Uvod v diferencialno geometrijo

[delta]

Ploskev je podana s parametrizacijo:
\(\sigma(u,v)=(u-5,2-\sinh(v), u \sinh(v)-sinh(v) ), u, v \in \mathbb{R}\)

1) Izračunajte Gaussovo ukr. ploskve S
2) Izračunajte glavne vektorje in glavne ukriv. ploskve S pri \(u=1, v=0.\)
3) Izr. površino ploskve na območju \(\sinh (v)+(u-1)^2\leq 1\)
4) Na ploskvi \(S\) poiščite dve geodetki, ki se sekata

Zanima me, kako izr. 2,3,4? Kako dobimo glavne vektorje? Lepo prosim za hitro pomoč , hvala.

[shrink]

2. Glavne ukrivljenosti in glavne vektorje dobiš iz matrike na osnovi fundamentalnih form:

\(F_{II}-\kappa F_I\)

Gl. ukrivljenosti sta vrednosti \(\kappa\), pri katerih je determinanta te matrike enaka 0, gl. vektorja pa sta bazna vektorja iz tangentne ravnine pripadajočih ničelnih prostorov te matrike.

3. Ploskev na območju D se izračuna z:

\(\int_D \Vert\sigma_x\times\sigma_y\Vert dxdy\)

4. Geodetki poiščeš na osnovi geodetskih enačb.

[shrink]

Mimogrede, tole je res:

3. Ploskev na območju D se izračuna z:

\(\int_D \Vert\sigma_x\times\sigma_y\Vert dxdy\)

za ploskev parametrizirano kot \(\sigma (x,y)\). Za npr. \(\sigma (u,v)\) sta x in y v gornjem izrazu ustrezno nadomeščena z u in v.

[delta]

Hvala za zgornje večino razumem. Glavni ukrivljenosti znam, ampak kako vektorje dobimo? Geodetke, ne razumem točno kako...

Kako rešimo nalogo tipa:
1. Ploskev S dobimo tako, da graf pozitivne fje \(f(x)=(4x^3+x^4)e^x+50\) zavrtimo okoli osi \(x\). Narišite in kvalitativno opišite vse tipe geodetk na ploskvi S.

2. Naj bo graf graf fje \(f(x)0x+\sin(x)+2, x\in(0, 2\pi)\). Ploskev S dobimo kot vrtenino tako, da krivuljo \(\gamma\) zavrtimo okoli premice \(y=x\). Narišite in kvalitativno opišite vse tipe goedetk na ploskvi S.

Če kdo ve, bi rabila čimprej, najlepša hvala.

[shrink]

Računanje glavnih ukrivljenosti je analogno računanju lastnih vrednosti matrike:

\(-F_I^{-1}F_{II}\)

medtem ko sta glavna vektorja pripadajoča lastna vektorja.

Za določanje geodetk v splošnem moraš zapisati sistem diferencialnih enačb, katerim ustrezajo geodetke (poglej malo literaturo ali zapiske predavanj). Če je parametrizacija ploskve zapletena in je posledično tudi prva fundamentalna forma zapletena, bo reševanje sistema ustrezno bolj zahtevno. Če pa naloga zahteva posebne geodetke (recimo dve, ki se sekata; kot v tvojem primeru), potem lahko poskušaš določiti geodetke za posebne primere parametrov. Pri tvoji nalogi se kar ponujata primera:

a) \(u=0\); \(v\)

b) \(v=0\); \(u\)

Če uspeš pokazati, da ta dva primera predstavljata linearni poti, ki se sekata, prideš do dveh geodetk (vsaka linearna pot je namreč geodetka) na ploskvi, ki se sekata. Z vstavljanjem vrednosti u in v to hitro ugotoviš, saj dobljeni parametrizaciji predstavljata premici, ki se sekata.

Za naloge zadnjega tipa (kot tudi predhodnega tipa) si oglej zbirko rešenih nalog:

http://www.fmf.uni-lj.si/~virk/UDG.pdf

Naloge z risanjem in kvalitativnim opisovanjem geodetk najdeš na str. 55-60.

