Niti nisem prepričan, da naloga to zahteva ampak če sem prav razumel, moraš iz baze sestavit neko matriko, ki ti naredi transponiranje? No v teh poznih urah ne vidim druga kot zelo naporne poti, in sicer:
\(\begin{bmatrix}
\alpha a+\beta c &\alpha b+ \beta d \\
\gamma a+ \delta d& \gamma b +\delta d
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a &b \\
c& d
\end{bmatrix}\)
Pač sistem 4ih neznank, s 4imi neznankami. Sicer priznam da ni lepo, ampak je pa zagotovo prav. Ni se mi dal reševat sistema, ti pa prilagam rešitev mathematice, če slučajno nihče ne bo vedel bolj elegantne rešitve. In sicer pravi mathematica, da je\(\alpha = -\frac{-c^2 + a d}{b c - a d}, \beta = \frac{
a (-b + c)}{-b c + a d}, \gamma = -\frac{b d - c d}{
b c - a d}, \delta = -\frac{-b^2 + a d}{b c - a d}\)
No vsaj imenovalci so bolj ali manj enaki, vse ostalo je pa bolj tk tk...
b) Vsak bazni elemnt slikaj z matriko U, pa poglej kaj se zgodi.
1. naloga: Prostor \(\mathcal{U}\) je točno \(\mathcal{U}=\{ax^2+b|\ a,b\in\mathbb{R}\}\). Torej iščemo \(a,b\), da bo \(\|ax^2+b-r(x)\|^2=\langle ax^2-x+(b-1),ax^2-x+(b-1)\rangle\) minimalno. Potem se pa pač poišče minimum funkcije 2 spremenljivk.
2. naloga: (a) Upoštevamo \(ax+by=\lambda x\), \(cx+dy=\lambda y\), \(eu+fv=\mu u\), \(gu+hv=\mu v\) in dobimo \((A\otimes B)[xu,yu,xv,yv]^T=\lambda\mu[xu,yu,xv,yv]^T\).
(b) Naj bosta \([x,y]^T\) in \([u,v]^T\) lastna vektorja matrik \(A\) in \(B\) za lastno vrednost 0. Potem so \([x,y,0,0]^T\), \([0,0,x,y]^T\), \([u,0,v,0]^T\) in \([0,u,0,v]^T\) lastni vektorji za \(A\otimes B\) pri lastni vrednosti \(0\). Kratek razmislek pokaže, da so vsaj trije med temi štirimi linearno neodvisni. Torej je alg. večkratnost vsaj 3. Ne more pa biti 4, saj ima \(A\otimes B\) vsaj 1 neničelno lastno vrednost \(\lambda\mu\), kjer je\(\lambda\ne 0\) lastna vrednost \(A\) in \(\mu\ne 0\) lastna vrednost \(B\).
Zajc napisal/-a:1. naloga: Prostor \(\mathcal{U}\) je točno \(\mathcal{U}=\{ax^2+b|\ a,b\in\mathbb{R}\}\). Torej iščemo \(a,b\), da bo \(\|ax^2+b-r(x)\|^2=\langle ax^2-x+(b-1),ax^2-x+(b-1)\rangle\) minimalno. Potem se pa pač poišče minimum funkcije 2 spremenljivk.
................
Kako pa zapišem iskanje minimuvalama funkcije 2 spremeljivk ?
Zajc napisal/-a:1. naloga: Prostor \(\mathcal{U}\) je točno \(\mathcal{U}=\{ax^2+b|\ a,b\in\mathbb{R}\}\). Torej iščemo \(a,b\), da bo \(\|ax^2+b-r(x)\|^2=\langle ax^2-x+(b-1),ax^2-x+(b-1)\rangle\) minimalno. Potem se pa pač poišče minimum funkcije 2 spremenljivk.
................
Kako pa zapišem iskanje minimuvalama funkcije 2 spremeljivk ?
Hvala
Hmm. Če si 1. letnik (nisem bil pozoren na tvoj nick ), potem minimum funkcije 2 spremenljivk zna biti problem, ja. Iščemo minimum funkcije \(f(a,b)=\langle ax^2-x+(b-1),ax^2-x+(b-1)\rangle=\int_{-1}^1(ax^2-x+(b-1))^2dx=\frac{2a^2}{5}+\frac{2(1+2a(b-1))}{3}+2(b-1)^2\). Načeloma se lahko zdaj parcialno odvaja itd.
Če pa ti to ni poznano, potem pa na stvar pogledaš drugače. Iščeš polinom \(p(x)=ax^2+b\) v prostoru \(\mathcal{U}\), tako da je \(p(x)-r(x)\) pravokoten na \(\mathcal{U}\) (to je podobno kot pri iskanju razdalje med točko in ravnino v \(\mathbb{R}^3\)). Torej mora biti \(\langle p(x)-r(x),1\rangle=0\) in \(\langle p(x)-r(x),x^2\rangle=0\). Torej mora biti \(\int_{-1}^1(ax^2-x+(b-1))dx=0\) in \(\int_{-1}^1(ax^2-x+(b-1))x^2dx=0\). Potem se pa rešuje ti dve enačbi za neznanki \(a\) in \(b\).
