Page 5 of 6

Re: matematika - pomoč

Posted: 13.10.2016 9:51
by urban2012
Zanima me, kdo oz. kaj določa smer vektorja in kako ga določimo? Ker nekje sem zaznal da smer določa enotski vektor pa sam nisem najbolj prepričan o tem.

Re: matematika - pomoč

Posted: 15.10.2016 13:07
by shrink
Ja, to drži, poljubnemu vektorju lahko priredimo enotski vektor, tako da velja:

\(\vec{a}=a\vec{e}_a\)

Za nasprotni vektor \(\vec{b}=-\vec{a}\Rightarrow b=a\) potem velja:

\(\vec{b}=-b\vec{e}_a\)

Re: matematika - pomoč

Posted: 18.10.2016 19:07
by DirectX11
Sedaj smo pri diferencialnih enačbah.

Zakaj če imamo zapisano homogeno diferecinalno enačbo, lahko vse odvode nadomestimo s spremeljivko "p", zaradi katerega nastane t.i karakteristični polinom.

Sem pogledal par youtube videjev, vendar tega nisem opazil nikjer, niti ne dokaza za to.

Pa pri splošni rešitvi piše, da ima natanko n prostih konstant. Kaj to pomeni? Proste konstante?






Hvala.

Re: matematika - pomoč

Posted: 19.10.2016 13:22
by shrink
Ah, to najdeš v vsakem učbeniku, pa tudi na spletu, npr. tukaj. Gre pač za to, da je rešitev linearne homogene dif. enačbe n-te stopnje s konstantni koeficienti linearna kombinacija rešitev oblike:

\(y(x)=e^{px}\).

Ta nastavek da karakteristični polinom za \(p\) n-te stopnje.

Zakaj je gornji nastavek rešitev, je jasno iz tega primera dif. en. prve stopnje:

\(y'(x)=y(x)\).

Iz tabele odvodov je jasno, da je očitna rešitev te enačbe \(y(x)=e^{x}\), po razmisleku pa tudi \(y(x)=Ce^{x}\), saj se \(C\) pokrajša. Konstanta \(C\) je prosta konstanta, ki kaže na to, da je rešitev te dif. en. družina funkcij. Če je poznana npr. točka \(y(x_0)\), je konstanta enolično določljiva.

Za bolj splošen primer:

\(a_1y'(x)=-a_0y(x)\)

gre z nastavkom:

\(y(x)=e^{px}\Rightarrow y'(x)=pe^{px}\),

kar da

\(a_1pe^{px}=-a_0e^{px}\)

oz. karakteristični polinom

\(a_1p+a_0=0\)

z rešitvijo

\(p=-\frac{a_0}{a_1}\).

Rešitev splošne oblike homogene linearne dif. en. prvega reda s konstantnimi koeficienti je tako:

\(\displaystyle y(x)=Ce^{-\frac{a_0}{a_1}x}\).

Podobno gre za dif. en. drugega reda, ki da karakteristični polinom druge stopnje, kjer pa sta poleg realnih ničel možni kompleksni ničli ali dvojna ničla. Za realni ničli \(p_1\) in \(p_2\) je rešitev

\(y(x)=C_1e^{p_1x}+C_2e^{p_2x}\),

za dvojno ničlo \(p\)

\(y(x)=C_1e^{px}+C_2xe^{px}\)

in za konjugirano kompleksni par ničel \(p_{1,2}=\lambda\pm\mu i\)

\(y(x)=C_1e^{\lambda x}\cos(\mu x)+C_2e^{\lambda x}\sin(\mu x)\).

Podobno gre za dif. en. n-te stopnje (glej gornji link), kjer je rešitev linearna kombinacija \(n\) členov (v osnovi eksponentne oblike), seveda z \(n\) "prostimi" konstantami.

Re: matematika - pomoč

Posted: 19.10.2016 20:01
by nplank
Zanima me ali mi zna kdo pomagati z naslednjo nalogo:
Število 20 ima neko zanimivo lastnost: vsako naravno število med 1 in 20 lahko zapišemo kot vsoto deliteljev števila 20 (pri čemer nastopa posamezni delitelj v vsoti kvečjemu enkrat). Na primer 7=5+2, 13=10+2+1, 19=10+5+4. Ali velja opisana lastnost za vsako naravno število n (t.j. da vsako naravno število med 1 in n lahko zapišemo kot vsoto med seboj različnih deliteljev števila n)?
Če velja kakšno pravilo, zakonitost, dokaz za tole?
Hvala!

