Pozdravljeni,
Že nekaj časa se ubadam s problemom ohlajanja kroglice ki se glasi nekako takole:
Imam kroglico z radijem R, poznam začetni temperaturni profil (zaradi enostavnosti lahko rečemo da je temperatura povsod konstantna), v kroglici so toplotni izvori (recimo enakomerno porazdeljeni, za čim večjo enostavnost), kroglica pa se hladi ker seva kot črno telo. Zanima me temperaturni profil, krajevno-časovna odvisnost.
Jaz sem se tega lotil tako da sem poiskal lastne funkcije za laplaceov operator L u (r, theta, phi) = - k^2 u, po dosti matranja sem dobil krogelne funkcije in sferne besslove funkcije. Ker je problem sferno simetričen so potem ostale samo te besslove funkcije. Potem pa se mi zaplete ker ne znam poiskat časovnega dela, saj ne morem separirat spremenljiv zaradi izvorov toplote.
Vsi komentarji, pripombe in ideje so dobrodošli.
Ohlajanje kroglice
Re: Ohlajanje kroglice
Izvori... so konstantni (po času)?
Re: Ohlajanje kroglice
Ja, izvori so konstantni po času.
Re: Ohlajanje kroglice
Še vedno aktualno. Se sploh da rešit analitično?
Re: Ohlajanje kroglice
Mislim (nisem preveril) da se da, ampak ti že takrat nisem odpisal ker ne razumem kaj ti ni jasno. Mogoče pokažeš malo kaj ti je uspelo ustvariti, kaj si že izračunal. Ampak če si ugotovil da so v radialni smeri krogelne Besselove in Neumanove funkcije (slednje itak odpadejo zaradi divergence ko gre radij proti nič) potem si tudi ugotovil da je časovni del \(\propto exp[-k^2Dt]\).
Torej bi mogu bit nastavek za tvojo rešitev podoben temu:
\(T(r,t)=Aj_0(kr)e^{-k^2Dt}\)
Namreč ker nimaš kotne odvisnosti ponavadi takoj sledi, da bo to ničta Besselova funckija. Zgolj zaradi enostavnosti, ti priporočam, da se tej rešitvi odšteješ konstanto (to lahko vedno, ker je itak je odvod konstante enak 0). S tem si ti začetni pogoj bistveno poenostavi. Torej je nastavek
\(T(r,t)=Aj_0(kr)e^{-k^2Dt}-T_0\) in začetni pogoj
\(T(r,t=0)=T_0-T_0=0\)
Kar se tiče pa nehomogenega dela diferencialne parcialne enačbe, ki jo rešuješ, torej
\(\frac{\partial T}{\partial t}-D\nabla ^2T=\frac{q}{\rho c_p}\)
je pa tako, da boš moral nehomogeni del razviti po lastnih funkcijah (eigenfunction expansion), ki so v tem primeru sferni Besseli. Povej česa ne razumeš, povej kje si ti ustavi in to bomo že pomagali. Če ne jaz, pa shrink verjetno ve kako se tej stvari streže.
Torej bi mogu bit nastavek za tvojo rešitev podoben temu:
\(T(r,t)=Aj_0(kr)e^{-k^2Dt}\)
Namreč ker nimaš kotne odvisnosti ponavadi takoj sledi, da bo to ničta Besselova funckija. Zgolj zaradi enostavnosti, ti priporočam, da se tej rešitvi odšteješ konstanto (to lahko vedno, ker je itak je odvod konstante enak 0). S tem si ti začetni pogoj bistveno poenostavi. Torej je nastavek
\(T(r,t)=Aj_0(kr)e^{-k^2Dt}-T_0\) in začetni pogoj
\(T(r,t=0)=T_0-T_0=0\)
Kar se tiče pa nehomogenega dela diferencialne parcialne enačbe, ki jo rešuješ, torej
\(\frac{\partial T}{\partial t}-D\nabla ^2T=\frac{q}{\rho c_p}\)
je pa tako, da boš moral nehomogeni del razviti po lastnih funkcijah (eigenfunction expansion), ki so v tem primeru sferni Besseli. Povej česa ne razumeš, povej kje si ti ustavi in to bomo že pomagali. Če ne jaz, pa shrink verjetno ve kako se tej stvari streže.
