Kvarkadabra forum

Pozdravljeni,
pripravljam se na izpit in ob reševanju starih izpitov sem naletel na nekaj nalog, ki mi povzraočajo preglavice. Ne vem ali sem se prav lotil ali ne, zato bi prosil če bi lahko kdo pogledal in morda rešil da vidim postopek, ker nimam rešitev da bi lahko pogledal.

Tukaj so naloge:
http://shrani.najdi.si/?2Q/Pa/32VUedhO/mmath1.jpg

4. Naloga: a) preveriš po std. postopku. Najprej preveriš, če velja za \(n=1\) in nato \(n-> n+1\). Ko razpišeš za \(n+1\) namesto vseh členov, razen zadnjega napišeš \(\frac{n}{4n+1}\), daš na skupni imenovalec in dobiš, da velja za \(n+1\).
b) Konvergenco pokažeš s kvocientnim kriterijem, t.j. pokažeš, da je \(D_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\). Vsota je \(-\frac{1}{12}\).

Popravljam, vsota je \(\frac{1}{4}\), dobiš pa jo tako, da daš na parcialne ulomke, dobiš \(a=\frac{1}{4}\) in \(b=-\frac{1}{4}\), vsi členi razen prvega se odštejejo, ker je imenovalec drugega ulomka ravno za \(4\) večji od prvega imenovalca. Dobiš rezultat: \(S=1 \cdot \frac{1}{4}= \frac{1}{4}\).

Ker praviš, da nimaš rešitev, dobiš rešitve. Za ostalo pokaži najprej svoj poskus reševanja, da vidimo kje se ti zatika in nato bomo skupaj prišli do rezultata.

2. naloga:

Za x, ki so večji od 1 je limita enaka 2. ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E1 )
Za x, ki so manjši ai enaki 1 je limita enaka 4. ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E1 )

V točki x=1 ima torej funkcija f(x) skok.

3. Definicijsko območje je so vsi x, za katere velja \(x\in [-\sqrt 2, \sqrt 2]\), ničle so tri in sicer \(x\in \left \{ 0,-\sqrt 2, \sqrt 2 \right \}\), v točki (1,1) je maksimum, v točki (-1,-1) je minimum in v točki (0,0) je sedlo funkcije.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=xsqrt%282-x%5E2%29

Ploščina je enaka \(\frac 4 3 \sqrt 2\)

Zdravo! Potreboval bi pomoč pri tejle nalogi:
Izračunaj volumen rotacijskega telesa, ki ga dobimo tako, da graf funkcije \(f(x)=\sqrt{sinxsin(2x)cos(\frac{x}{2})}\) zavrtimo okoli x osi med dvema zaporednima ničlama funkcije f.
Nedoločeni integral bi morda vedel izračunati (čeprav imam težave z takšnimi integrali), ampak me najbolj zanima kako sploh priti do ničel funkcije, saj mi WolframAlpha vrže ven \(\frac{n\pi}{2}\), \(n\pi\) in \(2n\pi+\pi\). V bistvu sploh ne vem kaj si naj z temi ničlami začnem, po moje se nekje skriva kakšna fora. Zahvaljujem se za bilokakšno pomoč.

Najprej glede ničel \(f(x)\):

Ker je \(f(x)\) koren produkta 3 funkcij, so ničle teh 3 funkcij hkrati tudi ničle \(f(x)\), torej:

\(\displaystyle\sin x: n\pi\)

\(\displaystyle\sin 2x: \frac{n\pi}{2}\)

\(\displaystyle\cos \frac{x}{2}: (2n+1)\pi\)

Ker pa so ničle \(n\pi\) vsebovane v \(\frac{n\pi}{2}\) (za \(n=2k\), kjer je \(k\) celo št.) in ravno tako \((2n+1)\pi\) v \(\frac{n\pi}{2}\) (za \(n=2(2k+1)\), kjer je \(k\) celo št.), so ničle \(f(x)\) pravzaprav ničle \(\sin 2x\), torej: \(\frac{n\pi}{2}\). Zaporedni ničli sta tako: \(\frac{n\pi}{2}\) in \(\frac{(n+1)\pi}{2}\) oz. za \(n=0\): \(0\) in \(\frac{\pi}{2}\), kar sta tudi meji integrala.

