MO

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

MO

Odgovor Napisal/-a delta »

(Naloge, vprašanja so na Mat. obzorja, 5.4.2016)

Vsak graf zvezne preslikave \(R^m \rightarrow R^n\) je mnogoterost. Obratno ne velja v splošnem. Je pa vsaka mnogoterost lokalno graf zvezne preslikave.
Podobno je vsaka mnogoterost lokalno nivojska množica preslikave.
...je to ravno vsebina izreka o implicitni fji?

Če pogledamo limite: \(\lim 0\)* (zvezna fja) in \(\lim 0\)* (nezvezna fja) oboje torej \(=0\). Torej ni nujno, da je zvezna?...kaj pa če imamo racionalno fjo in v imenovalcu \(0\) ?...potem se lahko zgodi, da limita ne obstaja?

\(S1\) je brez roba in kompaktna. Topologija pravi, da je množica kompaktna \(\Leftrightarrow\) ko je zaprta in omejena.
Tega ne razumem, kako je lahko brez roba, torej brez robnih točk (vse so notranje oz. za vsako najdemo okolico, ki je homeo odprti podmnožici v \(R^2\)). Zaprta ravno pomeni, da je\(A=\bar{A}\), torej zaprtje množice je enaka množici. Kako ima lahko rob zraven in je brez roba?

Nivojska množica je praslika neke točke: \(f^{(-1)}(c)\), zakaj je \(S1\) nivojska množica, lep primer.
Zakaj je zaprta množica nivojska, tega pa ne razumem čisto. Ali je začetna predpostavka, da vzamemo \(A\) zaprto? Zakaj razdalja, ne razumem zapisa,...najbrž gledamo razdaljo od množice \(A\) do \(A\), torej\(=0\). Lp

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: MO

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:(Naloge, vprašanja so na Mat. obzorja, 5.4.2016)

Vsak graf zvezne preslikave \(R^m \rightarrow R^n\) je mnogoterost. Obratno ne velja v splošnem. Je pa vsaka mnogoterost lokalno graf zvezne preslikave.
Podobno je vsaka mnogoterost lokalno nivojska množica preslikave.
...je to ravno vsebina izreka o implicitni fji?
Recimo. Izrek o implicitni preslikavi pove obratno: vsaka lokalno nivojska množica je mnogoterost.
Če pogledamo limite: \(\lim 0\)* (zvezna fja) in \(\lim 0\)* (nezvezna fja)
V bistvu še zmerom nisem siguren, ali te prav razumem, ker nisi napisala vprašanja "matematično eksaktno". Eno je gotovo: nič krat karkoli je nič. Na primer, limita \(\lim_{x\to 0}(0\cdot\frac{1}{x})\) je enaka nič, ne glede na to, da \(\frac{1}{x}\) v \(x=0\) ni zvezna (in ima tam pol).
\(S1\) je brez roba in kompaktna. Topologija pravi, da je množica kompaktna \(\Leftrightarrow\) ko je zaprta in omejena.
Tega ne razumem, kako je lahko brez roba, torej brez robnih točk (vse so notranje oz. za vsako najdemo okolico, ki je homeo odprti podmnožici v \(R^2\)). Zaprta ravno pomeni, da je\(A=\bar{A}\), torej zaprtje množice je enaka množici. Kako ima lahko rob zraven in je brez roba?
Gre za "rob" v dveh različnih pomenih, rob mnogoterosti je nekaj drugega kot rob množice. Kot mnogoterost \(S^1\) nima roba. Kot množica pa je odvisno, v katero množico jo vložimo. Recimo, \(S^1\) kot podmnožica \(\mathbb{R}^2\) ima vsako točko robno, \(S^1\) kot podmnožica same sebe pa je brez roba (kot množica).
Nivojska množica je praslika neke točke: \(f^{(-1)}(c)\), zakaj je \(S1\) nivojska množica, lep primer.
Zakaj je zaprta množica nivojska, tega pa ne razumem čisto. Ali je začetna predpostavka, da vzamemo \(A\) zaprto?
Da.
Zakaj razdalja, ne razumem zapisa,...najbrž gledamo razdaljo od množice \(A\) do \(A\), torej\(=0\). Lp
\(A\) je zaprta podmnožica \(\mathbb{R}^n\). Gledamo preslikavo \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), ki vsaki točki \(x\in\mathbb{R}^n\) priredi razdaljo med \(x\) in \(A\), to je \(f(x)=d(x,A)\). Seveda to ni nič, če je \(x\) zunaj množice \(A\). V bistvu je \(0\) natanko tedaj, ko je \(x\in A\), to pa ravno pomeni, da je \(A=f^{-1}(0)\).

