Pozdrav vsem.
Mi lahko nekdo pomaga z enim najbrž ne preveč kombliciranim problemom:
Recimo, da imam 2 delca velikosti \(a\). Ob času \(t=0\) sta razmaknjena za njuno velikost (\(a\)). Recimo, da je prvi delec na \(x=a/2\) drugi pa na \(x=-a/2\), ob vsakem kasnejšem času pa je njuna lega porazdeljena po Gaussovi porazdelitvi, kot:
\(p_1(x_1,t)=\frac{dP_1}{dx_1}=\frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\exp{\left [-\frac{(x_1-a/2-v_1t)^2}{4Dt}\right ]}\)
\(p_2(x_2,t)=\frac{dP_2}{dx_2}=\frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\exp{\left [-\frac{(x_2+a/2-v_2t)^2}{4Dt}\right ]}\)
Gre za nekakšno difuzijo pri čemer sta \(v_1\) in \(v_2\) histrosti (parametra) \(D\) pa difuzijska konstanta. Izračunati verjetnost, da sta oba delca ob nekem času \(t>0\) na istem mestu najbrž ni posebaj težko:
\(P(t)=\int_{-\infty}^{\infty}p_2(x_2,t)dx_2\int_{x_2-a/2}^{x_2+a/2}p_1(x_1,t)dx_1\)
Je to prav? Najbrž bi moralo biti.
Ampak moje glavno vprašanje je sedaj, kako se izračuna verjetnost \(V(t)\), ki bi mi povedala verjetnost, da sta se do tega časa \(t\) že srečala.
Zgornji porazdelitvi bi moral nekako napisati kot \(d^2P/dxdt\), saj trenutno očitno nista normirani po času. Ima kdo kakšno idejo?
Srečanje dveh delcev
Re: Srečanje dveh delcev
Vidim, da ni posebnega navdušenja 
Bom še malo ugibal. Mogoče se mi kdo pridruži:
Če je \(a\) majhen, lahko \(P(t)\) zapišemo kot \(P(t)\approx a\int_{-\infty}^\infty p_2(x_2,t)p_1(x_2,t)=\frac{a}{\sqrt{8\pi Dt}}\exp{\left (-\frac{a^2}{8Dt}\right )}\). Samo toliko, da si malo poenostavimo.
Se pravi \(P(t)\) je verjetnost, da sta delca ob času \(t\) na "istem mestu". Kako pa sedaj dobim porazdelitev teh časov, ko sta delca na istem mestu? Z odvajanjem?
\(v(t)=-\frac{dP(t)}{dt}\) (nevem še točno zakaj minus, ampak če narišem graf, ima celo nek smisel, če je minus)
Verjetnost, da sta se do nekega časa t že srečala mora biti potem kumulativna porazdelitev \(V(t)=\int_0^t v(t')dt'\)
Malo po kavbojsko se mi zdi tole. Lahko kdo potrdi, da je prav?
Bom še malo ugibal. Mogoče se mi kdo pridruži:
Če je \(a\) majhen, lahko \(P(t)\) zapišemo kot \(P(t)\approx a\int_{-\infty}^\infty p_2(x_2,t)p_1(x_2,t)=\frac{a}{\sqrt{8\pi Dt}}\exp{\left (-\frac{a^2}{8Dt}\right )}\). Samo toliko, da si malo poenostavimo.
Se pravi \(P(t)\) je verjetnost, da sta delca ob času \(t\) na "istem mestu". Kako pa sedaj dobim porazdelitev teh časov, ko sta delca na istem mestu? Z odvajanjem?
\(v(t)=-\frac{dP(t)}{dt}\) (nevem še točno zakaj minus, ampak če narišem graf, ima celo nek smisel, če je minus)
Verjetnost, da sta se do nekega časa t že srečala mora biti potem kumulativna porazdelitev \(V(t)=\int_0^t v(t')dt'\)
Malo po kavbojsko se mi zdi tole. Lahko kdo potrdi, da je prav?