Dober dan,
nujno bi rabil pomoč pri nastavitvi diferencialnih enačb za vzporedno RLC vezavo, ter za vzporedno RL vezavo s tem, da je pred tuljavo
še vezan ohmski upor.
splošna diferencialna enačba za zaporedno RLC vezavo je: \(\begin{equation}
\frac{dl}{dt} + 2\beta * \frac{de}{dt} + \omega^{2}*e=0
\end{equation}\)
Izpeljava za zgornjo enačbo je enostavna, saj izhajamo iz Kirchhofovega zakona. Kako pa pridem do nje za vzporedno vezavo?
Hvala za pomoč!
Diferencialne enačbe RLC vezav
Re: Diferencialne enačbe RLC vezav
Tudi za vzporedno RLC vezavo je osnova Kirchhoffov zakon, le da tisti, ki pravi, da je vsota tokov v vozlišču enaka 0 oz. da se tok deli po vzporedno vezanih elementih, napetost pa imajo enako:
\(I=I_R+I_L+I_C=U(1/R+1/Z_L+1/Z_C)=U/Z\).
Impedanci sta (če uporabimo operatorski račun; glej npr. tukaj):
\(Z_L=LD\) in \(Z_C=1/CD\),
tako da je skupna impedanca Z za vzporedno RLC vezavo:
\(1/Z=1/R+1/LD+CD\)
oz.
\(Z=\frac{RLCD^2+LD+R}{RLD}\),
kar da, če vstavimo v zvezo na vrhu, diferencialno enačbo:\(\)
\(RLCD^2I+LDI+RI=RLDU\)
oz.
\(\displaystyle RLC\frac{d^2I}{dt^2}+L\frac{dI}{dt}+RI=RL\frac{dU}{dt}\).
Če je napetost konstantna, potem je desni člen enak 0. Če še delimo enačbo z RLC, dobimo homogeno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti:
\(\displaystyle \frac{d^2I}{dt^2}+2\beta\frac{dI}{dt}+\omega_0^2I=0\)
z \(\beta=\frac{1}{2RC}\) in \(\omega_0^2=\frac{1}{LC}\).
Na obliko, ki si jo podal za zaporedno vezavo, jo predelaš, če upoštevaš \(I=\frac{de}{dt}\) in jo enkrat integriraš po \(dt\) pri ustreznih začetnih pogojih.
\(I=I_R+I_L+I_C=U(1/R+1/Z_L+1/Z_C)=U/Z\).
Impedanci sta (če uporabimo operatorski račun; glej npr. tukaj):
\(Z_L=LD\) in \(Z_C=1/CD\),
tako da je skupna impedanca Z za vzporedno RLC vezavo:
\(1/Z=1/R+1/LD+CD\)
oz.
\(Z=\frac{RLCD^2+LD+R}{RLD}\),
kar da, če vstavimo v zvezo na vrhu, diferencialno enačbo:\(\)
\(RLCD^2I+LDI+RI=RLDU\)
oz.
\(\displaystyle RLC\frac{d^2I}{dt^2}+L\frac{dI}{dt}+RI=RL\frac{dU}{dt}\).
Če je napetost konstantna, potem je desni člen enak 0. Če še delimo enačbo z RLC, dobimo homogeno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti:
\(\displaystyle \frac{d^2I}{dt^2}+2\beta\frac{dI}{dt}+\omega_0^2I=0\)
z \(\beta=\frac{1}{2RC}\) in \(\omega_0^2=\frac{1}{LC}\).
Na obliko, ki si jo podal za zaporedno vezavo, jo predelaš, če upoštevaš \(I=\frac{de}{dt}\) in jo enkrat integriraš po \(dt\) pri ustreznih začetnih pogojih.