Integral:

\(\displaystyle\int\sin x\sin 2x\cos \frac{x}{2} dx\)

pa najlažje rešiš tako, da produkt trigonometričnih funkcij prevedeš na vsoto:

\(\sin x\sin 2x\cos \frac{x}{2}=\)
\(=( \frac{1}{2}(\cos(2x-x)-\cos(2x+x)))\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(\cos x-\cos 3x)\cos \frac{x}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(\cos x\cos \frac{x}{2}-\cos 3x\cos \frac{x}{2})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\cos(x-\frac{x}{2})+\cos(x+\frac{x}{2}))+\frac{1}{2}(\cos(3x-\frac{x}{2})+\cos(3x+\frac{x}{2})))\)
\(=\frac{1}{4}(\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{5x}{2}+\cos\frac{7x}{2})\)

ki jo je zelo enostavno integrirati.

P.S. Določeni predznaki so napačni. Pravilno je:

\(\sin x\sin 2x\cos \frac{x}{2}=\)
\(=( \frac{1}{2}(\cos(2x-x)-\cos(2x+x)))\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(\cos x-\cos 3x)\cos \frac{x}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(\cos x\cos \frac{x}{2}-\cos 3x\cos \frac{x}{2})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\cos(x-\frac{x}{2})+\cos(x+\frac{x}{2}))-\frac{1}{2}(\cos(3x-\frac{x}{2})+\cos(3x+\frac{x}{2})))\)
\(=\frac{1}{4}(\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2}-\cos\frac{7x}{2})\)

shrink, zahvaljujem se ti za tvoj trud in čas !

Nujno bi potreboval pomoč še pri eni nalogi z integralom:
Z določenim integralom izpelji formulo za dolžino diagonale pravokotnika s stranicama a in b.

Kako se računa dolžina krivulje funkcije \(f(x)\) v mejah od \(a\) od \(b\), ti je najbrž znano:

\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Za tvoj primer moraš določiti \(f(x)\) v ustreznih mejah, ki določa diagonalo pravokotnika. Najlažje to storiš (nariši si!), če točko A pravokotnika postaviš v koordinatno izhodišče, tako da je B (a,0) in C(a,b). Ker je diagonala daljica AC, moraš določiti enačbo premice skozi ti dve točki. To bo tudi funkcija \(f(x)\), katere odvod \(f'(x)\) boš vstavil v gornji integral, ki bo seveda v mejah od \(0\) do \(a\). Njegov izračun bo moral seveda dati znan rezultat \(\sqrt{a^2+b^2}\).

Rešujem praktično nalogo iz Fourierjeve transformacije, pa me zanima če je pravilno:

\(\int_{-1}^{0} (1+t)e^{-j\omega t}dt=\)
\(\int_{-1}^{0} e^{-j\omega t} + t e^{-j\omega t}dt=\)
\(\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} + 0=\)
\(\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\)

Integral kjer je funkcija pomnožena z eksponentno funkcijo, sem pogledal v matematični priročnik. Vendar ne vem kako iz tega dobiš sinusoidno funkcijo, ki je izražena v frekvenčnem prostoru.

Hvala za pomoč.

Najprej, integral imaš narobe. Pomnožiš in razdeliš na dva integrala, prvega enostavno rešiš, ker je samo eksponentna funkcija, drugega pa s per partes metodo.

\(\int\limits_{-1}^{0}(1+t)e^{-j\omega t}dt=
\int\limits_{-1}^{0}e^{-j\omega t}dt+\int\limits_{-1}^{0}te^{-j\omega t}dt=
-\frac{1}{j\omega}e^{-j\omega t}\Big|_{-1}^{0}+\frac{t}{j\omega t}e^{-j\omega t}\Big|_{-1}^{0}+\frac{1}{j\omega}\int\limits_{-1}^{0}e^{-j\omega t}dt=
\frac{-1+e^{j\omega}-j\omega}{(j\omega)^2}\)

Najlepša hvala maxwell.

Zanima me še kako se izrazi funkcijo kot sinusoido? Ali uporabiš eulerjev obrazec?

Hvala.

Pozdravljeni,

lepo prosim za pomoč pri nalogi:
Kolikšna je možnost napake (v %), če smo izmerili rezultat:

a.) 0,1 cm

b.) 0,001 cm

odgovor naj bi bil v smislu 1% /10%/100%...
Tudi kakšno krajše pojasnilo ne bi škodilo, hvala!

Za smiselno statistično obravnavo potrebuješ vsaj deset meritev. Razen tega mora biti jasno, kaj je sploh mišljeno z "napako", kaj je namen meritve in ali ponavljaš meritve vedno na istem merjencu, ali pa vsakič na drugem.