Dvojni integral

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Alen7
Prispevkov: 4
Pridružen: 3.2.2016 6:56

Dvojni integral

Odgovor Napisal/-a Alen7 »

Prosim če mi pomaga kdo pridet do končnega rezultata naloge. Se opravičujem ker nevem napisat lepe oblike enačbe.

Izračunajte ∬ x^2 dxdy po območju 0<x<1 in - √(1-x^2)<y<1-x^2

Pridem do sem:
∫〖(x^2-x^4+x^2√(1-x^2 )〗)dx tukaj so meje 0<x<1.

V bistvu nevem integrirat zadnji del.

Hvala za pomoč.

Lep pozdrav

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14585
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Dvojni integral

Odgovor Napisal/-a shrink »

Po nepotrebnem se mučiš s kartezičnimi koordinatami, če prehod na polarne koordinate naredi reševanje integrala bistveno bolj enostavno. Pa pri transformaciji ne pozabi na Jacobian.

Alen7
Prispevkov: 4
Pridružen: 3.2.2016 6:56

Re: Dvojni integral

Odgovor Napisal/-a Alen7 »

Hvala za pomoč.

Še samo eno majhno vprašanje oz. če preveriš če prav delam.

Trojni integral

∭√(x^2+y^2 ) po območju z=1-√(x^2+y^2) in z=x^2+y^2-1

meje
-π<ϕ<π
-1<r<1
(r^2)-1<z<1-r

Hvala že vnaprej.

LP

Alen7
Prispevkov: 4
Pridružen: 3.2.2016 6:56

Re: Dvojni integral

Odgovor Napisal/-a Alen7 »

Oziroma so meje:

0<ϕ<2π
0<r<2
(r^2)-1<z<1-r

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14585
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Dvojni integral

Odgovor Napisal/-a shrink »

Ne, ni prav: iz dvojnega integrala ne moreš preiti na trojnega; uvedel si namreč prostorske cilindrične koordinate namesto ravninskih polarnih koordinat.

Priporočam, da območje (ki je seveda na ravnini), razdeliš na dve podobmočji:

a) \(0<x<1\), \(-\sqrt{1-x^2}<y\)

in

b) \(0<x<1\), \(y<1-x^2\)

a) To podobmočje je očitno četrtina kroga s središčem v (0,0) in polmerom 1, ki se nahaja v IV. kvadrantu (pod osjo x in desno od osi y) in ki se ga v polarnih koordinatah (\(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\)) opiše z:

\(0\le r\le 1\), \(-\pi/2\le\varphi\le 0\)

kar da integral:

\(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{0}\int_0^1 r^2\cos^2\varphi~r~dr~d\varphi\)

b) To podobmočje pa je očitno ploskev v I. kvadrantu omejena z \(y=1-x^ 2\) in osema x in y. Lahko se sicer tudi tu uvede polarne koordinate, vendar se ne splača, saj je integral:

\(\displaystyle\int_0^1\int_0^{1-x^2}x^2~dy~dx\)

enostavno rešljiv. Rešitev, ki jo iščeš, je vsota integralov (po obeh podobmočjih).

Odgovori