Re: matematika - pomoč

Posted: 19.10.2016 21:59
by DirectX11
Hvala, vendar imam še podvprašanja:

Torej s temi nastavki se rešuje le linearne dif. enačbe?
Kot si napisal, če imamo n členov, potem imamo tudi n prostih konstant. Ampak, zakaj se rečejo "proste konstante"?

Če lahko še razložiš za partikularno rešitev, kako jo dobimo. Kakor razumem imamo tablico nastavkov, kjer izberemo ustreznega in rešimo enačbo.

Ampak ne razumem, kako izberemo ter namesto česa vstavimo.

Re: matematika - pomoč

Posted: 21.10.2016 12:30
by shrink
DirectX11 wrote:Torej s temi nastavki se rešuje le linearne dif. enačbe?
Linearne s konstantnimi koeficienti. Nelinearne so le redko analitično rešljive, če koeficienti niso konstante, pa seveda eksponentni nastavek ne more biti rešitev, kot lahko vidiš že na primeru enačbe prvega reda.
Kot si napisal, če imamo n členov, potem imamo tudi n prostih konstant. Ampak, zakaj se rečejo "proste konstante"?
Zato ker se do rešitev diferencialnih enačb pride v splošnem z nedoločenim integriranjem, ki pač producira proste konstante oz. rešitve v obliki družin funkcij. Za že naveden primer:

\(y'(x)=y(x)\Rightarrow\frac{dy}{dx}=y\)

klasično postopaš takole:

1. Ločevanje spremenljivk:

\(\frac{dy}{y}=dx\)

2. Nedoločeno integriranje:

\(\int\frac{dy}{y}=\int dx\)

\(\ln y=x+D\)

To je že rešitev dif. en., ki ima na desni strani prosto konstanto D, v katero sta združeni obe prosti integracijski konstanti nedoločenih integralov leve in desne strani. Če se jo še "antilogaritmira", sledi:

\(y=e^{x+D}=e^x\cdot e^D=Ce^x\)

Prosta konstanta C torej izhaja iz konstante D, ki je posledica nedoločenega integriranja.
Če lahko še razložiš za partikularno rešitev, kako jo dobimo. Kakor razumem imamo tablico nastavkov, kjer izberemo ustreznega in rešimo enačbo.

Ampak ne razumem, kako izberemo ter namesto česa vstavimo.
Partikularno rešitev se lahko določi z več prijemi: z nastavkom, z variacijo konstante itd. Spet priporočam, da vzameš v roke kak učbenik.

Re: matematika - pomoč

Posted: 21.10.2016 13:37
by shrink
nplank wrote:Zanima me ali mi zna kdo pomagati z naslednjo nalogo:
Število 20 ima neko zanimivo lastnost: vsako naravno število med 1 in 20 lahko zapišemo kot vsoto deliteljev števila 20 (pri čemer nastopa posamezni delitelj v vsoti kvečjemu enkrat). Na primer 7=5+2, 13=10+2+1, 19=10+5+4. Ali velja opisana lastnost za vsako naravno število n (t.j. da vsako naravno število med 1 in n lahko zapišemo kot vsoto med seboj različnih deliteljev števila n)?
Če velja kakšno pravilo, zakonitost, dokaz za tole?
Hvala!
Namig: preveri, če velja ta lastnost za število 19.

Re: matematika - pomoč

Posted: 25.10.2016 20:51
by krennorc
Bi mi lahko nekdo pomagal s tem primerom? Rad bi sam postopek oz. namige, ker, če ne vem kako priti do rezultata, nisem naredil nič :D Najlepša hvala!
Lesnina proizvaja dva tipa lesenih igrač: vojake in vlakce. Z izdelavo vojaka, ki se prodaja za 27€, je 10€ stroškov za material in 14€ stroškov za delo. Z izdelavo vlakca, ki se prodaja za 21€, je 9€ stroškov za material in 10€ stroškov za delo. Proizvodnja vojakov in vlakcev zahteva dve vrsti obdelave: izdelavo in barvanje. Za izdelavo vojaka sta potrebni 2 uri barvanja in 1 ura izdelave. Za izdelavo vlakca je potrebna 1 ura barvanja in 1 ura izdelave. Vsak teden lahko Lesnina izvede 100 ur barvanja in 80 ur izdelovanja. Povpraševanje za vlakce je neomejeno medtem, ko se na teden proda največ 40 vojakov. Lesnina želi povečati tedenski profit (prodaja – stroški).