[delta]

Zanima me, kaj točno pomeni, da diagram komutira? Ali to pomeni, da lahko eno preslikavo zapišemo z drugima dvema? Hvala, lp

[delta]

Zanima me, če morda kdo ve, zakaj dobimo tak rezultat.
1. Naloga:
Parametriziraj \(S\), ki jo dobimo, ko pozitivni del \(x\)-osi zavrtimo okoli premice \(x=z, y=0\).
Kako dobimo bazne vektorje: \(e_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})\), \(e_2=(0,1,0)\), \(e_3=(\frac{-1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})\).
\((x,0)=\alpha e_1+\beta{e_3}\)...od kje dobimo \((x,0)\)=? oz. zakaj \(z=0\), ven izračunamo \(\alpha\) in \(\beta\). Ali ta formula vedno velja: \(r(x, \phi)=\alpha e_1+e_2\beta \cos{\phi}+e_3 \beta \sin{\phi}=(x \cos{\phi}, x \sin{\phi},x)\) od kje jo dobimo?

Če kdo ve kaj, bi bila zelo vesela , lp

[Zajc]

Zanima me, če morda kdo ve, zakaj dobimo tak rezultat.
1. Naloga:
Parametriziraj \(S\), ki jo dobimo, ko pozitivni del \(x\)-osi zavrtimo okoli premice \(x=z, y=0\).
Kako dobimo bazne vektorje: \(e_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})\), \(e_2=(0,1,0)\), \(e_3=(\frac{-1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})\).
\((x,0)=\alpha e_1+\beta{e_3}\)...od kje dobimo \((x,0)\)=? oz. zakaj \(z=0\), ven izračunamo \(\alpha\) in \(\beta\). Ali ta formula vedno velja: \(r(x, \phi)=\alpha e_1+e_2\beta \cos{\phi}+e_3 \beta \sin{\phi}=(x \cos{\phi}, x \sin{\phi},x)\) od kje jo dobimo?

Če kdo ve kaj, bi bila zelo vesela , lp

Stožec parametriziramo kot \(\vec r(r,\varphi)\). Parametrizacijo lahko dobimo na več načinov. En je ta, da si pomagamo z vektorji in matriko, ki pripadajo rotaciji v določeni bazi. Drugi način je, da gledamo le posamezne komponente \(x,y,z\). Mogoče je še najlažji ta drugi način. Najprej si izberemo smer rotacije in začetno točko (to je, kjer je \(\varphi=0\)). Recimo, da bo \(\varphi=0\) tam, kjer se stožec dotika \(x\) osi, smer rotacije pa bo pozitivna, gledano iz "dna" stožca (ki je v neskončnosti). Potem vidimo, da \(x(r,\varphi)\) dobimo tako, da pogledamo, kako se spreminja \(x\), ko spreminjamo \(r\) in \(\varphi\). Vidimo, da \(x\) niha okrog \(x_0=r\), z začetno točko \(x(r,0)=2r\), torej \(x(r,\varphi)=r+r\cos{\varphi}\). Podobno dobimo \(y(r,\varphi)=r\sin{\varphi}\) in \(z(r,\varphi)=r-r\cos{\varphi}\), torej \(\vec r(r,\varphi)=r(1+\cos{\varphi},\sin{\varphi},1-\cos{\varphi})\).

[delta]

Najlepša hvala za odgovor.

Zanima me še naslednja naloga:
1. Naj bo \(a>0\). Ploskev \(S\) je podana s karto
\(S{(u,v)}=(au,v \cos{u},v\sin{u}), u\in (0,2\Pi), v\in (0,1)\).
a)Izračunajte glavne ukrivljenosti in glavne vektorje ploskve S.
b)Izračunajte ploščino ploskve S.
Pri a) sem izr. koeficiente 1. fund. forme in 2. fund. forme, dobim: \(E=a^2+v², F=0, G=1\) in \(L=N=0, M=\frac{a}{\sqrt{v²+a²}}\), naprej dobim po formuli za glavne ukrivl.: \(-\kappa²=\frac{a²}{(a²+v²)²}\). Kar ne more biti, ker je negativno na levi in kvadrat? Zanima me, če je postopek v redu? Lp