Poliedri

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

1. naloga: v pravilnem dodekaedru (t.j. sestavljen je iz 12 stranskih ploskev, ki so pravilni 5-kotniki in skladni, ter lahko ga včrtamo v kroglo) poišči kot med stranskima ploskvama s skupnim robom.
Pri reševanju se vprašam, kakšna je povezava med polmerom krogle (v katero je dodekaeder včrtan) in pa stranico 5-kotnika.?
Za izračun kota potrebujem razdaljo med središčema med sosednjima 5-kotnikoma. Kako naj to izračunam ali pa je to formula?

2. naloga: V pravilnem ikozaedru poišči kot med stranskima ploskvama s skupnim robom in kot med robovoma, ki se stikata v oglišču, a ne ležita na isti stranski ploskvi.

Prosim za pomoč, če kdo ve, hvala. :)

derik
Prispevkov: 2043
Pridružen: 6.3.2010 9:04

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a derik »

1. Jaz bi si pomagal z izračunom trikotnika z oglišči v središčih telesa, ploskve in roba. Dve stranici tega trikotnika sta podani z notranjim in srednjim radijem krogle.

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a Zajc »

1. Pogledaš 3 petkotnike, ki se stikajo v oglišču T: ATBDE, BTCFG, CTAHI. Treba je izračunati kot med ravninama ATB in BTC. Namesto petkotnikov zdaj gledaš tristrano piramido, napeto na točke A, B, C, T. Robove te piramide znaš izračunati, zanima pa te kot BA'C, kjer je A' pravokotna projekcija točke B (ali C) na rob AT. To pa tudi ni problem.

Polmer krogle se potem najhitreje izračuna iz tega (in ne obratno).

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a Zajc »

2. Podobna zgodba kot prej. Izbereš oglišče T in pogledaš vse trikotnike, ki imajo T za oglišče. Trikotniki tvorijo 5-strano piramido, katere robove lahko hitro izračunaš. Potem pa še projiciraš točke, podobno kot prej, in odtod izračunaš kote, po katerih sprašuje naloga.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala...,hm, ja, po postopku bi znala izračunat, ampak zakaj si pomagamo s piramido in zakaj je iskani kot v točki pravokotne projekcije? Zmede me osnovna ploskev piramide, kaj sploh ta ravnina pomeni (oz. najbrž je ravno to problem, ker jo gledam)? Zakaj potem pravokotna projekcija pa ne razumem? Ali lahko prosim še malce razložite, zakaj je tako? In zakaj potrebujem robove piramide, kaj iz njih izračunam?
To, da moram izračunat kot med stranskima ploskvama piramide, to vidim, samo zakaj pravokotna proj. ne vem...?
Je res, da je pri 2. nalogi rob piramide, kar stranica ikozaedra?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:Hvala...,hm, ja, po postopku bi znala izračunat, ampak zakaj si pomagamo s piramido in zakaj je iskani kot v točki pravokotne projekcije? Zmede me osnovna ploskev piramide, kaj sploh ta ravnina pomeni (oz. najbrž je ravno to problem, ker jo gledam)? Zakaj potem pravokotna projekcija pa ne razumem? Ali lahko prosim še malce razložite, zakaj je tako? In zakaj potrebujem robove piramide, kaj iz njih izračunam?
To, da moram izračunat kot med stranskima ploskvama piramide, to vidim, samo zakaj pravokotna proj. ne vem...?
Je res, da je pri 2. nalogi rob piramide, kar stranica ikozaedra?
Zakaj piramida? Zato ker pomaga pri reševanju naloge. V nalogi je treba nekako uporabiti ključen podatek o zgradbi dodekaedra, to pa je, da se v vsakem oglišču stikajo 3 petkotniki. Zato pogledaš tristrano piramido z vrhom v enem od oglišč.

Zakaj pravokotna projekcija? Ker je to eden od načinov za določanje kota med ravninama. Če sta dani dve ravnini, potem kot med njima lahko določiš tako, da si pogledaš presečno premico, na njej izbereš točko A, potem pa izbereš še eno točko T na prvi ravnini, tako da je TA pravokotna na presečno premico, in eno točko T' na drugi ravnini, tako da je T'A pravokotna na presečno premico. Kot TAT' je iskani kot. Mislim, da mora biti iz slike jasno, zakaj je potreben pogoj o pravokotnosti.

Ja, pri prvi nalogi ima piramida za osnovni rob diagonalo petkotnika, pri drugi pa je osnovni rob stranica trikotnika.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

Ahaaa, ja, zdaj vidim :). Če prav razumem, je \(A'=A, B=T, C=T'\), prej nisem videla, da moraš upoštevati pravokotnost obeh \(BA'\) in \(CA'\), sem razumela, da je samo bistvo, da dobiš \(A'\) (zakaj je to ravno kot med ravninama pa je bistveno, da obe pravokotni). Obe točki \(B\) in \(C\) se projecirata v isto točko \(A'\), ker je pravilna tristrana piramida, je res (simetrija)? S tem, da \(A'\) sploh ni nujno, da je na piramidi, važno, da je na nosilki daljice \(AT\).

