Racionalna interpolacijska funkcija

[Večna študentka]

Lep pozdrav!

Učim se interpolacijo funkcij (predmet numerične metode) in pridem do problema v eni nalogi, ko ne vem kako odreagirati naprej. Malo sem že iz prakse, ker se že kakih 5 let nisem pritaknila nič za študij. No, bolje pozno kot nikoli, želim razumeti za kaj gre. Naloga je sicer mišljena za Matlab, samo najprej moram razumeti sploh.

Določit je potrebno interpolacijsko racionalno funkcijo \(R_{n,m}(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) za funkcijo \(f(x)\) na intervalu \([a,b]\) v izbranih interpolacijskih točkah \(x_i \in [a,b]\) za \(i = 0, 1, ..., n+m\), tako, da izračunam sistem enačb:

• \(P_n(x_i) - f(x_i)Q_m(x_i) = 0\) za \(i = 0, 1, ... n+m\).

Pri tem upoštevam, da je:

• \(P_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n\)

• \(Q_m(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_mx^m\)

• \(r = n + m\)

Podatki:
\(f(x) = tan(x), x \in [0,\frac{\pi}{2}]\)

Za interpolacijske točke pa moram narediti:
a) ekvidistantne točke: \(x_i = a + i(\frac{b-a}{r})\) za \(i = 0, 1, ..., r\)

Da ne delam na prevelikih stopnjah polinomov sem si zbrala \(n = 1\) in \(m = 1\), zato je tudi \(r = 2\).
OK, mislim, da sem pri primeru a) prav razmišljala do tu...(vstavila sem a,b in i v formulco za ekvidistantne tč. \(a = 0, b = \pi/2\))

• \(x_0 = 0\)

• \(x_1 = \frac{\pi}{4}\)

• \(x_2 = \frac{\pi}{2}\)

Zdaj pa se zaplete, ko želim dobit enačbe.

Iz prve enačbe \(P_1(x_0) - f(x_0)Q_1(x_0) = 0\) dobim, da je \(a_0 = 0\), ker \(0 - 0*1 = 0\). Druga interpolacijska točka je \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) in \(tan(\frac{\pi}{4}) = 1\). Ok, torej lahko še nekaj zračunam. Ker je \(a_0 = 0\), ga ne upoštevam v naslednji enačbi in, če malo premečem zadeve, izrazim \(a_1 = \frac{\pi}{4}+b_1\).

V tretji enačbi pa nič ne morem naredit, ker je \(tan(\frac{\pi}{2}) = \infty\)

Torej, kje sem zgrešila point? Ker tudi, če ni rešitve za \(R_{1,1}(x)\), jo verjetno ni tudi za \(R_{0,2}(x)\) in \(R_{2,0}(x)\), ker še vedno me moti \(tan(\frac{\pi}{2}) = \infty\).

Ima kdo kakšno idejo morda kako bi izračunala koeficiente polinomov \(P_n(x)\) in \(Q_m(x)\) ? Kakršen koli napotek bi bil več kot dobrodošel.

[shrink]

Tangens v \(x=\frac{\pi}{2}\) ni definiran (ima pol), zato moraš za \(b\) vzeti \(x=\frac{\pi}{2}-\delta\), kjer je \(\delta > 0\) (neko majhno pozitivno število).

[Večna študentka]

shrink, hvala za hiter odgovor.

Upoštevala sem nasvet in sem b zmanjšala za \(\delta = \frac{\pi}{18}\)

Zdaj se mi pa tudi interpolacijske točke spremenijo, da še vedno ekvidistantnost velja:

• \(x_0 = 0\)

• \(x_1 = \frac{2\pi}{9}\)

• \(x_2 = \frac{4\pi}{9}\)

zato se spremenijo tudi enačbe in sicer nekaj dobim, samo, ko vstavim te koeficiente v Mathematico, da mi zriše funkcijo poleg \(tan(x)\) pa ne vidim, da bi bila to sploh kakšna aproksimacija.

Če izračunam numerično na par decimalk dobim \(a_0 = 0, a_1 \doteq 9.7449, b_1 \doteq -2.5235\)

Torej, moja \(R_{n,m}(x)\) naj bi bila \(\frac{9.7449x}{1-2.5235x}\)

Ampak slika pa je takšna

A ni point interpolacijskega polinoma, da najdem takšnega, ki najbolj aproksimira dano funkcijo na nekem intervalu? Se pravi bi moja nova funkcija mogla sekat v toliko točkah kot je interpolacijskih točk, kajne? Kje sem ga polomila spet?

