Prosim če mi pomaga kdo pridet do končnega rezultata naloge. Se opravičujem ker nevem napisat lepe oblike enačbe.
Izračunajte ∬ x^2 dxdy po območju 0<x<1 in - √(1-x^2)<y<1-x^2
Pridem do sem:
∫〖(x^2-x^4+x^2√(1-x^2 )〗)dx tukaj so meje 0<x<1.
V bistvu nevem integrirat zadnji del.
Hvala za pomoč.
Lep pozdrav
Dvojni integral
Re: Dvojni integral
Po nepotrebnem se mučiš s kartezičnimi koordinatami, če prehod na polarne koordinate naredi reševanje integrala bistveno bolj enostavno. Pa pri transformaciji ne pozabi na Jacobian.
Re: Dvojni integral
Hvala za pomoč.
Še samo eno majhno vprašanje oz. če preveriš če prav delam.
Trojni integral
∭√(x^2+y^2 ) po območju z=1-√(x^2+y^2) in z=x^2+y^2-1
meje
-π<ϕ<π
-1<r<1
(r^2)-1<z<1-r
Hvala že vnaprej.
LP
Še samo eno majhno vprašanje oz. če preveriš če prav delam.
Trojni integral
∭√(x^2+y^2 ) po območju z=1-√(x^2+y^2) in z=x^2+y^2-1
meje
-π<ϕ<π
-1<r<1
(r^2)-1<z<1-r
Hvala že vnaprej.
LP
Re: Dvojni integral
Oziroma so meje:
0<ϕ<2π
0<r<2
(r^2)-1<z<1-r
0<ϕ<2π
0<r<2
(r^2)-1<z<1-r
Re: Dvojni integral
Ne, ni prav: iz dvojnega integrala ne moreš preiti na trojnega; uvedel si namreč prostorske cilindrične koordinate namesto ravninskih polarnih koordinat.
Priporočam, da območje (ki je seveda na ravnini), razdeliš na dve podobmočji:
a) \(0<x<1\), \(-\sqrt{1-x^2}<y\)
in
b) \(0<x<1\), \(y<1-x^2\)
a) To podobmočje je očitno četrtina kroga s središčem v (0,0) in polmerom 1, ki se nahaja v IV. kvadrantu (pod osjo x in desno od osi y) in ki se ga v polarnih koordinatah (\(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\)) opiše z:
\(0\le r\le 1\), \(-\pi/2\le\varphi\le 0\)
kar da integral:
\(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{0}\int_0^1 r^2\cos^2\varphi~r~dr~d\varphi\)
b) To podobmočje pa je očitno ploskev v I. kvadrantu omejena z \(y=1-x^ 2\) in osema x in y. Lahko se sicer tudi tu uvede polarne koordinate, vendar se ne splača, saj je integral:
\(\displaystyle\int_0^1\int_0^{1-x^2}x^2~dy~dx\)
enostavno rešljiv. Rešitev, ki jo iščeš, je vsota integralov (po obeh podobmočjih).
Priporočam, da območje (ki je seveda na ravnini), razdeliš na dve podobmočji:
a) \(0<x<1\), \(-\sqrt{1-x^2}<y\)
in
b) \(0<x<1\), \(y<1-x^2\)
a) To podobmočje je očitno četrtina kroga s središčem v (0,0) in polmerom 1, ki se nahaja v IV. kvadrantu (pod osjo x in desno od osi y) in ki se ga v polarnih koordinatah (\(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\)) opiše z:
\(0\le r\le 1\), \(-\pi/2\le\varphi\le 0\)
kar da integral:
\(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{0}\int_0^1 r^2\cos^2\varphi~r~dr~d\varphi\)
b) To podobmočje pa je očitno ploskev v I. kvadrantu omejena z \(y=1-x^ 2\) in osema x in y. Lahko se sicer tudi tu uvede polarne koordinate, vendar se ne splača, saj je integral:
\(\displaystyle\int_0^1\int_0^{1-x^2}x^2~dy~dx\)
enostavno rešljiv. Rešitev, ki jo iščeš, je vsota integralov (po obeh podobmočjih).