Re: Ohlajanje kroglice
Mogoče bi mogel že na začetku napisat kako sem se sam lotil reševanja in kje se mi je zataknilo, vendar nisem prepričan ali sem izbral pravilno pot in če sem preišel do pravilnih rezultatov, zaradi tega nisem hotel vplivati na morebitne sogovornike v temi, da ne bi privzeli kakšnih mojih napačnih sklepov/rezultatov.
Moj potek dela in rezultati je nekako sledeč:
Problem:
\(D\nabla ^2T=\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{q}{\rho c_p}\)
q = konst (po času in kraju), prav tako sta konst. gostota in toplotna prevodnost.
Robni pogoj:
\(j(r=R_z, t)=j^* \hat{e_r}\)
kjer je \(j^*=\sigma T^4\) in \(j=-\lambda \nabla T\)
Začetni pogoj:
\(T(r,t=0)=T_0\)
Reševanje:
Iz 1. Greenove formule sledi, da je (ob ustreznih robnih pogojih) operator \(-\nabla ^2\) pozitivno definiten (realne lastne vrednosti, lastne funkcije tvorijo poln prostor).
Temperaturo torej razvijem po teh lastnih funkcijah, zaradi simetrije problema v sfernih koordinatah.
Rešujem enačbo: \(-\nabla ^2T=k^2 T\)
še separacija spremenljivk: \(T(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)\)
to sem razpisal in po nekaj korakih prišel do rezultata:
\(R_l(r)=C_1 j_l(k r)+C_2 n_l(k r)\) in
\(Y_{l m}(\theta,\phi)=(-1)^m\sqrt{\frac{(2l+1) (l-m)!}{4\pi (l+m)!}}P_l^m(Cos(\theta))e^{i m \phi}\)
kjer sta \(j_l\) in \(n_m\) krogelni Besslova in Neumanova funkcija, \(P_l\) pa Legendrov polinom.
Iz simetrije problema sledi, da ni kotne odvisnosti, torej: m=0 in l=0.
Ostane le še radialni del, odpade tudi \(n_0\) ker divergira pri r=0.
Tako ostane: \(T(r)=C_1 j_0 (k r)\)
Tukaj pa se mi zatakne, ker ne vidim nobenega pametnega argumenta za razvoj po lastnih funkcijah oz. da bo to razvil v vrsto. Prav tako ne vem kako se lotit časovnega dela, mislim, da to kar si ti napisal ni pravilno. Ne dobi časovni del nek prispevek še zaradi izvorov toplote? V glavnem tukaj se mi zatakne... Mislim, da se da časovni del rešit tako, da potem kot zadevo razviješ v vrsto enostavno rečeš, da so koeficienti odvisni od časa in potem rešiš to diferencialno enačbo za koeficiente. Ampak kot sem že rekel ne vidim nobenega pametnega argumenta za razvoj v vrsto tako da mogoče ta metoda ni dobra.
Moj potek dela in rezultati je nekako sledeč:
Problem:
\(D\nabla ^2T=\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{q}{\rho c_p}\)
q = konst (po času in kraju), prav tako sta konst. gostota in toplotna prevodnost.
Robni pogoj:
\(j(r=R_z, t)=j^* \hat{e_r}\)
kjer je \(j^*=\sigma T^4\) in \(j=-\lambda \nabla T\)
Začetni pogoj:
\(T(r,t=0)=T_0\)
Reševanje:
Iz 1. Greenove formule sledi, da je (ob ustreznih robnih pogojih) operator \(-\nabla ^2\) pozitivno definiten (realne lastne vrednosti, lastne funkcije tvorijo poln prostor).