[shrink]

Dva koeficienta sta napačno izračunana; pravilni vrednosti sta:

\(a_1\approx 0.705317\)

\(b_1\approx -0.591831\)

[shrink]

P.S. Izbrana interpolacijska racionalna funkcija ima pol v \(x=-\frac{1}{b_1}\). Pri interpolaciji tangensa je ta tem bližje \(\pi\over 2\), čim manjši je izbrani \(\delta\). Lahko pa seveda fiksiramo \(\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{b_1}\), kar je ekvivalentno: \(Q(x_2)=0\), če je \(x_2=\frac{\pi}{2}\). Če eno od enačb v sistemu nadomestimo na ta način, interpolacijska funkcija natančno opisuje obnašanje interpolirane funkcije v polu.

[Večna študentka]

shrink ful ti hvala za pomoč!!

Za hec sem naredila za \(x_i \in [0,\frac{\pi}{4}]\) za \(f(x) = tan(x)\)

in mi je prišel tak graf (da ne pišem vseh izračunov) pri izračunanih koeficientih \(a_0 = 0, a_1 \doteq 0,67, b \doteq -0.95\) in tu mi je očitno, da se grafa pokrivata in, da je izračun ok.

Torej ja, zafrknem pri izbiri \(\delta\), ker je čist prevelik in pola preveč odstopata en od drugega.

P.S. Izbrana interpolacijska racionalna funkcija ima pol v \(x=-\frac{1}{b_1}\). Pri interpolaciji tangensa je ta tem bližje \(\pi\over 2\), čim manjši je izbrani \(\delta\). Lahko pa seveda fiksiramo \(\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{b_1}\), kar je ekvivalentno: \(Q(x_2)=0\), če je \(x_2=\frac{\pi}{2}\). Če eno od enačb v sistemu nadomestimo na ta način, interpolacijska funkcija natančno opisuje obnašanje interpolirane funkcije v polu.

Tole ja ^^

Nč, grem se učit

[Večna študentka]

Zdaj sem naredila takole, da sem si za \(\delta\) zbrala:

\(\delta = 0,00000963267\), ampak, ker je kar majhen, sem si dovolila, da ga ignoriram pri vseh izračunih razen pri \(tan(x_2)\).

Tako sem si nastavila potem enačbe:

• \(a_0 = 0\)

• \(\frac{\pi}{4}a_1 - tan(\frac{\pi}{4})(1 + \frac{\pi}{4}b_1) = 0 \Rightarrow a_1 = \frac{4+\pi b_1}{\pi}\)

• \(\frac{\pi}{2}\frac{4+\pi b_1}{\pi} - tan(\frac{\pi}{2}-\delta)(1 + \frac{\pi}{2}b_1) = 0 \Rightarrow b_1 = \frac{2}{\pi} \frac{tan(\frac{\pi}{2}-\delta)-\frac{2}{\pi}}{1-tan(\frac{\pi}{2}-\delta)} \doteq -0,6366\), od tod potem sledi, da \(a_1 \doteq 0,6366\)

In je moja funkcija potem taka

\(R_{n,m} = \frac{0,6366x}{1-0,6366x}\)

Slika pa je taka:

Tole mi zdaj deluje pravilno. Funkciji se sekata v dveh točkah, ki ju vidimo, tretja pa je itak tam nekje gor visoko. Ampak niso pa zajeti tisti x-i od \(\frac{\pi}{2}-\delta\) naprej. Al to ne igra nobene vloge več?

[shrink]

Interpolacijska krivulja se s funkcijsko krivuljo itak ujema le v interpolacijskih točkah (v tvojem primeru v treh: \(x=0\), \(x=\frac{\pi /2-\delta}{2}\) in \(x=\pi /2-\delta\)), v ostalih pa več ali manj odstopata.

Če želiš, da se ujemata v polu, narediš tako, kot sem svetoval - za \(x_2=\frac{\pi}{2}\) uporabiš enačbo:
\(Q_1(x_2)=0\). Ta izhaja iz osnovne enačbe, če v njej vidiš : \(Q_1(x_2)=\frac{P_1(x_2)}{f(x_2)}\to 0\), če \(f(x_2)\to\infty\). Tako dobiš:

\(\displaystyle R_{1,1}(x)=\frac{\frac{2}{\pi}x}{1-\frac{2}{\pi}x}\).

[Večna študentka]

Če želiš, da se ujemata v polu, narediš tako, kot sem svetoval - za \(x_2=\frac{\pi}{2}\) uporabiš enačbo:
\(Q_1(x_2)=0\). Ta izhaja iz osnovne enačbe, če v njej vidiš : \(Q_1(x_2)=\frac{P_1(x_2)}{f(x_2)}\to 0\), če \(f(x_2)\to\infty\). Tako dobiš:

\(\displaystyle R_{1,1}(x)=\frac{\frac{2}{\pi}x}{1-\frac{2}{\pi}x}\).

Ajaaaaaaaa, seveda. Jasno. Najlepša ti hvala shrink! Legenda si!