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: MO

Odgovor Napisal/-a delta »

Hvala :).
Ja, tisto sem mislila \(0 * (karkoli)\). Ok potem je vedno \(0\), samo jaz se spomnim, če je bilo\(0/0\) potem smo L'h pravilo morali uporabit, kar pomeni, da še ni vredu. :?

Ostalo jasno :)

Kako pa je pri zaprti množici?...ali ne bi isto veljalo tudi za odprto?...saj če bi bila točka znotraj odprte, bi tudi veljalo \(A=f^(-1)(0)\), ali ni tako?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: MO

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:Hvala :).
Ja, tisto sem mislila \(0 * (karkoli)\). Ok potem je vedno \(0\), samo jaz se spomnim, če je bilo\(0/0\) potem smo L'h pravilo morali uporabit, kar pomeni, da še ni vredu. :?
L'Hospitalovo pravilo se uporablja ne za množenje z \(0\), ampak za računanje limit, v katerih gresta števec in imenovalec proti \(0\). "Iti proti nič" je pa seveda nekaj čisto drugega kot "biti enak nič".
Kako pa je pri zaprti množici?...ali ne bi isto veljalo tudi za odprto?...saj če bi bila točka znotraj odprte, bi tudi veljalo \(A=f^(-1)(0)\), ali ni tako?
Če je množica \(A\) odprta, je lahko razdalja \(d(x,A)\) enaka \(0\), tudi če je \(x\) zunaj \(A\).

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: MO

Odgovor Napisal/-a delta »

Funkcijsko vrsto smemo členoma integrirati, ko enakomerno konvergira. Zakaj? Kako je z odvajanjem? Lp

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: MO

Odgovor Napisal/-a delta »

Kaj je vsebina izreka o inverzni in implicitni fji? Kakšen primer kje se uporablja?
Podana je preslikava \(f:R^n \rightarrow R^n\) s predpisom \(f(x,y)=(x^3y+1,x^2+y^2)\). Določi točke, kjer je \(f\) lokalni \(C^\infty\) -difeomorfizem. Hvala :)

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: MO

Odgovor Napisal/-a Zajc »

bargo napisal/-a:
Če je množica \(A\) odprta, je lahko razdalja \(d(x,A)\) enaka \(0\), tudi če je \(x\) zunaj \(A\).
Tudi to je tako po definiciji? :roll:
Sledi pač iz definicije odprte/zaprte množice.

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: MO

Odgovor Napisal/-a Zajc »

delta napisal/-a:Kaj je vsebina izreka o inverzni in implicitni fji? Kakšen primer kje se uporablja?
Podana je preslikava \(f:R^n \rightarrow R^n\) s predpisom \(f(x,y)=(x^3y+1,x^2+y^2)\). Določi točke, kjer je \(f\) lokalni \(C^\infty\) -difeomorfizem. Hvala :)
Joj delta, tvoja vprašanja so tako splošna ... Gladke mnogoterosti, izrek o implicitni funkciji itd. so v glavnem snov Analize 3 na FMF. Izčrpno razlago z vsemi definicijami in primeri je mogoče najti v zapiskih iz tega predmeta (morda obstaja tudi kak slovenski učbenik, vprašaj v knjižnici). Seveda je vse moč najti tudi na Wikipediji, tako da ne vem, če ima vse te definicije smisel copy/pastati na ta forum.

Glede konkretnega primera, ki ga daješ: pogoj je ta, da je (totalni) odvod preslikave nesingularen (kot matrika). Izračunaš torej vse parcialne odvode, jih vržeš v matriko in pogledaš, če je nesingularna ...

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: MO

Odgovor Napisal/-a delta »

Glede primera razumem. :), hvala. Ostalo, kar zadeva izrek o impl. in inverzni imam napisano, ampak želim vedeti, kaj to dejansko pomeni, (pri inverzni mora npr. biti odvod difeo). Izrek o implicitni pa, da je lokalno vedno graf preslikave, zato je mnt. Zanim me z 'domačimi' besedami, pač, nekateri znajo to spisat vse okolice, kaj pa pomeni pa ne vedo. Za implicitni izrek vem še, da moraš imet dva pogoja: da mora bit matrika surjektivna in da je fja zvezno odvedljiva in da potem obstaja zvezno odvedljiva fja, katere graf je ravno nivojska množica (oz. mnt.). Je to ok? Za izrek o inverzni pa ne znam povedat, kaj bi pomenilo,...

