Elementarna teorija števil

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Elementarna teorija števil

Odgovor Napisal/-a delta »

Kako se reši enačba 4. stopnje:
\(4R^4+12R^3+9R^2-18 \cdot 27 R-27^2=0\)? Ali kdo ve? Hvala :)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Elementarna teorija števil

Odgovor Napisal/-a shrink »

Poskušaš s faktorizacijo:

\(4R^4+12R^3+9R^2-486R-729=R^2(4R^2+12R+9)-243(2R+3)=R^2(2R+3)^2-243(2R+3)=(2R+3)(R^2(2R+3)-243)\)

Desni faktor zmnožiš in faktoriziraš z "brute force":

\(2R^3+3R^2-243=(2R+a)(R^2+bR+c)=2R^3+(a+2b)R^2+(ab+2c)R+ac\)

Primerjava koeficientov ti da sistem enačb:

\(a+2b=3\)
\(ab+2c=0\)
\(ac=-243\)

z rešitvami:

\(a=-9\), \(b=6\) in \(c=27\).

Preostali polinom druge stopnje je v realnem nerazcepen.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Elementarna teorija števil

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala za odgovor. Približno razumem. Tam, kjer se vpelje \(a, b, c\) se pa ne bi spomnila.
Zanima me še:
1. Zakaj ostane polinom 2. stopnje, kje to vidimo?
2. "brute force"... na predavanjih se sprašujem kaj točno to pomeni (da nekaj narediš 'na silo'?)

Ena druga naloga.
Poišči naravne rešitve enačbe:
\(16x+17y+40z=140\), opazim, da mora biti \(y=4k\) in dobim enačbo \(4x+17k+10z=35\), kako pa dalje? hm :?
Hvala za pomoč :).

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Elementarna teorija števil

Odgovor Napisal/-a shrink »

1. Polinom druge stopnje \(R^2+bR+c\) je eden od faktorjev v zadnjem razcepu in ga za \(b=6\) in \(c=27\) nadalje v realnem ni več mogoče razcepiti (pač nima realnih ničel).

2. No, to je le sinonim za uporabo nastavkov in podobnega: v tem primeru pač nastaviš razcep z neznanimi koeficienti (razen vodilnih), zmnožiš in primerjaš koeficiente. Podobno postopaš pri integralih racionalnih funkcij (ekspanzija na parcialne ulomke), kjer neznane koeficiente v števcih parcialnih ulomkov tudi lahko tako določaš.

V zvezi z diofantsko enačbo pa si že dobila odgovor:

viewtopic.php?p=80680#p80680

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Elementarna teorija števil

Odgovor Napisal/-a delta »

Pokaži: Če je \(h\) največji skupni delitelj števil \(a\) in \(b\), obstajata taki celi števili \(a\) in \(b\), da je \(ap+bq=h\). Za konkreten primer vidim, da je tako, da pač najprej izračunaš največji skupni delitelj, potem pa tisti zadnji ostanek izraziš z \(a\) in \(b\) in imaš. Samo, kako pa v splošnem to narediš?


Odgovori