Re: matematika - pomoč

Posted: 26.10.2016 16:01
by derik
krennorc wrote:Bi mi lahko nekdo pomagal s tem primerom? Rad bi sam postopek oz. namige, ker, če ne vem kako priti do rezultata, nisem naredil nič :D Najlepša hvala!
Lesnina proizvaja dva tipa lesenih igrač: vojake in vlakce. Z izdelavo vojaka, ki se prodaja za 27€, je 10€ stroškov za material in 14€ stroškov za delo. Z izdelavo vlakca, ki se prodaja za 21€, je 9€ stroškov za material in 10€ stroškov za delo. Proizvodnja vojakov in vlakcev zahteva dve vrsti obdelave: izdelavo in barvanje. Za izdelavo vojaka sta potrebni 2 uri barvanja in 1 ura izdelave. Za izdelavo vlakca je potrebna 1 ura barvanja in 1 ura izdelave. Vsak teden lahko Lesnina izvede 100 ur barvanja in 80 ur izdelovanja. Povpraševanje za vlakce je neomejeno medtem, ko se na teden proda največ 40 vojakov. Lesnina želi povečati tedenski profit (prodaja – stroški).
Kaj je že bilo vprašanje, koliko igrač izdelati za maksimalni profit?

Ker je profit na uro dela pri obeh igračkah enak (1€), je važno doseči le to, da so vse razpoložljive delovne kapacitete izkoriščene, ob pogoju, da vojakov ni več kot 40.

Čas barvanja v urah: \(100=N_{vojakov}*2+N_{vlakcev}*1\)
Čas izdelave v urah: \(80=N_{vojakov}*1+N_{vlakcev}*1\)

To ti da 20 vojakov in 60 vlakcev ter profit 180€.

Re: matematika - pomoč

Posted: 26.10.2016 21:13
by shrink
Ni nujno, da je ob maksimalno izkoriščenih kapacitetah profit največji. Pravzaprav gre za klasičen problem linearnega programiranja z omejitvami:

\(2x+y\le 100\)
\(x+y\le 80\)
\(x\le 40\)
\(x\ge 0\)
\(y\ge 0\)

in kriterialno funkcijo (maksimalen profit):

\(\rm{max}\{ 3x+2y\}\),

kjer je \(x\) št. izdelanih vojakov in \(y\) št. vlakcev.

Ker je problem dvodimenzionalen, ga je možno rešiti tudi grafično, sicer pa se v splošnem rešuje z metodo simplex.

Izkaže se, recimo z uporabo WolframAlpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 0%2F%2F%5D

da je res optimalna rešitev (\(x=20\), \(y=60\)) z maksimalno izkoriščenimi kapacitetami.

Še link na widget za lažji vnos podatkov:

http://www.wolframalpha.com/widget/widg ... theme=blue

Re: matematika - pomoč

Posted: 27.10.2016 15:02
by krennorc
HVala lepa za obširno in razumljivo razlago!

Re: matematika - pomoč

Posted: 29.10.2016 6:09
by derik
derik wrote:Ker je profit na uro dela pri obeh igračkah enak (1€), je važno doseči le to, da so vse razpoložljive delovne kapacitete izkoriščene, ob pogoju, da vojakov ni več kot 40.
shrink wrote: Ni nujno, da je ob maksimalno izkoriščenih kapacitetah profit največji.
Lahko daš kakšen primer, ko je profit na uro dela pri obeh igračkah enak, največji profit pa ni pri maksimalno izkoriščenih kapacitetah?

Re: matematika - pomoč

Posted: 29.10.2016 12:36
by shrink
derik wrote:
derik wrote:Ker je profit na uro dela pri obeh igračkah enak (1€), je važno doseči le to, da so vse razpoložljive delovne kapacitete izkoriščene, ob pogoju, da vojakov ni več kot 40.
shrink wrote: Ni nujno, da je ob maksimalno izkoriščenih kapacitetah profit največji.
Lahko daš kakšen primer, ko je profit na uro dela pri obeh igračkah enak, največji profit pa ni pri maksimalno izkoriščenih kapacitetah?
Recimo, če je pri istem primeru namesto omejitve \(x\le 40\) prisotna omejitev \(x\le 15\); takrat je optimalna rešitev:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 0%2F%2F%5D

\(x=15\), \(y=65\),

ob maksimalnem profitu (\(175\)) pa kapacitete za barvanje niso maksimalno izkoriščene (\(2\cdot 15+65=95 < 100\)).

Re: matematika - pomoč

Posted: 13.11.2016 14:30
by DirectX11
Imam vprašanje, kako se pride leve strani v desno:

Image

hvala.