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: MO

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Izrek o inverzni preslikavi:

Naj bo \(f:U\to\mathbb{R}^n\) neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava (\(r\ge 1\)), kjer je \(U\) neka odprta podmnožica \(\mathbb{R}^n\). Denimo, da je diferencial \(D_f(a)\) v neki točki \(a\in U\) obrnljiv (kot linearna preslikava). Potem obstaja neka odprta okolica \(V\subseteq{R}^n\) točke \(f(a)\), tako da je \(f:f^{-1}(V)\to V\) obrnljiva preslikava in je inverz \(f^{-1}:V\to f^{-1}(V)\) tudi \(\mathcal{C}^r\). Z drugimi besedami, \(f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V)\to V\) je \(\mathcal{C}^r\)-difeomorfizem.

Primer (za \(n=1\)):

Naj bo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3\). Potem je \(f\) razreda \(\mathcal{C}^\infty\). V točki \(a=2\) je diferencial \(D_f(2)=[f'(2)]=[3\cdot 2^2]=[12]\) obrnljiv (kot \(1\times 1\) matrika), zato obstaja okolica \(V\) točke \(f(2)=8\), da je \(f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V)\to V\) \(\mathcal{C}^\infty\)-difeomorfizem. V tem enostavnem primeru lahko \(V\) podamo konkretno, npr. \(V=(0,\infty)\). (Tak \(V\) je res okolica točke \(8\), \(f\), zožen na \(f^{-1}(V)=(0,\infty)\), pa je res gladki difeomorfizem (njegov inverz je seveda kar \(x\mapsto\sqrt[3]{x}\)).

Grafično izrek o inverzni preslikavi pove, da je \(f\) obrnljiva v neki okolici, čim funkcija v tisti točki ni "izrojena" (to v 1 dimenziji npr. pomeni, da ne sme biti vodoravna).

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: MO

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Izrek o implicitni preslikavi je malo siten za formulirati. Ena od možnih formulacij je tale:

Naj bo \(f:U\to\mathbb{R}^n\) neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava (\(r\ge 1\)), kjer je \(U\) odprta podmnožica \(R^m\) in je \(m=n+k\) za nek \(k\ge 1\). Denimo, da je diferencial \(D_f(a)\) surjektiven (to je, maksimalnega ranga) v neki točki \(a=(a_1,\ldots,a_m)\in U\). Potem obstajajo indeksi \(1\le i_1\le\ldots\le i_n\le m\), neka odprta okolica \(V_1\) točke \((a_{i_1},\ldots,a_{i_n})\) ter odprta okolica \(V_2\) točke \((a_1,\ldots,a_{i_1-1},a_{i_1+1},\ldots,a_{i_2-1},a_{i_2+1},\ldots,a_{i_n-1},a_{i_n+1},\ldots,a_m)\) in neka \(\mathcal{C}^r\) preslikava \(g:V_2\to\mathbb{R}^n\), tako da velja: če je \(x=(x_1,\ldots,x_m)\) taka točka, da je \(\tilde{x}=(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})\in V_1\) in \(\tilde{\tilde{x}}=(x_1,\ldots,x_{i_1-1},x_{i_1+1},\ldots,x_{i_2-1},x_{i_2+1},\ldots,x_{i_n-1},x_{i_n+1},\ldots,x_m)\in V_2\), potem je \(f(x)=f(a)\) natanko tedaj, ko je \(\tilde{x}=g(\tilde{\tilde{x}})\). Z drugimi besedami, nivojnica \(\{x|\ f(x)=f(a)\}\) je lokalno graf preslikave.

Primer (za \(n=1\) in \(m=2\)):

Naj bo \(f\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), \(f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\), ki je seveda razreda \(\mathcal{C}^\infty\). Izberimo točko \(a=(1,0)\). Potem je \(D_f(a)=[2\cdot 1,2\cdot 0]=[2,0]\) maksimalnega ranga, torej po izreku o implicitni preslikavi obstajajo \(i_1,V_1,V_2,g\), ki zadostijo zgornjim zahtevam. V tem preprostem primeru jih seveda ni težko konkretno podati, npr. \(i_1=1\) (tu nimamo izbire), \(V_1=(0,2)\), \(V_2=(-1,1)\) in \(g:V_2\to\mathbb{R}\), \(g(x_2)=\sqrt{1-x_2^2}\). Za vsak \((x_1,x_2)\in V_1\times V_2\) je potem res \(f(x_1,x_2)=1\) natanko tedaj, ko je \(x_1=g(x_2)\).

Odgovori