Zdravo!
Res ne vem kaj je z mano in kotaljenjem, ampak očitno si nisva v najboljših odnosih. No, da bi malo izboljšala stvari, sem se odločila rešit par nalog. No, tiste osnovne so mi še šle, zaustavilo pa se mi je tukaj:
Krogla z maso 1 kg drsi s hitrostjo 1,5 m/s po gladki vodoravni podlagi brez trenja. Nenadoma naleti na hrapavo podlago, kjer je koeficient trenja 0,05. Kolikšna je hitrost krogilnega težišča, ko krogla preneha drseti in se samo kotali?
Koliko časa po prehodu na hrapavo podlago krogla še drsi?
Za pomoc se zahvaljujem ze v naprej
Kotaljenje, sunek sile, podrsavanje
Re: Kotaljenje, sunek sile, podrsavanje
Pri nalogah iz dinamike so vedno osnova gibalne enačbe; ponavadi težišča telesa. Pri 2D gibanju togega telesa imaš na razpolago dve gibalni enačbi (na osnovi 2. Newtonovega zakona za preproste probleme), ki popisujeta translacijo težišča in rotacijo okoli težišča. V konkretnem primeru začne delovati trenje, ki povzroča pojemek težišča krogle:
\(ma_T=-F_t\)
in hkrati rotacijo krogle okoli težišča naprej zaradi navora:
\(J\alpha_T=F_t r\).
Ko v enačbah upoštevaš \(F_t=k_t mg\) in \(J=2/5mr^2\), sledi:
\(a_T=-k_t g\)
\(\displaystyle\alpha_T=\frac{5k_t g}{2r}\).
Ker te zanima hitrost (in tudi kotna hitrost) težišča, moraš gornji enačbi integrirati po času. Ker pa sta pospešek in kotni pospešek konstantna, lahko uporabiš znane kinematične zveze za enakomerno pospešeno gibanje:
\(v_T=v_0+a_T t\)
\(\omega_T=\omega_0+\alpha_T t\).
kjer je \(v_0\) začetna hitrost težišča in \(\omega_0=0\) začetna kotna hitrost okoli težišča, ko krogla naleti na hrapavo podlago.
Sedaj moraš poiskati čas \(t\), po katerem krogla neha drseti. Dobiš ga na osnovi pogoja kotaljenja brez podrsavanja: \(v_T=\omega_T r\). Ko vse navedeno združiš, najprej izraziš čas:
\(\displaystyle t=\frac{2v_0}{7k_t g}\)
in nazadnje še hitrost težišča, ko krogla neha drseti:
\(\displaystyle v_T=\frac{5}{7}v_0\).
Kar pogumno naprej!
\(ma_T=-F_t\)
in hkrati rotacijo krogle okoli težišča naprej zaradi navora:
\(J\alpha_T=F_t r\).
Ko v enačbah upoštevaš \(F_t=k_t mg\) in \(J=2/5mr^2\), sledi:
\(a_T=-k_t g\)
\(\displaystyle\alpha_T=\frac{5k_t g}{2r}\).
Ker te zanima hitrost (in tudi kotna hitrost) težišča, moraš gornji enačbi integrirati po času. Ker pa sta pospešek in kotni pospešek konstantna, lahko uporabiš znane kinematične zveze za enakomerno pospešeno gibanje:
\(v_T=v_0+a_T t\)
\(\omega_T=\omega_0+\alpha_T t\).
kjer je \(v_0\) začetna hitrost težišča in \(\omega_0=0\) začetna kotna hitrost okoli težišča, ko krogla naleti na hrapavo podlago.
Sedaj moraš poiskati čas \(t\), po katerem krogla neha drseti. Dobiš ga na osnovi pogoja kotaljenja brez podrsavanja: \(v_T=\omega_T r\). Ko vse navedeno združiš, najprej izraziš čas:
\(\displaystyle t=\frac{2v_0}{7k_t g}\)
in nazadnje še hitrost težišča, ko krogla neha drseti:
\(\displaystyle v_T=\frac{5}{7}v_0\).
Kar pogumno naprej!
Re: Kotaljenje, sunek sile, podrsavanje
Mi zna kdo razloziti kaksna je razlika med kotaljenjem brez/s podrsavanjem? Hvala
Re: Kotaljenje, sunek sile, podrsavanje
Pri kotaljenju s podrsavanjem stik telesa s podlago drsi, kar pomeni, da je njegova relativna hitrost glede na podlago različna od 0, pri kotaljenju brez podrsavanja pa ne drsi, kar pomeni relativno hitrost enako 0.
V prvem primeru velja:
\(v-r\omega\ne 0\)
v drugem pa:
\(v-r\omega=0\)
Ponavadi se definira razmerje - koeficient zdrsa (ang. slip):
\(\displaystyle\frac{v-r\omega}{v}\)
V prvem primeru je različen od 0, v drugem pa enak 0. Če je enak 1, pomeni, da je \(\omega=0\), kar pomeni, da gre za čisto drsenje brez kotaljenja. Hitrost \(v\) seveda pomeni hitrost težišča kotalečega se valja oz. krogle.
V prvem primeru velja:
\(v-r\omega\ne 0\)
v drugem pa:
\(v-r\omega=0\)
Ponavadi se definira razmerje - koeficient zdrsa (ang. slip):
\(\displaystyle\frac{v-r\omega}{v}\)
V prvem primeru je različen od 0, v drugem pa enak 0. Če je enak 1, pomeni, da je \(\omega=0\), kar pomeni, da gre za čisto drsenje brez kotaljenja. Hitrost \(v\) seveda pomeni hitrost težišča kotalečega se valja oz. krogle.