Računanje glavnih ukrivljenosti je analogno računanju lastnih vrednosti matrike:
\(-F_I^{-1}F_{II}\)
medtem ko sta glavna vektorja pripadajoča lastna vektorja.
Za določanje geodetk v splošnem moraš zapisati sistem diferencialnih enačb, katerim ustrezajo geodetke (poglej malo literaturo ali zapiske predavanj). Če je parametrizacija ploskve zapletena in je posledično tudi prva fundamentalna forma zapletena, bo reševanje sistema ustrezno bolj zahtevno. Če pa naloga zahteva posebne geodetke (recimo dve, ki se sekata; kot v tvojem primeru), potem lahko poskušaš določiti geodetke za posebne primere parametrov. Pri tvoji nalogi se kar ponujata primera:
a)
\(u=0\);
\(v\)
b)
\(v=0\);
\(u\)
Če uspeš pokazati, da ta dva primera predstavljata linearni poti, ki se sekata, prideš do dveh geodetk (vsaka linearna pot je namreč geodetka) na ploskvi, ki se sekata. Z vstavljanjem vrednosti u in v to hitro ugotoviš, saj dobljeni parametrizaciji predstavljata premici, ki se sekata.
Za naloge zadnjega tipa (kot tudi predhodnega tipa) si oglej zbirko rešenih nalog:
http://www.fmf.uni-lj.si/~virk/UDG.pdf
Naloge z risanjem in kvalitativnim opisovanjem geodetk najdeš na str. 55-60.