Idejo razumem, pri izračunu imam spet nekaj težav. Npr., da označimo stranico 5-kotnika z \(a\). Najprej moram izračunati dolžino diagonale (s tem dobim osnovno stranico piramide), wiki :) pravi, da sta si stranica in diagonala v razmerju zlatega reza (\(d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a\)), ali vzamem to? Iz podobnih trikotnikov velja: \(d-a:a=a:d\).
Kako izračunamo pravokotno projekcijo v tem primeru (če imam na voljo dolžini)? Si pomagam z vektorji? Prosim še za malo pomoči, kako to izračunam. Hvala :)

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:Ahaaa, ja, zdaj vidim :). Če prav razumem, je \(A'=A, B=T, C=T'\), prej nisem videla, da moraš upoštevati pravokotnost obeh \(BA'\) in \(CA'\), sem razumela, da je samo bistvo, da dobiš \(A'\) (zakaj je to ravno kot med ravninama pa je bistveno, da obe pravokotni). Obe točki \(B\) in \(C\) se projecirata v isto točko \(A'\), ker je pravilna tristrana piramida, je res (simetrija)? S tem, da \(A'\) sploh ni nujno, da je na piramidi, važno, da je na nosilki daljice \(AT\).
Ja.
Idejo razumem, pri izračunu imam spet nekaj težav. Npr., da označimo stranico 5-kotnika z \(a\). Najprej moram izračunati dolžino diagonale (s tem dobim osnovno stranico piramide), wiki :) pravi, da sta si stranica in diagonala v razmerju zlatega reza (\(d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a\)), ali vzamem to? Iz podobnih trikotnikov velja: \(d-a:a=a:d\).
Hm, če upoštevaš wikipedijo in ostale internetne vire, potem so itak vse formule že tam (vključno s končnim rezultatom) in jih lahko samo prepišeš. Če pa se znajdeš na samotnem otoku, kjer ni wikipedije, pa diagonalo 5-kotnika ročno izračunaš s kosinusnim izrekom.
Kako izračunamo pravokotno projekcijo v tem primeru (če imam na voljo dolžini)? Si pomagam z vektorji? Prosim še za malo pomoči, kako to izračunam. Hvala :)
Lahko z vektorji, lahko brez njih. Brez vektorjev: zanima te kot BA'C. Dolžino roba BC poznaš, dolžina A'B=A'C pa je ravno višina trikotnika ABT (ali ACT). Višino trikotnika s 3 podanimi stranicami pa tudi znaš izračunati. Kot pa potem izračunaš po kosinusnem izreku.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala :), vse jasno, razen, nimam ideje, kako bi dobila višino iz 3 podanih stranic. Probala sem s podobnimi trikotniki,.. kako to dobiš?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:Hvala :), vse jasno, razen, nimam ideje, kako bi dobila višino iz 3 podanih stranic. Probala sem s podobnimi trikotniki,.. kako to dobiš?
Npr. s pomočjo formul za ploščino trikotnika.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

Aha, hvala :). Sem vzela Heronov obrazec in potem iz \(p= \frac{a \cdot v_a}{2}\) lahko izračunamo višino.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

Ikozaeder: Zanima me, če je tole prav. Kot med stranskima ploskvama s skupnim robom sem izračunala tako. Najprej je treba dobiti višino enakostraničnega trikotnika, ter diagonalo 5-kotnika, ker imamo vse tri stranice lahko izr. kot: \(x^2=2v^2 \cdot (1-\cos{\alpha})\), pri čemer sem z \(x\) označila diagonalo. To tudi znamo izračunat: \(x^2=2a^2 \cdot (1-\cos{108^o})\), dobim \(\alpha = 138,19^o\). Kot med nesosednjima robovoma pa dobimo podobno s kosinusnim izrekom: \(x^2= 2a^2 \cdot (1-\cos{\phi})\), dobim kar \(\phi =108^o\). Ali je to prav?

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Poliedri

Odgovor Napisal/-a delta »

Dodekaeder: Je kdo še kaj računal? js dobim tole: \(\cos {\alpha}= 1-\frac{x^2}{2 v^2}\), pri čemer je \(x^2=2a^2 \cdot (1-\cos {108^o})\), \(v^2=\frac{4p^2}{a^2}\), \(p^2=s (s-a)(s-a)(s-x)\), pri čemer je \(s= \frac{2a+x}{2}\). Ko vse te formule poberem skupaj, dobim: \(\cos{\alpha}= 1-\frac{1}{1+\cos{108^o}}\) in torej \(\alpha= 116,57^o\). Je to prav? Hvala :)

Odgovori