V prvi posodi je 1 dm3 vode, v kateri je raztopljeno 1 g
soli, v drugi posodi je 1 dm3 vode, v kateri je raztopljeno 2 g
soli, in v tretji posodi je 1dm3 vode, v kateri je raztopljeno
3 g soli. Vse posode imajo mešalec. Ob času t = 0 začne iz
prve posode v drugo iz druge posode v tretjo in iz tretje posode
v prvo s pretokom 1dm3=s iztekati solna raztopina. Koliksna
je kolicina soli v vsaki posodi ob casu t?
Kako se lotiti te naloge ?
Re: Kako se lotiti te naloge ?
Za vsako posodo moraš zapisati ohranitveno enačbo za maso soli; npr. za 1. posodo:
\(\dot{m_1}=\dot{m}_{v1}-\dot{m}_{i1}\)
kjer je \(\dot{m_1}=\frac{dm_1}{dt}\) odvod mase soli po času v prvi posodi, \(\dot{m}_{v1}=\frac{m_3}{V_3}\phi_{V_3}\) masni pretok soli iz 3. posode v 1. posodo in \(\dot{m}_{i1}=\frac{m_1}{V_1}\phi_{V_1}\) masni pretok soli iz 1. posode v 2. posodo.
Ob upoštevanju \(V_1=V_3=1\mathrm{~dm^3}\) in \(\phi_{V_1}=\phi_{V_3}=1\mathrm{~dm^3/s}\) ter ob upoštevanju ustreznih enot koeficientov (enakih 1) na desni strani enačbe, sledi:
\(\displaystyle\frac{dm_1(t)}{dt}=m_3(t)-m_1(t)\).
Podobno za 2. in 3. posodo sledi:
\(\displaystyle\frac{dm_2(t)}{dt}=m_1(t)-m_2(t)\)
in
\(\displaystyle\frac{dm_3(t)}{dt}=m_2(t)-m_3(t)\).
Dobljeno predstavlja sistem treh diferencialnih enačb 1. reda, ki ga moraš rešiti ob upoštevanju začetnih pogojev: \(m_1(0)=1\), \(m_2(0)=2\) in \(m_3(0)=3\).
\(\dot{m_1}=\dot{m}_{v1}-\dot{m}_{i1}\)
kjer je \(\dot{m_1}=\frac{dm_1}{dt}\) odvod mase soli po času v prvi posodi, \(\dot{m}_{v1}=\frac{m_3}{V_3}\phi_{V_3}\) masni pretok soli iz 3. posode v 1. posodo in \(\dot{m}_{i1}=\frac{m_1}{V_1}\phi_{V_1}\) masni pretok soli iz 1. posode v 2. posodo.
Ob upoštevanju \(V_1=V_3=1\mathrm{~dm^3}\) in \(\phi_{V_1}=\phi_{V_3}=1\mathrm{~dm^3/s}\) ter ob upoštevanju ustreznih enot koeficientov (enakih 1) na desni strani enačbe, sledi:
\(\displaystyle\frac{dm_1(t)}{dt}=m_3(t)-m_1(t)\).
Podobno za 2. in 3. posodo sledi:
\(\displaystyle\frac{dm_2(t)}{dt}=m_1(t)-m_2(t)\)
in
\(\displaystyle\frac{dm_3(t)}{dt}=m_2(t)-m_3(t)\).
Dobljeno predstavlja sistem treh diferencialnih enačb 1. reda, ki ga moraš rešiti ob upoštevanju začetnih pogojev: \(m_1(0)=1\), \(m_2(0)=2\) in \(m_3(0)=3\).
Re: Kako se lotiti te naloge ?
rešitev recimo vsaj 1 sistema ?
Hvala !
Hvala !
Re: Kako se lotiti te naloge ?
ps: kaj je mišljno s tem / katerih koeficientov?
" ob upoštevanju ustreznih enot koeficientov (enakih 1) na desni strani enačbe"
" ob upoštevanju ustreznih enot koeficientov (enakih 1) na desni strani enačbe"
Re: Kako se lotiti te naloge ?
Očitno ne razumeš: sistem diferencialnih enačb je samo eden in obsega tri medsebojno povezane diferencialne enačbe, ki jih ni mogoče ločeno reševati.leto 2015 napisal/-a:rešitev recimo vsaj 1 sistema ?
Za reševanje sistema linearnih dif. en. prvega reda pa se je treba posluževati znanih metod: ker je sistem homogen, bo njegova rešitev temeljila na lastnih vrednostih matrike sistema in lastnih vektorjih. Če s tem nisi seznanjen, priporočam ogled v kakšnem učbeniku višje matematike, saj gre za osnove.
Ker so volumni in volumski pretoki vsi enaki 1 (ob ustreznih enotah), npr. sledi:leto 2015 napisal/-a:ps: kaj je mišljno s tem / katerih koeficientov?
" ob upoštevanju ustreznih enot koeficientov (enakih 1) na desni strani enačbe"
\(\dot{m}_{v1}=1\cdot m_3\)
ampak koeficient \(1\) pred \(m_3\) ni brez enote, ampak ima enoto \(\mathrm{\frac{1}{s}}\), tako da se leva stran dimenzijsko (v enotah) ujema z desno stranjo. To je treba imeti v mislih, za reševanje pa ni bistveno.