Temperaturo torej razvijem po teh lastnih funkcijah, zaradi simetrije problema v sfernih koordinatah.
Rešujem enačbo: \(-\nabla ^2T=k^2 T\)
še separacija spremenljivk: \(T(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)\)
to sem razpisal in po nekaj korakih prišel do rezultata:
\(R_l(r)=C_1 j_l(k r)+C_2 n_l(k r)\) in
\(Y_{l m}(\theta,\phi)=(-1)^m\sqrt{\frac{(2l+1) (l-m)!}{4\pi (l+m)!}}P_l^m(Cos(\theta))e^{i m \phi}\)
kjer sta \(j_l\) in \(n_m\) krogelni Besslova in Neumanova funkcija, \(P_l\) pa Legendrov polinom.
Iz simetrije problema sledi, da ni kotne odvisnosti, torej: m=0 in l=0.
Ostane le še radialni del, odpade tudi \(n_0\) ker divergira pri r=0.
Tako ostane: \(T(r)=C_1 j_0 (k r)\)
Tukaj pa se mi zatakne, ker ne vidim nobenega pametnega argumenta za razvoj po lastnih funkcijah oz. da bo to razvil v vrsto. Prav tako ne vem kako se lotit časovnega dela, mislim, da to kar si ti napisal ni pravilno. Ne dobi časovni del nek prispevek še zaradi izvorov toplote? V glavnem tukaj se mi zatakne... Mislim, da se da časovni del rešit tako, da potem kot zadevo razviješ v vrsto enostavno rečeš, da so koeficienti odvisni od časa in potem rešiš to diferencialno enačbo za koeficiente. Ampak kot sem že rekel ne vidim nobenega pametnega argumenta za razvoj v vrsto tako da mogoče ta metoda ni dobra.
Re: Ohlajanje kroglice
Trenutno sicer nimam papirja pri roki, da bi izračunal do konca ampak ideja je taka.
Najprej je treba poiskat stacionarno stanje - če tega ni ali ne obstaja, potem je brezpredmetno reševati dalje.
Tvoj nastavek
\(D\nabla^2 T(r,\varphi,\vartheta)=\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{q}{\rho c_p}\)
je ok. Za stacionarno stanje rešuješ
\(D\nabla^2 T(r,\varphi,\vartheta)=-\frac{q}{\rho c_p}\)
česar rešitev v sferičnih koordinatah in za neodvisnost od polarnega ter azimutnega kota je
\(T(r)=Aj_0(kr)+Bn_0(kr).\)
Tu je, kot si že sam ugotovil, zaradi lastnosti neumannovih funkcij B=0.
Tvoj robni pogoj pravi, da je
\(j(r=R)=\sigma T(r=R)^4=-\lambda \nabla T(r=R).\)
Predlagam torej da poiščeš stacionarno rešitev in nato poskušama ugotovit časovni potek.
Najprej je treba poiskat stacionarno stanje - če tega ni ali ne obstaja, potem je brezpredmetno reševati dalje.
Tvoj nastavek
\(D\nabla^2 T(r,\varphi,\vartheta)=\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{q}{\rho c_p}\)
je ok. Za stacionarno stanje rešuješ
\(D\nabla^2 T(r,\varphi,\vartheta)=-\frac{q}{\rho c_p}\)
česar rešitev v sferičnih koordinatah in za neodvisnost od polarnega ter azimutnega kota je
\(T(r)=Aj_0(kr)+Bn_0(kr).\)
Tu je, kot si že sam ugotovil, zaradi lastnosti neumannovih funkcij B=0.
Tvoj robni pogoj pravi, da je
\(j(r=R)=\sigma T(r=R)^4=-\lambda \nabla T(r=R).\)
Predlagam torej da poiščeš stacionarno rešitev in nato poskušama ugotovit časovni potek.