil asistent s sredino loka, a težišče loka seveda ne leži na sredini loka, ampak kvečjemu na njegovi simetrali. Če lok definira polmer \(r\) in kot \(2\alpha\), se da izpeljati, da njegovo težišče (geom. središče) leži na simetrali, od središča loka pa je oddaljeno:
\(\displaystyle r\frac{\sin\alpha}{\alpha}\).
Za \(2\alpha=\pi\) je lok polkrožnica in na osnovi zadnje zveze sledi ravno rezultat izpeljan pred tem:
\(\displaystyle r\frac{\sin\alpha}{\alpha}=r\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2r}{\pi}\).
Re: Zgodovina matematike
Hvala za razlago. 
Ne razumem pa še vsega.
1. Kaj je ta formula, s katero dobimo geometrijsko središče vsebinsko. V imenovalcu vidim, da integriramo po loku, kaj pa zgoraj?
2. Iz \(x^2+y^2=r^2\), sledi \(x'=-\frac{y}{x}\)...od kje dobimo to?
3. Formula: \(r \frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\)...kako jo dobimo? ...od središča loka je oddaljeno,...torej, če gledam sliko je to 'od desne proti levi' in ne od središča krožnice, razumem prav?...ampak, ali ni \(\frac{2r}{\pi}\) od središča? Izračun dalje je jasen.
Kako izračunam težišče polkroga?
Sem dobila \(\frac{4R}{3\pi}\) od središča, je to prav? Pri tem sem upoštevala, koliko je volumen krogle. Kako bi pa to z uporabo zg. formul?
Ne razumem pa še vsega.1. Kaj je ta formula, s katero dobimo geometrijsko središče vsebinsko. V imenovalcu vidim, da integriramo po loku, kaj pa zgoraj?
2. Iz \(x^2+y^2=r^2\), sledi \(x'=-\frac{y}{x}\)...od kje dobimo to?
3. Formula: \(r \frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\)...kako jo dobimo? ...od središča loka je oddaljeno,...torej, če gledam sliko je to 'od desne proti levi' in ne od središča krožnice, razumem prav?...ampak, ali ni \(\frac{2r}{\pi}\) od središča? Izračun dalje je jasen.
Kako izračunam težišče polkroga?
Sem dobila \(\frac{4R}{3\pi}\) od središča, je to prav? Pri tem sem upoštevala, koliko je volumen krogle. Kako bi pa to z uporabo zg. formul?
Re: Zgodovina matematike
2. Sem ugotovila, odvod po \(y\).
Ostalo me še zanima. Hvala, lp
Ostalo me še zanima. Hvala, lp
Re: Zgodovina matematike
1. Vsebinsko je povsem enaka kot formula za masno središče (ki je enako težišču v homogenem gravitacijskem polju) s tem, da je \(dm\) namesto \(dl\). Mogoče je še najlažje razumeti na diskretnem primeru. Recimo, da je danih \(n\) masnih točk \(m_1, \ldots , m_n\) s koordinatami \(x_1, \ldots , x_n\), potem je x koordinata masnega središča določena z uteženim povprečjem:
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i m_i}{\sum_{i=1}^n m_i}\)
Na enak način se (v diskretnem) določi težišča sestavljenih krivulj, likov in teles s tem, da se nadomesti \(m_i\) z \(l_i\), \(A_i\) in \(V_i\). Če se vsote nadomesti z integrali, sledi prvotno navedena oblika primerna za računanje v zveznem.
3. Tako kot za primer polkrožnice, lego težišča loka pa ilustrira ta slika:
Drugače ni potrebno izpeljevati leg težišč za osnovne krivulje, like in telesa, saj so ustrezno tabelirane:
http://www.mathalino.com/reviewer/engin ... rs-gravity
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i m_i}{\sum_{i=1}^n m_i}\)
Na enak način se (v diskretnem) določi težišča sestavljenih krivulj, likov in teles s tem, da se nadomesti \(m_i\) z \(l_i\), \(A_i\) in \(V_i\). Če se vsote nadomesti z integrali, sledi prvotno navedena oblika primerna za računanje v zveznem.
3. Tako kot za primer polkrožnice, lego težišča loka pa ilustrira ta slika:
Drugače ni potrebno izpeljevati leg težišč za osnovne krivulje, like in telesa, saj so ustrezno tabelirane:
http://www.mathalino.com/reviewer/engin ... rs-gravity
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids
Re: Zgodovina matematike
Ja. Tako, da \(dl\) nadomestiš z \(dA\):delta napisal/-a:Kako izračunam težišče polkroga?
Sem dobila \(\frac{4R}{3\pi}\) od središča, je to prav? Pri tem sem upoštevala, koliko je volumen krogle. Kako bi pa to z uporabo zg. formul?
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\int_A xdA}{\int_A dA}\)
Tu gre za ploskovna integrala, ki se prevedeta na dvojna (v imenovalcu je tako in tako enak površini ploskve):
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\iint xdxdy}{A}\)
V primeru polkroga se splača preiti na polarne koordinate (\(J(r,\varphi)=r\), \(x=r\cos\varphi\)):
\(\displaystyle\bar{x}=\frac{\int_0^r r^2dr \int_{-\pi /2}^{\pi /2} \cos\varphi d\varphi}{1/2\pi r^2}\)
kar hitro da rezultat na vrhu.